离散型随机变量的均值和方差ppt课件.ppt

2 3离散型随机变量的均值和方差 高二数学选修2 3 1 一 复习回顾 1 离散型随机变量的分布列 2 离散型随机变量分布列的性质 1 pi 0 i 1 2 2 p1 p2 pi 1 2 复习引入 对于离散型随机变量 可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率 但在实际问题中 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征 例如 要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平 很重要的是看平均分 要了解某班同学数学成绩是否 两极分化 则需要考察这个班数学成绩的方差 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征 最常用的有期望与方差 3 按3 2 1的比例混合 混合糖果中每一粒糖果的质量都相等 定价为混合糖果的平均价格才合理 问题情景 18元 kg 24元 kg 36元 kg 4 m千克混合糖果的总价格为 18元 kg 24元 kg 36元 kg 情景探究 按3 2 1混合以下糖果 平均价格为 5 二 互动探索 1 某人射击10次 所得环数分别是 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 1 设他所得环数为X 求X的分布列 2 求他所得的平均环数是多少 6 1 环数为X的可能所取的值为什么 1 2 3 4 其分布列 1 某人射击10次 所得环数分别是 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 1 设他所得环数为X 求X的分布列 2 求他所得的平均环数是多少 7 一 离散型随机变量取值的平均值 数学期望 一般地 若离散型随机变量X的概率分布为 则称 为随机变量X的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 8 1 随机变量 的分布列是 1 则E 2 随机变量 的分布列是 2 4 E 7 5 则a b 0 4 0 1 9 归纳求离散型随机变量的均值 期望 的步骤 确定离散型随机变量可能的取值 写出分布列 并检查分布列的正确与否 求出均值 期望 10 1 甲 乙两名射手在同一条件下射击 所得环数X1 X2分布列如下 从以数据你能否说明谁的射击水平高 解 表明甲 乙射击的平均水平没有差别 在多次射击中平均得分差别不会很大 11 2 有场赌博 规则如下 如掷一个骰子 出现1 你赢10元 出现2或3或4 你输3元 出现5或6 不输不赢 这场赌博对你是否有利 对你不利 劝君莫参加赌博 12 例1 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分 罚不中得0分 已知某运动员罚球命中的概率为0 7 则他罚球1次的得分X的数学期望 解 X的可能取值为0 1 其分布列如下 例题讲解 13 则E X p 若X H N M n 则E X 若X B n p 则E X np 若X B 1 p 各种不同概率模型下的数学期望 14 不一定 其含义是在多次类似的测试中 他的平均成绩大约是90分 例2 一次单元测验由20个选择题构成 每个选择题有4个选项 其中有且仅有一个选项正确 每题选对得5分 不选或选错不得分 满分100分 学生甲选对任一题的概率为0 9 学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个 求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值 解 设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是 和 则 B 20 0 9 B 20 0 25 所以E 20 0 9 18 E 20 0 25 5 由于答对每题得5分 学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5 和5 这样 他们在测验中的成绩的期望分别是 E 5 5E 5 18 90 E 5 5E 5 5 25 思考 学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗 他的均值为90分的含义是什么 15 3 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分 罚不中得0分 已知某运动员罚球命中的概率为0 7 他连续罚球3次 1 求他得到的分数X的分布列 2 求X的期望 解 1 X B 3 0 7 2 16 所以 的分布列为 1 则 17 离散型随机变量的均值的理解 1 均值是算术平均值概念的推广 是概率意义下的平均 2 E X 是一个实数 是由X的概率分布唯一确定的 它描述X取值的平均状态 3 变量Y aX b的均值 E aX b aE X b说明随机变量X的线性函数Y aX b的均值 或数学期望 等于随机变量X的均值 或数学期望 的线性函数 此式可有以下几种特殊形式 18 当b 0时 E aX aE X 此式表明常量与随机变量乘积的均值 等于常量与随机变量均值的乘积 当a 1时 E X b E X b 此式表明随机变量与常量和的均值 等于随机变量的均值与这个常量的和 当a 0时 E b b 此式表明常量的均值等于这个常量 19 2 设 的分布列为 又设 2 5 则E D 20 知识补充 1 离散型随机变量X的均值 数学期望 2 均值的性质 3 两种特殊分布的均值 1 若随机变量X服从两点分布 则 2 若 则 反映了离散型随机变量取值的平均水平 3 若X H N M n 则E X 21 1 口袋中有5个球 编号为1 2 3 4 5 从中任取3个球 以 表示取出球的最大号码 则E 值的是 A 4B 4 5C 4 75D 5 3 若随机变量 B n 0 6 且E 3 则P 1 的值是 A 2 0 44B 2 0 45C 3 0 44D 3 0 64 B A C 22 4 已知 B B 且E 15 则E 等于 A 5B 10C 15D 20 B A 23 6 已知X的概率分布如下 E X 7 5 则a 7 7 若随机变量X的分布列是P x k 0 1k 0 94 k k 0 1 2 3 4 则EX 8 两封信随机投入A B C三个空邮箱 则A邮箱的信件数 的数数学期望E 0 4 24 E 0 Cn0p0qn 1 Cn1p1qn 1 2 Cn2p2qn 2 k Cnkpkqn k n Cnnpnq0 P k Cnkpkqn k 证明 np Cn 10p0qn 1 Cn 11p1qn 2 Cn 1k 1pk 1q n 1 k 1 Cn 1n 1pn 1q0 np p q n 1 np kCnk nCn 1k 1 若 B n p 则E np 25 第二课时 随机变量取值的方差和标准差 26 如果其他对手的射击成绩都在8环左右 应派哪一名选手参赛 已知甲 乙两名射手在同一条件下射击 所得环数x1 x2的分布列如下 试比较两名射手的射击水平 如果其他对手的射击成绩都在9环左右 应派哪一名选手参赛 显然两名选手的水平是不同的 这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性 探究 27 方差定义 一组数据的方差 在一组数 x1 x2 xn中 各数据的平均数为 则这组数据的方差为 类似于这个概念 我们可以定义随机变量的方差 新课 28 离散型随机变量取值的方差和标准差 定义 29 它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量 它们的值越小 则随机变量偏离于均值的平均程度越小 即越集中于均值 记忆方法 三个x 练习一下 30 1 已知随机变量x的分布列 求Dx和 x 解 2 若随机变量x满足P x c 1 其中c为常数 求Ex和Dx Ex c 1 c Dx c c 2 1 0 练习 31 再看一例 例2 试比较两名射手的射击水平 如果其他对手的射击成绩都在8环左右 应派哪一名选手参赛 如果其他对手的射击成绩都在9环左右 应派哪一名选手参赛 已知甲 乙两名射手在同一条件下射击 所得环数x1 x2的分布列如下 如果对手在8环左右 派甲 如果对手在9环左右 派乙 思考 32 例题 甲乙两人每天产量相同 它们的次品个数分别为 其分布列为 判断甲乙两人生产水平的高低 解答 练习 33 E 0 0 3 1 0 3 2 0 2 3 0 2 1 3 E 0 0 1 1 0 5 2 0 4 1 3 D 0 1 3 2 0 3 1 1 3 2 0 3 2 1 3 2 0 2 3 1 3 2 0 2 1 21 结论 甲乙两人次品个数的平均值相等 但甲的稳定性不如乙 乙的生产水平高 期望值高 平均值大 水平高方差值小 稳定性高 水平高 34 例2 有甲乙两个单位都愿意聘用你 而你能获得如下信息 根据工资待遇的差异情况 你愿意选择哪家单位 解 在两个单位工资的数学期望相等的情况下 如果认为自己能力很强 应选择工资方差大的单位 即乙单位 如果认为自己能力不强 就应选择工资方差小的单位 即甲单位 例题 35 练习一下 结论1 则 结论2 若 B n p 则E np 可以证明 对于方差有下面两个重要性质 则 结论 36 五 几个常用公式 37 例如 已知某离散型随机变量 的分布列如下 则a 数学均值 期望 E 方差D 2 一般地 如果随机变量X服从两点分布 那么DX 3 一般地 随机变量 与随机变量 满足关系 a b 其中a b为常数 则D n 6p 0 4 0 4 1 0 8 p 1 p a2D 4 若 B n p 则D 例如 设 B n p 且E 2 4 D 1 44 求n p np 1 p 38 1 已知随机变量 的分布列为 P k k 1 2 3 则D 3 5 A 6B 9C 3D 4 2 设 B n p 且E 12 D 4 则n与p的值分别为 A C 39 4 设随机变量X B n p 且EX 1 6 DX 1 28 则 A n 8 p 0 2B n 4 p 0 4C n 5 p 0 32D n 7 p 0 45 A 3 已知 3 且D 13 那么D 的值为 A 39B 117C 39D 117 解析 D D 3 9D 9 13 117 答案 B 40 5 已知离散型随机变量X的分布列如下表 若EX 0 DX 1 则a b 41 6 投弹一次命中次数X服从两点分布 而重复10次投弹可以认为是10次独立重复试验 命中次数Y服从二项分布 解 1 X的分布列为 E X 0 0 2 1 0 8 0 8 D X 0 0 8 2 0 2 1 0 8 2 0 8 0 16 2 由题意知 命中次数Y服从二项分布 即Y B 10 0 8 E Y np 10 0 8 8 D Y 10 0 8 0 2 1 6 6 某人投弹命中目标的概率为p 0 8 1 求投弹一次 命中次数X的均值和方差 2 求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差 42 7 已知某运动员投篮命中率p 0 6 1 求一次投篮时命中次数 的期望与方差 2 求重复5次投篮时 命中次数 的期望与方差 分析 1 投篮一次可能投中 也可能不中 投中次数 服从两点分布 2 重复五次投篮的投中次数 服从二项分布 解析 1 投篮一次命中次数 的分布列为 43 则E 0 0 4 1 0 6 0 6 D 0 0 6 2 0 4 1 0 6 2 0 6 0 24 2 由题意 重复5次投篮 命中的次数 服从二项分布 即 B 5 0 6 由二项分布期望与方差的计算公式 有E 5 0 6 3 D 5 0 6 0 4 1 2 点评 求离散型随机变量的期望与方差的关键环节有以下两点 1 写出离散型随机变量的分布列 2 正确应用期望与方差公式进行计算 要熟练掌握两点分布 二项分布的期望与方差的公式 44 课堂小结 一 离散型随机变量的期望和方差 二 性质 三 如果随机变量X服从两点分布 四 如果随机变量X服从二项分布 即X B n p 45 1 一次英语单元测验由20个选择题构成 每个选择题有4个选项 其中有且只有一个选项是正确答案 每题选择正确答案得5分 不作出选择或选错不得分 满分100分 学生甲选对任一题的概率为0 9 学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个 求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 五 巩固应用 46 2 决策问题 根据气象预报 某地区近期有小洪水的概率为0 25 有大洪