高中数学 小专题复习课 热点总结与强化训练(三)配套课件 北师大版.ppt

热点总结与强化训练 三 热点数列通项 前n项和的公式及求法在高考中的应用1 本热点在高考中的地位数列是高中知识的重要章节 主要包括等差 等比数列的通项公式及其前n项和公式 同时数列与函数 不等式有着紧密的联系 从近几年的高考试题看 数列已成为高考的热点问题 在选择题 填空题 解答题中都有可能出现 2 本热点在高考中的命题方向及命题角度在高考中主要是求等差 等比数列的通项及其前n项和 数列性质的应用以及数列的综合题 或以等差 等比数列的综合问题出现 或以与数列有关的应用题出现 1 数列求通项的常见方法 1 累加法 形如an an 1 f n n 2 2 累乘法 形如 f n n 2 3 构造等差数列法 如 nan 1 n 1 an n n 1 4 构造等比数列法 如an aan 1 b a b是常数 5 取倒数法 如an 1 k m是常数 2 数列求和的常见方法 1 直接用等差 等比数列的求和公式求和 2 错位相减法求和 如 an 是等差数列 bn 是等比数列 求a1b1 a2b2 anbn的和 3 分组求和 把数列的每一项分成若干项 使其转化为等差或等比数列 再求和 4 并项求和 如求1002 992 982 972 22 12的和 5 裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差 正负相消剩下首尾若干项 常见拆项 6 公式法求和 7 倒序相加法求和 数列部分有些较为简单的小题 一般在选择题 填空题中出现 也有较强综合性的解答题及推理证明题 因而应当牢记等差 等比数列的通项公式 前n项和公式 等差 等比数列的性质 以及常见求数列通项的方法 如累加 累乘 构造等差 等比数列法 取倒数等 还有数列求和的常用方法要分类记清 对于实际应用问题 应搞清楚是等差 等比 还是递推类应用问题 对较综合的题目应具体问题具体分析 1 2012 安庆模拟 设曲线y xn 1 n n 在点 1 1 处的切线与x轴的交点的横坐标为xn 令an lgxn 则a1 a2 a99的值为 解析 f x n 1 xn f 1 n 1 切线方程为y 1 n 1 x 1 令y 0得x xn lgxn lgn lg n 1 即an lgn lg n 1 a1 a2 a99 lg1 lg2 lg2 lg3 lg99 lg100 lg1 lg100 2 答案 2 2 2011 福建高考 商家通常依据 乐观系数准则 确定商品销售价格 即根据商品的最低销售限价a 最高销售限价b b a 以及实数x 0 x 1 确定实际销售价格c a x b a 这里 x被称为乐观系数 经验表明 最佳乐观系数x恰好使得 c a 是 b c 和 b a 的等比中项 据此可得 最佳乐观系数x的值等于 解析 由已知 有 c a 是 b c 和 b a 的等比中项 即 c a 2 b c b a 把c a x b a 代入上式 得x2 b a 2 b a x b a b a 即x2 b a 2 1 x b a 2 b a b a 0 x2 1 x 即x2 x 1 0 解得x 因为0 x 1 所以最佳乐观系数x的值等于 答案 3 2011 浙江高考 已知公差不为0的等差数列 an 的首项a1为a a r 设数列的前n项和为sn 且成等比数列 1 求数列 an 的通项公式及sn 2 记当n 2时 试比较an与bn的大小 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 由得 a1 d 2 a1 a1 3d 从而a1d d2 因为d 0 所以d a1 a 所以an na sn 2 因为所以因为a2n 1 2n 1a 所以当n 2时 即所以 当a 0时 anbn 4 2011 广东高考 设b 0 数列 an 满足a1 b an 1 求数列 an 的通项公式 2 证明 对于一切正整数n 解析 1 由a1 b 0 知当n 2时 an 当b 2时 当b 2时 an 2 当b 2时 欲证只需证nbn 即证而 2n 1bn 1 2n 2bn 2 22n b2n 2b2n 1 2n 1bn 1 2nbn 2 2 2 2n 2nbn n 2n 1bn 当b 2时 综上所述 5 2011 湖南高考 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备m m的价值在使用过程中逐年减少 从第2年到第6年 每年初m的价值比上年初减少10万元 从第7年开始 每年初m的价值为上年初的75 1 求第n年初m的价值an的表达式 2 设an 若an大于80万元 则m继续使用 否则须在第n年初对m更新 证明 须在第9年初对m更新 解析 1 当n 6时 数列 an 是首项为120 公差为 10的等差数列 an 120 10 n 1 130 10n 当n 6时 数列 an 是以a6为首项 公比为的等比数列 又a6 70 所以an 70 n 6 因此 第n年初 m的价值an的表达式为an 2 设sn表示数列 an 的前n项和 由等差及等比数列的求和公式得当1 n 6时 sn 120n 5n n 1 an 120 5 n 1 125 5n 当n 7时 由于s6 570 故sn s6 a7 a8 an 570 70 4 1 n 6 780 210 n 6 an 因为 an 是递减数列 所以 an 是递减数列 又a8 82 80 a9 76 80 所以须在第9年初对m更新 6 2012 合肥模拟 为加强环保建设 提高社会效益和经济效益 某市计划用若干年时间更换10000辆燃油型公交车 每更换一辆新车 则淘汰一辆旧车 替换车为电力型和混合动力型车 今年初投入了电力型公交车128辆 混合动力型公交车400辆 计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50 混合动力型车每年比上一年多投入a辆 1 求经过n年 该市被更换的公交车总数s n 2 若该市计划7年内完成全部更换 求a的最小值 解析 1 设an bn分别为第n年投入的电力型公交车 混合动力型公交车的数量 依题意 an 是首项为128 公比为1 50 的等比数列 bn 是首项为400 公差为a的等差数列 an 的前n项和rn 256 n 1 bn 的前n项和tn 400n a所以经过n年 该市更换的公交车总数为 s n rn tn 256 n 1 400n a 2 若计划7年内完成全部更换 所以s 7 10000 所以256 7 1 400 7 a 10000 即21a 3082 所以a 146 又a n 所以a的最小值为147 7 2012 芜湖模拟 设sn为数列 an 的前n项和 对任意的n n 都有sn m 1 man m为常数 且m 0 1 求证 数列 an 是等比数列 2 设数列 an 的公比q f m 数列 bn 满足b1 2a1 bn f bn 1 n 2 n n 求数列 bn 的通项公式 3 在满足 2 的条件下 求数列 的前n项和tn 解析 1 当n 1时 a1 s1 m 1 ma1 解得a1 1 当n 2时 an sn sn 1 man 1 man 即 1 m an man 1 又m为常数 且m 0 n 2 数列 an 是首项为1 公比为的等比数列 2 由 1 得 q f m b1 2a1 2 bn f bn 1 1 即 1 n 2 是首项为 公差为1的等差数列 n 1 1 即bn n n 3 由 2 知bn 则 2n 2n 1 所以tn 21 1 22 3 23 5 2n 1 2n 3 2n 2n 1 则2tn 22 1 23 3 24 5 2n 2n 3 2n 1 2n 1 得tn 2n 1 2n 1 2 23 24 2n 1 故tn 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 3 6 热点线性规划在高考中的应用1 本热点在高考中的地位线性规划是沟通几何知识与代数知识的重要桥梁 是数形结合 分类讨论 化归等重要思想的集中体现 尤其是它的考查联系了解析几何 函数 不等式 方程等知识 因而线性规划问题已成为近几年高考的热点问题 在高考中占有重要的地位 2 本热点在高考中的命题方向及命题角度在高考中主要考查利用两变量的约束条件求目标函数的最值 利用可行域求面积 利用其几何意义求斜率 距离的最值 求参数的取值范围及实际应用中的最优解问题 多以选择题 填空题以及解答题中的小题的形式出现 偶尔在解答题中考查实际应用问题 它往往与不等式 方程 函数等知识交汇考查 1 线性规划的分类 1 不含参数的线性规划问题 2 含参数的线性规划问题 其中又分为可行域中含参数 或目标函数中含参数 3 线性规划中最优整数解问题 4 利用几何意义 如 斜率 距离等 求解线性规划中的范围问题 2 线性规划的解题策略对于线性规划问题 关键要分清是哪一类问题 对于不同类型 灵活采用不同解法求解 但无论哪种类型 准确画出可行域是解题的重中之重 因而解题时要具体问题具体分析 线性规划问题具有综合性强 覆盖面广 灵活性大的特点 应当明确理解线性约束条件和目标函数 准确画出可行域 合理利用可行域求目标函数的最值 若是几何意义问题 要明确是斜率问题还是距离问题 若是实际应用问题要设出未知量 利用条件写出线性约束条件 确定目标函数 画出可行域求解 对于其他问题 如面积 若是规则的可以直接求解 不规则的可分割求解 1 2011 浙江高考 若实数x y满足不等式组则3x 4y的最小值是 a 13 b 15 c 20 d 28 解析 选a 设z 3x 4y 如图作出可行域 由得zmin 3 3 4 1 13 故选a 2 2011 广东高考 已知在平面直角坐标系xoy上的区域d由不等式组给定 若m x y 为d上的动点 点a的坐标为 1 则z 的最大值为 a b c 4 d 3 解析 选c 方法一 由已知得目标函数z x y 作出可行域 如图所示 可知b点坐标为 2 当目标函数过b点时z取最大值 故z的最大值为 方法二 由题意得不等式组对应的平面区域d是如图所示的直角梯形oabc z 所以就是求的最大值 表示在方向上的投影 数形结合观察得当点m在点b处时 取得最大值 在 aob中 oa ob ab 1 所以zmax 4 故选c 3 2011 安徽高考 设变量x y满足 x y 1 则x 2y的最大值和最小值分别为 解析 选b 不等式 x y 1对应的区域如图阴影部分所示 当目标函数过点 0 1 0 1 时 分别取最小值 最大值 所以x 2y的最大值和最小值分别为2 2 故选b 4 2011 湖北高考 已知向量a x z 3 b 2 y z 且a b 若x y满足不等式 x y 1 则z的取值范围为 a 2 2 b 2 3 c 3 2 d 3 3 解析 选d 因为a b 所以2 x z 3 y z 0 则z 2x 3y 又x y满足不等式 x y 1 所以点 x y 的可行域如图所示 当z 2x 3y经过点a 0 1 时 z 2x 3y取得最大值3 当z 2x 3y经过点c 0 1 时 z 2x 3y取得最小值 3 所以选d 5 2011 大纲版全国高考 若变量x y满足约束条件则z 2x 3y的最小值为 a 17 b 14 c 5 d 3 解析 选c 作出可行域 分析可知当x 1 y 1时 zmin 5 6 2011 四川高考 某运输公司有12名驾驶员和19名工人 有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车 某天需送往a地至少72吨的货物 派用的每辆车需载满且只能送一次 派用的每辆甲型卡车需配2名工人 运送一次可得利润450元 派用的每辆乙型卡车需配1名工人 运送一次可得利润350元 该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数 可得最大利润z a 4650元 b 4700元 c 490