高考数学总复习 第六章第六节 直接证明与间接证明课件 理.ppt

第六节直接证明与间接证明 1 直接证明 推理论证 成立 证明的结论 充分条件 2 间接证明反证法 假设原命题 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫做反证法 不成立 矛盾 1 综合法和分析法的区别和联系是什么 提示 综合法的特点是 从 已知 看 可知 逐步推向 未知 其逐步推理实际上是寻找它的必要条件 分析法的特点 从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 其逐步推理实际上是寻求它的充分条件 在解决问题时 经常把综合法和分析法结合起来使用 2 反证法的关键是推出矛盾 这些矛盾主要有哪些 提示 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与已知条件矛盾 或与假设矛盾 或与定义 公理 定理 事实矛盾等 1 教材改编题 用反证法证明命题 a b n ab可被5整除 那么a b中至少有一个能被5整除 时 假设的内容应为 a a b都能被5整除b a b都不能被5整除c a b不都能被5整除d a不能被5整除 解析 至少有一个 的否定 没有一个 答案 b 答案 c 3 设a b c是三个集合 那么 a b 是 a c b c 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 a b a c b c 但a c b cd a b 如当c a b时 a c b c 选a 答案 a 对于定义域为 0 1 的函数f x 如果同时满足以下三条 对任意的x 0 1 总有f x 0 f 1 1 若x1 0 x2 0 x1 x2 1 都有f x1 x2 f x1 f x2 成立 则称函数f x 为理想函数 g x 2x 1 x 0 1 是否为理想函数 如果是 请予证明 如果不是 请说明理由 思路点拨 根据理想函数的定义 证明g x 满足理想函数的三个条件即可 综合法 尝试解答 g x 2x 1 x 0 1 是理想函数 证明如下 x 0 1 2x 1 2x 1 0 即对任意x 0 1 总有f x 0 满足条件 f 1 21 1 1 故满足条件 当x1 0 x2 0 且x1 x2 1时 f x1 x2 2x1 x2 1 f x1 f x2 2x1 2x2 2 f x1 x2 f x1 f x2 2x1 x2 2x1 2x2 1 2x1 2x2 1 2x2 1 2x2 1 2x1 1 x1 0 x2 0 则2x1 1 0 2x2 1 0 f x1 x2 f x1 f x2 0 即f x1 x2 f x1 f x2 满足条件 故函数g x 2x 1 x 0 1 是理想函数 1 综合法是 由因导果 的证明方法 它是一种从已知到未知 从题设到结论 的逻辑推理方法 即从题设中的已知条件或已证的真实判断 命题 出发 经过一系列的中间推理 最后导出所要求证结论的真实性 2 综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理 本例中条件不变 问题变为 若函数f x 是理想函数 证明f 0 0 如何求解 解 令x1 x2 0 则x1 x2 1 f 0 0 f 0 f 0 f 0 0 又由条件 知f 0 0 f 0 0 思路点拨 先去分母 再合并同类项 化成积式 尝试解答 m 0 1 m 0 所以要证原不等式成立 只需证明 a mb 2 1 m a2 mb2 即证m a2 2ab b2 0 即证 a b 2 0 而 a b 2 0显然成立 故原不等式得证 分析法 1 分析法是 执果索因 的证明方法 其主要过程是从结论出发逐步寻求使结论成立的充分条件 用分析法证明命题的逻辑关系是 b b1 b2 bn a 它的常见书面表达是 要证 只需证 2 对于较复杂的不等式 通常用分析法探索证明途径 然后用综合法加以证明 分析法的特点是 从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 优点是利于思考 因为它的方向明确 思路自然 而综合法的优点是易于表述 条理清晰 形式简洁 1 用单调性的定义证明f x 在 1 上为增函数 2 用反证法证明 方程f x 0没有负数根 思路点拨 1 按照 设元 作差 变形 判号 结论的步骤证明 2 需证明的是否定性结论 可用反证法证明 反证法 1 当一个命题的结论是以 至多 至少 唯一 或以否定形式出现时 宜用反证法来证 反证法关键是在正确的推理下得出矛盾 矛盾可以是与已知条件矛盾 与假设矛盾 与定义 公理 定理矛盾 与事实矛盾等 2 直接证明与间接证明是数学证明的两类基本的证明方法 直接证明含综合法与分析法 间接证明的一种基本方法是反证法 从近两年的高考试题来看 综合法 反证法证明问题是高考的热点 题型大多为解答题 难度为中 高档 主要是在知识交汇点处命题 像数列 立体几何中的平行 垂直 不等式 解析几何等都有可能考查 在考查基础知识的同时 考查等价转化 分类讨论思想以及逻辑推理能力 在证明时一定要注意步骤的规范化 规范解答之十用综合法证明不等式 易错提示 1 解答 1 时 没有去分母 等价转化不等式 导致作差变形无法进行 2 解答 2 时 没有注意到各项之间的倒数关系 从而无法使用对数的性质及换底公式等价转化不等式 防范措施 1 在证明不等式时 应综合考虑待证不等式的结构特征 是否先去分母 应根据后面证明不等式的手段确定 2 解答第 2 问有意识地运用第一问的结果或解题方法至关重要 本题通过换元法使待证不等式的左右两边分别是倒数关系 和 1 中不等式类似 从而可利用 1 的结论证明 1