高中数学 1.3.1 二项式定理复习课件 新人教A版选修23.ppt

1 3 1二项式定理 1 能用计数原理证明二项式定理 2 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 3 能解决与二项式定理有关的简单问题 1 本课时的重点是二项式定理和二项展开式的通项公式 2 本课时的难点是二项式定理的推导和通项公式的应用 1 二项式定理 a b n 1 这个公式所表示的定理叫做二项式定理 2 展开式 等号右边的多项式叫做 a b n的 展开式中一共有 项 3 二项式系数 各项的系数 叫做二项式系数 二项展开式 n 1 2 二项展开式的通项 1 通项公式 a b n展开式中第k 1项 称为二项展开式的通项公式 2 a b n的通项将 b看成b代入二项式定理中 得到 a b n展开式中第k 1项为 1 二项式 a b n与 b a n的展开式的第k 1项相同吗 提示 不相同 前者后者解题时 题中给出的二项式的两项是不能随意变换的 2 x y 5的第4项的二项式系数为 10 对吗 提示 不对 第4项二项式系数为二项式系数一定为正 而项的系数有时可以为负 3 1 2x 7的二项展开式的第4项的二项式系数与第4项的系数相同吗 提示 不相同 第4项的二项式系数为第4项的系数为4 a b 4的展开式为 解析 答案 1 正确理解二项式定理 1 要分清是第k 1项 而不是第k项 2 注意二项式系数与展开式中对应的系数不一定相等 二项式系数一定为正 而项的系数有时可以为负 3 通项公式主要用于求二项式的指数 求满足条件的项或系数 根据不同问题选择不同的解法 4 二项式定理是一恒等式对任意的a b 该等式均成立 通过对a b取不同的特值 常可得到一些给解决与系数相关的问题带来方便的特殊等式 2 二项展开式的结构特征 1 它有n 1项 2 各项的次数都等于二项式的次数n 3 字母a按降幂排列 次数由n递减到0 字母b按升幂排列 次数由0递增到n 4 二项展开式中 系数叫做第k 1项的二项式系数 它们依次为 这是一组仅与二项式的次数n有关的n 1个组合数 而与a b无关 3 用组合知识理解二项式定理由于个 将 a b 看成含有红 a 白 b 两球的盒子 则 a b n的展开式的每一项可以理解为从n个盒子中每一个盒子取出一个球的可能结果 而其前面的系数则是这种结果的方法数 如an kbk是从n个盒子中取出k个白球 b n k 个红球 a 的情况 其方法数为因此 二项式定理的正用与逆用 技法点拨 关于二项式的应用 1 展开二项式可以按照二项式定理进行 展开时注意二项式定理的结构特征 准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件 2 对较复杂的二项式 有时先化简再展开会更简便 3 对于化简多个式子的和时 可以考虑二项式定理的逆用 典例训练 1 设s x 1 4 4 x 1 3 6 x 1 2 4 x 1 1 它等于 a x 2 4 b x 1 4 c x4 d x 1 42 设 则a b 3 用二项式定理展开 解析 1 选c s x 1 1 4 x4 2 a b 3 1 7 27 128 答案 1283 方法一 方法二 思考 解答用二项式定理展开的关键是什么 提示 在展开二项式之前关键是根据二项式的结构特征进行必要的变形 这是使运算简化的途径 如 1 x 5 1 x x2 5的展开式 可根据anbn ab n将原式变形为 1 x3 5 然后展开比较方便 变式训练 求的展开式 解析 方法一 方法二 利用二项式定理求某些特定项 技法点拨 1 求二项展开式的特定项的常见题型 1 求第k项 2 求含xk的项 或xpyq的项 3 求常数项 4 求有理项 2 求二项展开式的特定项的常用方法 1 对于常数项 隐含条件是字母的指数为0 即0次项 2 对于有理项 一般是先写出通项公式 其所有的字母的指数恰好都是整数的项 解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数 根据具体要求 令其属于整数 再根据数的整除性来求解 3 对于二项展开式中的整式项 其通项公式中同一字母的指数应是非负整数 求解方式与求有理项一致 典例训练 1 对于二项式的展开式中 有以下四种判断 存在n n 展开式中有常数项 对任意n n 展开式中没有常数项 对任意n n 展开式中没有x的一次项 存在n n 展开式中有x的一次项 其中正确的是 a 与 b 与 c 与 d 与 2 2012 陕西高考 a x 5展开式中x2的系数为10 则实数a的值为 3 已知在的展开式中 第6项为常数项 1 求n 2 求含x2项的系数 解析 1 选d 二项式的展开式的通项公式为由通项公式可知 当n 4k k n 和n 4k 1 k n 时 展开式中分别存在常数项和一次项 故选d 2 二项展开式的通项公式是所以所以10a3 10 a 1 答案 1 3 二项式展开式的通项公式为 1 第6项为常数项 k 5时有即n 10 2 令又n 10 所以 所求的x2项的系数为 互动探究 若题3的条件不变 试求展开式中所有的有理项 解题指南 为使展开式中为有理项 只需满足指数为整数即可 解析 由 1 中的结果知n 10 根据通项公式 由题意得 则10 2k 3r 即k 5 r k z且0 k 10 k取2 5 8时 才为整数 这时r取2 0 2 第3项 第6项与第9项为有理项 它们分别为 想一想 题3的解题关键及应注意的问题是什么 提示 1 问题3的解决可以分两步完成 第一步是根据所给出的条件 特定项 和通项公式 建立方程来确定指数 求解时要注意二项式系数中n和k的隐含条件 n k均为非负整数 n k 第二步是根据所求的指数 再求所求解的项 2 在应用通项公式时应注意 在实际求解时 若通项中含有根式 宜把根式化为分数指数幂 以减少计算中的错误 对于 a b n展开式的通项公式要特别注意符号问题 变式训练 1 2011 湖北高考 的展开式中含x15的项的系数为 2 2011 山东高考 若展开式的常数项为60 则常数a的值为 解析 1 由18 k 15 得k 2 x15的项的系数为答案 17 2 二项式的展开式的通项为令6 3k 0 则k 2 故解得a 4 答案 4 整除及余数问题 技法点拨 利用二项式定理证明或判断整除问题的思路方法利用二项式定理证明或判断整除问题 一般要进行合理变形 常用的变形方法就是拆数 往往是将幂底数写成两数的和 差 并且其中一个数是除数的倍数 这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的因式 进而可判断或证明被除数能否被除数整除 若不能整除则可求出余数 1 整除性问题或求余数问题的处理方法 解决这类问题 必须构造一个与题目条件有关的二项式 用二项式定理处理这类问题 通常把被除数的底数写成除数 或与除数密切关联的数 与某数的和或差的形式 再用二项式定理展开 只考虑后面 或者是前面 的几项就可以了 要注意余数的范围 a c r b 这式子中b为余数 b 0 r r是除数 利用二项式定理展开式变形后 若剩余部分是负数要注意转换为正数 2 利用二项式证明多项式的整除问题关键是将被除式变形为二项式的形式 使其展开后每一项均含有除式的因式 若f x g x h x r x 均为多项式 则 f x g x h x f x 被g x 整除 f x g x h x r x r x 为g x 除f x 后得的余式 典例训练 1 今天是星期一 过2100天后是星期 2 求证 32n 2 8n 9能被64整除 解析 1 2100 23 33 1 833 2 2 7 1 33 即2100 7余2 过2100天后是星期三 答案 三 2 32n 2 8n 9 9n 1 8n 9 1 8 n 1 8n 9 又是整数 32n 2 8n 9能被64整除 想一想 题1解决余数问题的关键是什么 解决余数问题的易错点是什么 提示 1 用二项式定理解决整除或余数时 一般需要将底数写成除数m的整数倍加上或减去r 1 r m 的形式 2 求余数时的易错点是忽视余数的范围 误将余数求为负数 变式训练 求230 3除以7的余数 解析 230 3 23 10 3 810 3 7 1 10 3 又 余数不能为负数 需转化为正数 230 3除以7的余数为5 规范解答 利用二项式定理求特定项 典例 12分 设展开式中 第二项与第四项的系数之比为1 2 试求含x2的项 解题指导 规范解答 展开式的第二项与第四项分别为 2分 4分依题意得 6分即n2 3n 4 0 解此方程并舍去不合题意的负值 得n 4 8分设展开式中含x2的项为第k 1项 则 10分由4 k 2 得k 2 即展开式中含x2的项为 12分 阅卷人点拨 通过阅卷后分析 对解答本题的失分警示及解题启示总结如下 注 此处的 见规范解答过程 规范训练 12分 2012 唐山高二检测 若的展开式中x9的系数是 1 求展开式中的常数项 2 求的值 解题设问 1 如何求出a的值 写出展开式的 令x的指数为 确定x9是展开式的第几项 利用x9的数为求a 2 解第 2 题的关键是什么 通项 9 求出原函数 规范答题 1 的展开式的通项是 2分根据题意 得18 3k 9 k 3 4分 即 a3 8 a 2 6分令18 3k 0得k 6 因此展开式中的常数项为 8分 2 cosx x sinx 10分 3 sin2 cos2 12分 1 x 2 6的展开式中x3的系数是 a 20 b 40 c 80 d 160 解析 选d x 2 6的展开式的通项 令6 k 3 得k 3 故展开式中x3的系数为 2 在的展开式中 x的幂指数是整数的项共有 a 3项 b 4项 c 5项