插值拟合与数值微积分建模案例PPT课件

1 插值 拟合与数值微积分 建模案例 1 估计水塔的水流量2 录像机计数器的用途3 汽车刹车距离 2 问题 估计水塔的水流量 某地区用水管理机构需要对居民的用水速度 单位时间的用水量 和日总用水量进行估计 现有一居民区 其自来水是由一个圆柱形水塔提供 水塔高12 2m 塔的直径为17 4m 水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水 一般水泵每天工作两次 按照设计 当水塔中的水位降至最低水位 约8 2m时 水泵自动启动加水 当水位升高到最高水位 约10 8m时 水泵停止工作 表1给出的是某一天的测量数据 测量了28个时刻的数据 但由于水泵正向水塔供水 有三个时刻无法测到水位 表中用 表示 试建立数学模型 来估计居民的用水速度和日用水量 3 表1水塔中水位原始数据 4 分析 日用水量 用水速度 每个时刻水塔中水的体积 每个时刻水塔中水的体积 居民的用水速的 日用水量 思考 数值微分 5 模型假设 影响水从水塔中流出的流量的唯一因素是公众对水的传统要求 水塔中的水位 气候条件 温度变化等不影响水流量的大小 水泵充水速度恒定 且远大于水塔的水流速度 水塔的水流量与水泵状态独立 水流量曲线是一条连续光滑的曲线 表1数据是准确的 6 表2水塔中水的体积 其中d为水塔中水的高度 r为底面半径 模型建立与求解 7 图1水塔中水体积的散点图 8 图2水塔中水流速度的散点图 9 图3预测水塔中未知的流速 10 图4样条插值得到的水流速度曲线 11 结果 模型检验 返回 模型稳定性分析 运用数值求积公式可得 12 问题 在一次使用中录像带已经转过大半 计数器读数为4450 问剩下的一段还能否录下1小时的节目 要求 不仅回答问题 而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系 思考 计数器读数是均匀增长的吗 录像机计数器的用途 经试验 一盘标明180分钟的录像带从头走到尾 时间用了184分 计数器读数从0000变到6061 13 录像机计数器的工作原理 录像带运动 问题分析 观察 计数器读数增长越来越慢 14 录像带的运动速度是常数v 计数器读数n与右轮转数m成正比 记m kn 录像带厚度 加两圈间空隙 为常数w 空右轮盘半径记作r 时间t 0时读数n 0 建模目的 建立时间t与读数n之间的关系 设v k w r为已知参数 模型假设 15 模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法 1 右轮盘转第i圈的半径为r wi m圈的总长度等于录像带在时间t内移动的长度vt 所以 请解释 16 2 考察右轮盘面积的变化 等于录像带厚度乘以转过的长度 即 3 考察t到t dt录像带在右轮盘缠绕的长度 有 模型建立 17 思考 3种建模方法得到同一结果 模型中有待定参数 一种确定参数的办法是测量或调查 请设计测量方法 思考 18 参数估计 另一种确定参数的方法 测试分析 将模型改记作 只需估计a b 理论上 已知t 184 n 6061 再有一组 t n 数据即可 实际上 由于测试有误差 最好用足够多的数据作拟合 现有一批测试数据 用最小二乘法可得 19 模型检验 应该另外测试一批数据检验模型 模型应用 回答提出的问题 由模型算得n 4450时t 116 4分 剩下的录像带能录184 116 4 67 6分钟的节目 揭示了 t与n之间呈二次函数关系 这一普遍规律 当录像带的状态改变时 只需重新估计a b即可 返回 20 汽车刹车距离 美国的某些司机培训课程中的驾驶规则 背景与问题 正常驾驶条件下 车速每增10英里 小时 后面与前车的距离应增一个车身的长度 实现这个规则的简便办法是 2秒准则 后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志 而不管车速如何 判断 2秒准则 与 车身 规则是否一样 并建立数学模型 寻求更好的驾驶规则 21 问题分析 常识 刹车距离与车速有关 10英里 小时 16公里 小时 车速下2秒钟行驶29英尺 9米 车身的平均长度15英尺 4 6米 2秒准则 与 10英里 小时加一车身 规则不同 刹车距离 反应时间 司机状况 制动系统灵活性 制动器作用力 车重 车速 道路 气候 最大制动力与车质量成正比 使汽车作匀减速运动 车速 22 假设与建模 1 刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和 2 反应距离d1与车速v成正比 3 刹车时使用最大制动力F F作功等于汽车动能的改变 Fd2 mv2 2 F m t1为反应时间 且F与车的质量m成正比 23 反应时间t1的经验估计值为0 75秒 参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合k 模型 最小二乘法 k 0 0255 用2 3列数据 其中s为刹车距离 刹车时间计算 24 计算结果 25 2秒准则 应修正为 t秒准则 模型 26 思考 1 在不同量纲下得到的拟合系数k是否