2020届重庆一中高三11月月考数学（理）试题（解析版）

2020届重庆一中高三11月月考数学（理）试题一、单选题1在平面直角坐标系中，点位于第（ ）象限.A一B二C三D四【答案】D【解析】由钝角的正弦值大于0，再由诱导公式得，即可得到答案.【详解】，点位于第四象限故选：D【点睛】本题考查三角函数值的符号、诱导公式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题2设，条件p：，条件q：，则p是q的（ ）条件.A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要【答案】A【解析】条件：，条件：；反之不成立：例如取，则即可判断出【详解】条件：条件：；反之，则不成立；例如取，则则是的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定、不等式的性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力.3设m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）A若，则m，n为异面直线B若，则C若，则D若，则【答案】B【解析】利用空间中线、面的位置关系对每个选项一一判定，即可得到答案.【详解】对A，若，则，可能平行、相交、异面故A错误；对B，若，则垂直平面内所有的直线，又，所以故B正确；对C，若，则，可能相交，平行故C错误；对D，若，则，可能平行、相交、异面故D错误故选：B【点睛】本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查学生的空间想象能力.4已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）A4B6C16D25【答案】C【解析】由已知可得，展开后利用基本不等式即可求解【详解】正数，满足，则，当且仅当且即时取得最小值故选：C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑5设函数，则下列说法中正确的是（ ）A为奇函数B为增函数C的最小正周期为D图象的一条对称轴为【答案】D【解析】利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的性质分别进行判断即可【详解】因为，对A，函数不关于原点对称，所以不为奇函数，故A错误；对B，函数在上不具有单调性，故B错误；对C，函数的周期，故C错误；利用排除法可得D正确.故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式进行化简是解决本题的关键6设正项等比数列的前n项之和为，若，则的公比（ ）AB1CD或【答案】C【解析】利用等比数列的通项公式即可算出结果【详解】等比数列的各项为正数，即：，化简得：，解得或，又，.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，求解时注意公比的范围，考查运算求解能力7已知集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】分别求出集合M和N，由此能求出【详解】集合，,，故选：A【点睛】本题考查并集的求法、不等式的求解、函数的定义域、值域等知识，考查运算求解能力8已知向量，满足，则（ ）ABCD3【答案】C【解析】对两边平方求出的值，再求出的值，从而求出的值【详解】，故选：C【点睛】本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力9某几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图中的圆的半径均为2，则该几何体的体积为（ ）A8BCD【答案】A【解析】由三视图可得几何体为个球，根据球的体积公式可求得结果.【详解】根据几何体的三视图知，该几何体是半径为的球体，切去个球后所剩余部分，如图所示该几何体的体积为故选：【点睛】本题考查球的体积的求解，关键是能够利用三视图准确还原几何体，属于基础题.10王老师是高三的班主任，为了在寒假更好的督促班上的学生完成学习作业，王老师特地组建了一个QQ群，群的成员由学生、家长、老师共同组成.已知该QQ群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ群人数的最小值为（ ）A20B22C26D28【答案】B【解析】设教师人数为，由题意判断人数关系，求出的值后，即可求得答案【详解】设教师人数为，家长人数多于教师人数，家长人数，女学生人数多于家长人数，女学生人数，男学生人数多于女学生人数，男学生人数，总人数，教师人数的两倍多于男学生人数，当时，家长人数为5，女学生人数为6，男学生人数为7，满足题意，总人数为22故选：B【点睛】本题考查集合的应用问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力.11如图，正方体中，E为AB中点，F在线段上.给出下列判断：存在点F使得平面；在平面内总存在与平面平行的直线；平面与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点F的位置无关；三棱锥的体积与点F的位置无关.其中正确判断的有（ ）ABCD【答案】D【解析】运用线面垂直的定义，结合反证法即可判断；运用线面平行的判定定理，即可判断；由二面角的平面角的定义，结合向量法即可判断；由线面平行，结合三棱锥的体积公式可以判断【详解】对于，假设存在F使得平面，则，又，平面，则，这与矛盾，所以错误；对于，因为平面与平面相交，设交线为，则在平面内与平行的直线平行于平面，故正确；对于，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间坐标系，则平面的法向量为而平面的法向量，随着位置变化，故平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，故错误；对于，三棱锥的体积即为三棱锥，因为平面，所以，当在线段上移动时，到平面的距离不变，故三棱锥的体积与点的位置无关，即正确故选：D【点睛】本题考查线面垂直和平行的判断，以及二面角的求法和三棱锥体积，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题12已知函数，等差数列满足条件，则（ ）A6B3CD【答案】D【解析】对函数求导得函数在上单调递增，由，可得根据等差数列满足条件，即，可得再利用等差数列的性质即可得出【详解】函数，在上单调递增，对任意实数，等差数列满足条件，.故选：D【点睛】本题考查函数的性质、等差数列的性质、三角函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题13实数x，y满足，则的最大值为_.【答案】12【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】由实数，满足，作出可行域如图，可得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值为故答案为：12【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题14大衍数列，来源于我国的乾坤谱，是世界数学史上最古老的数列，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，则大衍数列的第41项为_.【答案】840【解析】分析数列的奇数项，得出奇数项为，根据此规律代入求出即可【详解】奇数项为 ,根据此规律有：第41项为，故答案为：840【点睛】本题考查观察分析猜想归纳求数列的通项公式的方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题.15已知正三棱锥的底面边长为，体积为，则其外接球的表面积为_.【答案】【解析】先画出图形，先根据正三棱锥的边长和体积求出正三棱锥的高，再根据正三棱锥的性质，确定外接球的球心在正三棱锥的高线上，利用勾股定理即可求出外接球的半径【详解】如图，根据正三棱锥的性质有点P在底面ABC的投影为三角形ABC的外心，设为D，其外接球的球心在PD上，设为点O，设外接球半径为r，三角形ABC的外接圆半径为R，所以，由正弦定理有，所以，在中有，所以解得，所以外接球表面积，故答案为：【点睛】本题考查正三棱锥外接球半径的求法，需要用到球心的性质，考查空间想象能力和运算求解能力16设函数，若方程恰有两个不相等的实根，则的最大值为_.【答案】【解析】由题意，令，则函数有两个不相等的实根，画出图象，显然，进而得到，由此即可得解【详解】当时，则；当时，则，令，则函数有两个不相等的实根，即函数与直线有且仅有两个交点，作出图象如图所示，由图象可知，且，则，令，则，令，解得，显然，当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，故答案为：【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想及数形结合思想，运算求解能力及逻辑推理能力，属于中档题三、解答题17法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点P满足，则称P为的费马点.如图所示，在中，已知，设P为的费马点，且满足，.（1）求的面积；（2）求PB的长度.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知利用三角形的内角和定理可得，可得在中，可得，利用三角形的面积公式即可求解的面积（2）利用特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式可求，的值，在中，由正弦定理可得PB的值【详解】（1）由已知，所以.在中，故.所以的面积.（2）在中，由正弦定理（）而，代入（）式得.【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的面积公式、特殊角的三角函数值、两角差的正弦函数公式、正弦定理在解三角形中的综合应用，考查转化与化归思想、函数与方程思想18数列满足，.（1）证明：为等差数列，并求的通项公式；（2）求数列的前n项之和为.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）将等式两边同除以，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和【详解】（1）由已知，由定义知为等差数列，且公差为，首项为，故.（2）由已知，故，相减得：，即，所以.【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式，等比数列的求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题19已知四棱锥的底面为正方形，且该四棱锥的每条棱长均为，设BC，CD的中点分别为E，F，点G在线段PA上，如图.（1）证明：；（2）当平面PEF时，求直线GC和平面PEF所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设，由正棱锥的性质可知PO平面ABCD，得到POEF，再由ABCD是正方形结合EF为BCD的中位线，可得EFAC，得到EF平面PAC，进一步得到EFGC；（2）分别以PB，OC，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出A，P，E，F的坐标，设，且，其中，求得，设平面PEF的一个法向量为，求得，结合BG平面PEF，利用数量积为0求得，进一步得到，又，求出直线GC的法向量为设GC和平面PEF所成角为，再由求解【详解】（1）证明：由已知为正四棱锥，设AC，BD交于点O，由正棱锥的性质可知平面ABCD，所以，由于正方形ABCD满足，EF为的中位线，故，所以，所以平面PAC，而平面PAC，所以.（2）分别以OB，OC，OP为坐标轴建立如图坐标系，此时，.设，且，其中，即，设平面PEF的法向量为，由于，由解得，由平面PEF知，解得，此时，由于，故.所以直线GC的方向向量，设GC和平面PEF所成角为，则.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题20已知函数.（1）经过点作函数图象的切线，求切线的方程；（2）设函数，求在上的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设切点坐标为，斜率，利用点在曲线上和切线上，可得关于的方程；（2）对求导，设出隐零点，根据单调性求出最小值，代入化简即可【详解】（1）由于，设切点坐标为，则，切线斜率；另一方面，故，此时切点坐标为，所以切线方程为，即.（2）由已知，故.由于，故，由于在单调递增，同时，故存在使得，且当时，当时，所以当时，当时，即函数先减后增.故.由于，所以.【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.21已知椭圆方程为（1）设椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上运动，求的值；（2）设直线和圆相切，和椭圆交于、两点，为原点，线段、分别和圆交于、两点，设、的面积分别为、，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设点，由该点在椭圆上得出，然后利用距离公式和向量数量积的坐标运算求出的值；（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，在直线的斜率不存在时，可求得，在直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，根据直线与圆相切，得出，并将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，将表示为的函数，转化为函数的值域的求解，综合可得出答案.【详解】（1）由已知，设，由，同理，可得，结合，得，故；（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为，由对称性，不妨设，此时，故若直线的斜率存在，设其方程为，由已知可得，则，设、，将直线与椭圆方程联立，得，由韦达定理得，结合及，可知将根与系数的关系代入整理得：，结合，得设，则的取值范围是【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题的求解，涉及椭圆上点的坐标的应用，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积比值的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题.22已知曲线C的参数方程为，（为参数）.（1）若点在曲线C上，求m的值；（2）过点的直线l和曲线C交于A，B两点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）运用平方法和同角的平方关系，以及代入法，解方程可得所求值；（2）设直线l的参数方程为（t为参数，为倾斜角），联立圆的方程，运用韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求范围【详解】（1）已知曲线C的参数方程为，等价于，由于，所以等价于.整理得曲线C的普通方程为，将代入解得.（2）设直线l的参数方程为（t为参数，为倾斜角），与联立得：，由韦达定理，.由于，异号，故，将韦达定理代入，并结合