大工信号与系统考试本科上课课件6

第六章 连续时间系统的系统函数系统函数即系统的转移函数系统函数H(S)定义为零状态响应函数R(S)与激励函数E(S)之比，即,R(S)和E(S)分别是时域中的零状态响应函数r(t)和激励函数e(t)的拉普拉斯变换式，H(S)是系统特性在复频域中的表述形式。（注意，系统的初始条件应为零）由于激励和响应即可以是电流，也可以是电压，所以系统函数的量纲也就不同。在网络理论中，按激励和响应所在端口的不同又把系统函数分为策动点函数（输入函数）和传输函数（转移函数）。,1.策动点函数（输入函数）：激励和响应属于同一个端口时当激励为电流源I1(S)，响应为同一个端口上的电压降U1(S)时，系统函数即为策动点阻抗函数（输入阻抗函数）：,当激励为电压源U1(S)，响应为流入同一个端口的电流I1(S)时，系统函数即为策动点导纳函数（输入导纳函数）：,两者互为倒数关系。,2.传输函数（激励与响应不在同一端口时）电压传输函数 电流传输函数,3.转移函数（激励与响应不在同一端口时） 激励为电流源，响应为另一个端口的电压时，为转移阻抗函数：,激励为电压源，响应为另一个端口的电流时，为转移导纳函数：,从前面的式子可以看出，激励与响应的性质不同，系统函数的量纲也就不同。我们不在区分策动点函数和传输函数，而统称为系统函数或系统的转移函数。系统函数与系统的单位冲激响应信号构成一拉氏变换对，即,h(t)反映了系统时域特性，而H(S)则是在S域中来描述系统特性，如系统的稳定性、零极点位置等，因此，应重点研究系统函数。从分析系统的角度看，通过分析系统函数，可以知道系统零极点的分布情况、系统的稳定性及系统的频响特性等基本特性。从系统综合角度看，给定系统的技术指标，找出相应的系统的零极点及系统函数，就可用相应的模型加以实现。,h(t),H(S),6.1 系统函数的表示法 系统函数的一般形式是一个有理分式，其分子分母都是复变量s的多项式，即,上式不能直观反映系统的特性，因此表示系统函数的方法有多种，常用的有如下三种表示方法：频率特性曲线、复轨迹和极点零点分布图。1.频率特性（即系统的频率响应特性） 系统的频率响应特性是系统单位冲激响应函数的傅立叶变换，当系统函数H(S)的收敛域包含j轴时，系统的频响与系统函数之间的关系为：,通常我们仅需要了解s=j情况下的H(S)，而不是所有的H(S)，这时用系统的频率特性来描述系统特性就可以了。系统的频率特性描述了系统在频域中的特性，主要表现为系统的选频特性。,例如：,则,所以,0,从曲线上，可一目了然地看出系统的频率特性。,在通信、控制以及电力系统中，一种重要的组成部件就是滤波网络，而滤波网络的研究就需要从它的频响特性入手分析。所谓“系统频响”是指系统在正弦信号激励之下，稳态响应随信号频率的变化情况。有时，频响特性曲线是在对数尺度的坐标轴中作出，称这种图为波特图。2.复轨迹 系统函数H(S)是复频率S的函数，它的模量和相角也是S的函数。给定一个S值，可有一对相应的模量和相角与之对应。在复变函数理论中，就是S平面中的点到H平面中的映射。当S中的 给定而 变化，就可在S平面中得到一条幅度相角特性曲线；一系列的 值对应一族幅相特性曲线。 =0情况（正弦激励情况），即S平面中的j轴到H平面中的映射，这时得到的这条曲线叫做系统函数的复轨迹。,0,0,U,V,S平面,H平面,映射,例：,1,V,U,3.极点、零点图 系统函数可以表示成有理函数的形式，即,我们所关心的系统是实际系统，即物理可实现系统，所以描述系统特性的系统函数的系数都是实的，所以系统函数是一个实的有理函数，系统的零极点的定义是： 极点：使H(S)为无穷大的S值； 零点：使H(S)为0的S值。,显然，P1Pn是系统函数的极点；Z1Zm是系统函数的零点，,系统函数的极点是系统函数分母多项式为0的根，而零点是H(S)分子多项式为0的根。由于H(S)是实的有理函数，所以系统函数的极零点是实的或是共轭复根；若有r阶重根，就称为H(S)的r阶极点或r阶零点。,分别用表示极点，表示零点于S平面上，得到的这张图叫系统的极零图。,0,S平面,若有重阶极点，则在极点的位置打一括号，内标上阶数即可。Zi、Pj确定系统的特性，因此只要系统函数的零点、极点位置确定了，系统性质就确定了。后面可见，它还决定系统的频响特性。,6.2 系统函数的极零点分布及稳定性,一、系统函数极零点分布及其时域模型 由(1)式，若nm，则当 时，,所以，H(S)在无穷大处有一(n-m)阶零点；,若nn时，H(S)在 处有一(m-n)阶极点，当 ，认为该点在虚轴上，又因为系统稳定，则虚轴上的极点只能是单阶的，所以 ，即分子多项式的最高阶次只能比分母多项式高一次。策动点函数：若 ，策动点阻抗满足 ；,策动点导纳满足 ，因此对于策动点函数H(S)，其分子分母多项式的阶次之差不能大于一，即,稳定的转移函数：设H(S)为转移函数且m=n+1，则,其中A为常数，若 那么在响应的变换式中有一项 ，对应的时域表示为 ，当 增加时，响应的幅度也增加，当 趋于无穷大时，幅度也趋于无穷大；有限的激励引起了一个无限的响应，所以稳定的转移函数要求 。,反馈系统：输出或部分输出反过来馈送至输入，从而引起输出本身变化的系统。简化的反馈系统的方框图如下：,Y(S),R(S) +,E(S),_,G(S),H(S),图中，G(S)是前向路径的系统函数，也称为放大器的增益，H(S)是反馈路径的系统函数，Y(S)是放大器的输出，放大器的输入E(S)是通过反馈路径将输出的一部分与基准信号R(S)相加（在控制系统中往往利用两者的差作为控制信号来控制系统）。,整个系统的系统函数称为闭环系统函数，由框图得,G(S)H(S)称为开环转移函数（系统函数），从上式可见，闭环系统函数的分子是前向路径的系统函数，分母是开环系统函数加1。 该系统稳定性判断：系统函数T(S)的极点是否均在S平面的左半平面，即系统的特征方程1+G(S)H(S)=0的根实部是否小于0。因系统是实的，所以 是实的，系统函数的极点是实的或共轭复的，特征方程因式分解式中含有：1.实根，对应(S+a)，显然a0; 2. 共轭复极点，对应,对于稳定系统，显然b0,c0; 3.还可能有S或S2+d项，d0。结论：对于稳定系统，D(S)的系数ai全部都为正实数；且为下面三种情况之一：多项式D(S)系数无缺项（a0除外）；缺全部偶次项；缺全部奇次项。,策动点函数对N(S)有同样的要求；该条件是必要条件，而非充分条件。如2S3+S2+S+6=0，有右半平面的根：,3.罗斯-霍维茨判据（1877年、1895年罗斯和霍维茨先后提出） 系统的特征方程为：anSn+an-1Sn-1+.+a1S+a0=0 ，首先将多项式的系数排列成如下形式：,然后，以这两行为基础，计算下面各行，从而构成一个数值表，该表称为罗斯-霍维茨阵列。,递推公式为：,这样得到的阵列只有n+1行，且最后两行只有一个元素，阵列中的第一列 构成的数列称为R-H数列。罗斯-霍维茨定理：在R-H数列中，顺次计算的符号变换的次数等于方程所具有的实部为正的根数。系统稳定判据：R-H数列中，若无符号变化，则系统稳定；有符号变化，则系统不稳定。例1：设系统特征方程为2S3+S2+S+6=0，试判断该系统是否稳定。解：2 1 1 6 -11 0 6 0,由R-H数列知，符号变化了两次，说明有两个右半平面的根，所以系统不稳定。,例2：,R(S) +,_,G(S),Y(S),已知一反馈系统，其中 ，问K为何值时系统稳定。,解：反馈系统的系统函数为,所以系统的特征方程为S3+5S2+4S+K=0，构成R-H阵列：,使系统稳定，R-H数列必须无符号变化，可得： 020数列符号变化两次。,计算R-H阵列时，有时出现Ai=0的情况，使计算无法进行。此时，可将特征方程乘以因式(S+1)，再重新排列出阵列并进行判断（相当于在原系统上增加了一个S=-1的极点）；另一种方法是用一个无穷小量 来代替零，继续排列下去，然后令 加以判定。例3：已知系统特征方程为S4+S3+2S2+2S+3=0，试判定系统的稳定性。,解：,R-H数列中：当 时，数列变号两次；当 时，数列变号两次；所以该系统不稳定。,在计算R-H阵列时，如 连续两行数字相等或成比例，则下一行元素全部为0，阵列无法排下去，此时说明系统函数在虚轴上有极点，这种情况处理如下：有全零行的前一行元素组成一个辅助多项式，用此多项式导数的系数代替全零行，则可继续排出罗斯-霍维茨阵列。因为这时辅助多项式必为原系统多形式的一个因式，令它等于零所求得的根必是原系统函数的极点，这些极点分布于虚轴上，因此这时的判据除审查罗斯-霍维茨数列是否变号外，还需察看虚轴上极点的阶数。R-H数列变号，系统不稳定；不变号的情况下，虚轴上有单阶极点，系统临界稳定，否则不稳定。例4：系统特征方成为S5+S4+3S3+3S2+2S+2=0，判断系统的稳定性。解：,辅助多项式为S4+3S2+2，其导数为4S3+6S R-H数列不变号，说明S的右半平面内无极点。再看辅组多项式，令S2=x，解得x=-1，x=-2，所以 ，虚轴上均是单阶极点，说明,该系统临界稳定。,6.3 波特图,（由系统函数的零极点分布求解系统的频响特性）,一、系统函数的极点、零点与系统频响特性的关系,从矢量概念入手讨论系统的零点极点分布对系统幅频特性和相频特性的影响：,系统函数为 ，系统的频响特性为：,其中： 都可看成S平面中的一个矢量，这样 或,则是矢量运算，结果仍是一个矢量，该矢量由,或,指向 ，而每个矢量又可以表示成模与相角的形式。,所以,说明：系统的幅频特性等于系统函数各零点到j矢量的模的乘积与各极点到j矢量的模的乘积之比；系统的相频特性等于系统函数各零点到j矢量的相角的和与各极点到j矢量的相角的和之差。,例：,例：,+,ui,R,C,+,u0,解：RC网络的系统函数为,A,0,1,0,当 取等于极点的虚部时， 有最小模量，在这个频率点上,出现峰值，当 取等于零点的虚部时， 有最小模,量，在这个频率点上 出现谷点，而相位特性在这个频率点近似为线性特性，以此可定性地判断出网络的选频特性。,由系统函数的极零点分布情况可定义出以下几种网络： 全通网络：系统函数的极点与零点关于虚轴对称，这种网络的系统函数称为全通函数。该网络的幅频特性为一常数，说明网络对各种频率的信号一视同仁地传输，所以称为全通，其相频特性不受约束，这种网络通常用作相位校正。,最小相移函数：系统函数的极点与零点均在S平面的左半平面或j轴上，相应的网络称为最小相移网络。顾名思义，所谓最小相移网络是指网络产生的相移最小。,非最小相移函数：S平面的右半平面有零点。,若零点在左半平面，当从0至无穷大变化时，相频特性从0 变化；若零点在右半平面，相频特性从 变化，相移变化范围大，因此称为非最小相移。,二、波特图：（H.W.Bode提出）,系统函数的极零点分布来描绘系统的频响特性直观、方便，精度低，系统阶数高时繁琐，只适合于定性分析。,波特图法是另一种描绘系统频响特性的方法，仍是一种近似描述，当精度提高。优点：1.对于横坐标而言，可以在同一幅图上把低频至高频部分的曲线变化情况同时表现清楚；2.对于纵坐标，也可以同时细致地反映较大与较小的幅度传输系数值；3.系数函数取对数后，把乘除运算转换为加减运算。,波特图：以系统函数模量的对数值和相位大小相对于对数尺度所作出的频率特性曲线称为波特图。该方法使频响曲线能够用折线来近似，可迅速地观察到频响曲线的主要特征，方便简捷。,1.对数频率特性,系统的频响特性为:,取自然对数,其中,称为对数增益，简称增益，单位为 奈培,(Np)，()为相位特性，单位为弧度或度。,取常用对数并乘20，单位为分贝(dB)，此时,分贝与奈培之间的换算关系：,习惯上G()的单位用分贝,因为,所以,其中,相位,2.一次因式的增益,假设极点和零点都是单阶的，且是实的，先考虑一个零点因式,，设 ，则因式 的模量为,于是该因式的对数增益为,相角为,考虑对数增益，式中：第一项与无关，可归并到20logH0中考虑，第二项用G1()来表示，即,当 时， 说明频率很低，称之为低频渐近线方程，它与横坐标重合。,当较大，以致2T121时，增益为,这个方程反映了频率较高时增益的情况，称之为高频渐近线方程。,高频渐近线与低频渐近线有一个交点,该交点对应的频率1称为断点或折断频率。,频率较低或较高时，两条直线较清楚地反映了幅度特性随频率的变化关系（反映了实际曲线），但当频率在折断频率附近时，将有一定的误差，而且在折断处的误差最大。,高频渐近线的斜率反映了幅度增益与频率变化之间的对应关系。,当极点或频点为零时，对应的增益曲线为20log，是通过原点的直线。,当增大到原来的10倍时，增益增加20dB，称为10倍频20dB，记为20dB/10倍频；频率增加一倍，增益增加6dB，称为每倍频程6dB，写作6dB/倍频程。,做一次因式的增益时，首先有零点或极点找出折断频率，,或 ；然后在对数坐标中作一条通过折断频率点斜率违倍频程6dB的直线；最后，根据三个点的误差值作出更精确的曲线。,若系统中有若干个一阶零点和若干个一阶极点，可由若干个折线（折断频率不同）叠加而成；注意，一阶极点的折线与零点的折线相反，其高频渐近线的斜率为负。,例：如图所示RC电路，写出电压传输函数的表达式,求幅频响应特性的波特图：设,解:,引入符号：,则,lg,式中各项频响曲线如图中I、II、III、和IV所示。实线示出了 G()的曲线。,3.一次因式的相角,一次零点因式的相角为,设T1为正，当频率很低 (如 )时，,当频率很高 (如 )时，,当 时，,这样一次相位特性可用三条直线构成的折线来近似：一是,一是,还有,一条是斜率为每十倍频,的直线。再根据几,个特例点的相角，精确地绘出一次因式的曲线。,当零点位于原点时，因式(j-0)的相角为90，且不随频率变化。,有若干个一次因式时，相角就是上述特性的迭家，对应极点的一次因式相角为,4.二