2017届高中数学专题突破练7几何概型【新人教版】必修3.docx

专题7几何概型1几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个(2)每个基本事件出现的可能性相等3几何概型的概率公式P(A).例1某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟(1)求乘客到站候车时间大于10分钟的概率；(2)求候车时间不超过10分钟的概率；(3)求乘客到达车站立即上车的概率变式训练1在等腰RtABC中，在斜边AB上取一点M，则AM的长小于AC的长的概率为()A. B. C. D.例2向面积为S的ABC内任意投一点P，则PBC的面积小于的概率是多少？变式训练2如下图，在半径为1的半圆内放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，则该点落在正方形内的概率为_例3已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥MABCD的体积小于的概率变式训练3已知正三棱锥SABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于的概率A级1在1 000 mL水中有一只草履虫，现从中随机取出3 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是()A0.003 B0.03 C0.001 D0.52在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为()A. B. C. D.3已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A. B. C. D.4在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36平方厘米到64平方厘米的概率是()A. B. C. D.5有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖投中圆面，则镖落在三角形内的概率为_6在区间2，4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_7在长方形ABCD中，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为_B级8当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是()A. B. C. D.9某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A. B. C. D.10某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A. B. C. D.11两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，灯与两端距离都大于2 m的概率为_12在长方体ABCDA1B1C1D1中随机取点，则点M落在四棱锥OABCD(O是长方体对角线的交点)内的概率是_13如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率14.如图，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率专题7几何概型典型例题例1解(1)如图所示，设相邻两班车的发车时刻为T1、T2，T1T215.设T0T23，TT010，记“乘客到站候车时间大于10分钟”为事件A.则当乘客到站时刻t落到T1T上时，事件A发生T1T153102，T1T215，P(A).(2)如图所示，当t落在TT2上时，候车时间不超过10分钟，故所求概率为.(3)如图所示，当t落在T0T2上时，乘客立即上车，故所求概率为.变式训练1A在AB上截取ACAC.点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D.当点M位于图中线段AC上时，AMAC.故线段AC即为区域d.于是P(AMAC)P(AMAC).例2解如图所示，EF为ABC的中位线，当点P落在四边形EFCB内时PBC的面积小于，已知总事件为ABC的面积S，S四边形EFCBSABCSAEFS.设满足条件的事件为事件A，则P(A).变式训练2解析S正，S半圆12，由几何概型的计算公式得所求的概率为.例3解如图，正方体ABCDA1B1C1D1.设MABCD的高为h，则S正方形ABCDh，又S正方形ABCD1，h，即点M在正方体的下半部分，所求概率为.变式训练3解在SA、SB、SC上取点A1、B1、C1，使A1、B1、C1分别为SA、SB、SC的中点，则当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小于.设ABC的面积为S，由ABCA1B1C1且相似比为2，得A1B1C1的面积为.由题意，得三棱锥SABC的体积为Sh，三棱台A1B1C1ABC的体积为ShSh.故所求概率为.强化提高1A用“体积比”公式计算其概率，记“发现草履虫”为事件A，则P(A)0.003.2C正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间，所以正方形的边长介于6 cm与9 cm之间，线段AB的长度为12 cm，故所求概率为.3A准确找出“两长度”，套用相应公式设“到达站台立即乘上车”为事件A，试验的所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A).4D以AG为半径作圆，面积介于36平方厘米到64平方厘米，则AG的长度应介于6厘米到8厘米之间所求概率P(A).5.解析设圆面半径为R，如图所示ABC的面积SABC3SAOC3ACOD3CDOD3Rsin 60Rcos 60，P.63解析由|x|m，得mxm.当m2时，由题意得，解得m2.5，矛盾，舍去当2m4时，由题意得，解得m3.即m的值为3.71解析如图，要使图中点到O的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率P1.8C由题意可知在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P.9B如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P，故选B.10B至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.11.12.13解设阴影小正方形边长为x，则在直