数学北师大版九年级下册函数应用专题复习.docx

函数的应用复习专题一、考情搜索 函数的应用是安徽中考每年必考题型,成为安徽卷中的亮点题目,形式设置简洁流畅,背景鲜活,体现初高中数学知识的衔接.尤其对函数的实际应用题,应注意第一步由实际问题抽象出数学问题;第二步解决数学问题,从而使实际问题得到解决.其间应注意对转化、数形结合、方程、待定系数法等思想方法的灵活运用.如安徽2009年第23题是一次函数与二次函数的综合应用,2012年第21题是一次函数与反比例函数的综合应用,2013年第22题是复合型函数的综合应用,2014年第20题是方程组与一次函数综合题,2015年第22题,考查了二次函数在几何图形最值问题中的应用,2016年第20题是一次函数与反比例函数综合应用问题,第22题是二次函数与图形面积最值问题相结合的综合问题.预计2017年安徽中考仍会出现函数应用的综合题,尤其是带有图象信息的综合实际应用题. 二、专题归纳 函数的实际应用题是近年中考的热点试题,这类题来源于生活和生产实践,贴近生活,具有较强的操作性和实践性,所以参考条件多,思维有一定的深度,解答方法灵活多样,解决问题时要慎于思考.题型主要包括:根据实际意义建模;利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等. 安徽中考试卷以实际生活为背景命制题目,体现数学与生活的联系.把数学问题转化在生活背景中是近年来经常出现的命题方式,无不体现数学在实际生活中的应用.纯函数型情境应用题:解决这类问题的关键是针对背景材料,设定合适的未知数,找出相等关系,建立方程(组)、不等式、函数型模型来解决. 几何背景下的函数情境应用题:解决这类问题的关键是在理解题意的基础上,对问题进行恰当的抽象与概括,建立恰当的几何模型,从而确定某种几何关系,利用相关几何知识来解决.几何求值问题,当未知量不能直接求出时,一般需设出未知数,继而建立方程(组),用解方程(组)的方法去求结果,这是解题中常见的具有导向作用的一种思想. 对于几何图形与函数图象结合的综合题型,解题的关键是利用几何图形的有关性质确定点的坐标,联想到点的坐标和线段长之间的转化关系,一般作垂直于坐标轴的线段,构建直角三角形,利用勾股定理、相似、三角函数等相关知识求出点的坐标,利用待定系数法求出函数解。结合图象也可进一步解决几何图形的其他问题。三、典例精析题型1一次函数与反比例函数的综合应用典例1(2016淮北三模)如图,在第一象限内,一次函数y=k1x-2的图象与反比例函数y= 的图象相交于点A(4,a),与y轴、x轴分别相交于B,C两点,且BC=CA.(1)求反比例函数的解析式;(2)根据图象,试求出在第一象限内,一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围;(3)若M(m,n)(0m4)为反比例函数y= 图象上一点,过M点作MNx轴交一次函数y=k1x-2的图象于N点,若以M,N,A为顶点的三角形是直角三角形,求M点的坐标.【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定及性质、待定系数法求函数解析式以及垂直的性质.(1)过点A作AEx轴于点E,通过证明ACEBCO得出AE=BO,求出线段BO的长度,从而得出点A的坐标,即可求出反比例函数的解析式;(2)由点A的坐标,结合两函数的图象即可求解;(3)由点A的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式,由MN垂直x轴和直线AB的解析式即可得出点N的坐标,由AMN为直角三角形可得出关于m的一元二次方程,解方程即可求出m值,将其代入点M的坐标即可得出结论.【答案】(1)过点A作AEx轴于点E.AEx轴,BOOC,AEC=BOC=90,ACEBCO,AE=BO.令一次函数y=k1x-2中x=0,则y=-2,BO=AE=2.点A的坐标为(4,2), (2)观察函数图象可知:当0x4时,一次函数图象在反比例函数图象下方,在第一象限内,一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围为0x4. 点A(4,2)在一次函数y=k1x-2的图象上,2=4k1-2,解得k1=1,一次函数的解析式为y=x-2.MNx轴交一次函数y=x-2的图象于N点,点N的坐标为(m,m-2).以M,N,A为顶点的三角形是直角三角形,只能是AMAN,即 =-1,m2-6m+8=0,解得m1=2,m2=4(舍去).点M的坐标为(2,4). 题型2二次函数图象的实际应用(抛物线型）【解析】本题考查三角函数、运用待定系数法求抛物线的解析式、解一元二次方程等知识.(1)过点P作PHOA于点H,如图,设PH=3x,运用三角函数可得OH=6x,AH=2x,根据条件OA=4可求出x,即可得到点P的坐标;(2)若水面上升1m后到达BC位置,如图,运用待定系数法可求出抛物线的解析式,然后求出y=1时x的值,就可解决问题. (2) 若水面上升1 m后到达BC位置,如图,题型3二次函数的实际应用典例3(2016武汉)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售,每年产销x件.已知产销两种产品的有关信息如下表: 过点O(0,0),A(4,0)的抛物线的解析式可设为y=ax(x-4), 其中a为常数,且3a5.(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元,直接写出y1,y2与x的函数关系式;(2)分别求出产销两种产品的最大年利润;(3)为获得最大年利润,该公司应该选择产销哪种产品?请说明理由.【解析】本题考查实际问题中利用函数单调性求函数的最值问题.(1)根据题意,直接写出关系式即可;(2)在(1)的结论上,对y1和y2进行讨论,求出两种产品的最大年利润;(3)可在(2)的结论上,对a进行分类讨论,得出结论.【答案】(1)y1=(6-a)x-20(0x200),y2=-0.05x2+10x-40(00,y1随x的增大而增大.当x=200时,(y1)max=1180-200a(3a5).乙产品:y2=-0.05x2+10x-40(0x80),当0440,即3a3.7时,此时选择甲产品;当1180-200a=440,即a=3.7时,此时选择甲、乙产品都可以;当1180-200a440,即3.7a5时,此时选择乙产品.当3a3.7时,产销甲种产品年利润最大;当a=3.7时,产销两种产品都可以;当3.7a5时,产销乙种产品年利润最大. 题型4二次函数背景下的简单的几何动点问题典例4(2016湖北襄阳)如图,已知点A的坐标为(-2,0),直线y=- x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C,连接AC,顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A,B,C三点.(1)请直接写出B,C两点的坐标,抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E,P是第一象限内抛物线上一点,过点P作x轴的垂线,交线段BC于点F,若四边形DEFP为平行四边形,求点P的坐标;(3)设点M是线段BC上的一动点,过点M作MNAB,交AC于点N,点Q从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动,运动时间为t(秒),当t(秒)为何值时,存在QMN为等腰直角三角形。 (2)当DPBC时,四边形DEFP是平行四边形, 设直线DP的解析式为y=mx+n, (3)由题意可知0t6,设直线AC的解析式为y=m1x+n1,把A(-2,0)和C(0,3)代入y=m1x+n1,得 如图3,当NQM=90时,过点Q作QEMN于点E,过点M作MFx轴于点F,则四边形EQFM是正方形.设QE=a, 题型5一次函数、反比例函数和二次函数的综合应用 (1)求k的值。(2)当t=1时，求AB的长，并求直线MP与抛物线L的对称轴之间的距离；(3)把抛物线L在直线MP左侧部分的图像记为G,用t表示图像G最高点的坐标。【解析】本题考查二次函数的综合问题、待定系数法、平移等知识.(1)设点P(x,y),只要求出xy即可解决问题;(2)先求出A,B坐标,再求出对称轴以及点M坐标即可解决问题;(3)根据对称轴的位置即可判断,当对称轴在直