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金融时间序列分析第一章 绪论第一节 时间序列分析的一般问题人们在日常生活和工作中会遇到大量的金融数据，如存款的利率、股票的价 格、债券的收益等等， 例 某支股票的价格。 。 如何从这些数据中总结、发现其变化规律， 如何从这些数据中总结、发现其变化规律，从而预测或控制现象的未来行 从这些数据中总结 为，这就是时间序列分析这门课程所要研究的问题。 研究方式数据 建立模型 预测 数据数据的类型。横剖面数据：由若干现象在某一时点上所处的状态所形成的数据，称为横 剖面数据， 剖面数据，又称为静态数据。它反映一定时间、地点等客观条件下诸现象之间存 在的内在数值联系。 例如，上海证券交易所所有股票在某一时刻的价格；某一时刻全国各省会城 市的温度，都是横剖面数据； 研究方法：多元统计分析 。纵剖面数据：由某一现象或若干现象在不同时点上的状态所形成的数据， 称为纵剖面数据， 纵剖面数据， 又称为动态数据。 它反映的是现象与现象之间关系的发展变化 规律。 例如，南京市 1980 年至 2005 年每年末的人口数；上海证券交易所所有股票 在一年中每个周末收盘价，都是纵剖面数据 研究方法：时间序列分析 时间序列概念 时间序列概念 。时间序列： 简单地说，时间序列就是按照时间顺序排成的一个数列，其 中每一项的取值是随机的。 严格的时间序列的定义需要随机过程的概念。 设 (?, , P ) 是一个概率空间，其中 ? 是样本空间， 是 ? 上的 -代数，P 是 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 ? 上的概率测度。又设 T 是一个有序指标集。 概率空间 (?, , P ) 上的随机变量 X t : t T 的全体称为随机过程。 随机过程。 注： 指标集T 可以是连续的也可以是离散的，相应地，随机过程也有连续和离 散之分。 定义： 定义：若 t i 是 R 中的一个离散子集，则称随机过程 X t : t t i = X ti 是一个 时间序列。简言之，一个离散随机过程被称为一个时间序列。 注： 1、从统计意义上说，时间序列是一个统计指标在不同时刻上的数值，按照 时间顺序排成的数列，由于统计指标数值受到各种偶然因素影响，因此 这数列表现出随机性。 2、从系统论上说，时间序列是某一系统在不同时刻的响应，是系统运行的 历史行为的客观记录。 。时间序列的特点: (1) 序列中的数据依赖于时间顺序； (2) 序列中每个数据的取值具有一定的随机性； (3)序列中前后的数值有一定的相关性-系统的动态规律 (4) 序列整体上呈现某种趋势性或周期性。 。研究时间序列的意义 通过对时间序列的分析和研究，认识系统的结构特征（如趋势的类型，周期 波动的周期、振幅，等等） ；揭示系统的运行规律；进而预测或控制系统的未来 行为，或修正和重新设计系统（如改变参数、周期等）按照新的结构运行。 时间序列分析 根据时间序列所包含的历史行为的信息， 寻找相应系统的内在统计特征和发 时间序列分析。 展变化规律性的整个方法，称为时间序列分析 注： 时间序列分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法， 是统计学的一个分支。 。时间序列分析的类型(详见 P7) 。确定性时序分析：设法消除随机型波动，拟合确定型趋势，形成长期趋势 分析、 季节变动分析和循环波动测定的时间序列分析方法， 称为确定性时序分析 。随机时序分析：对许多偶然因素共同作用的随机型波动，运用随机理论来 研究分析，找出其中的规律性，称为随机时序分析 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 第二节 列的预测技术 第二节 时间序列的预测技术 本课程主要研究诸如资产收益率等金融时间序列， 这些时间序列具有一些典 型特征。 时间序列的预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的分析处理来研 究其变化趋势。 时间序列的基本变动 。长期趋势变动：指序列朝一定方向持续上升或持续下降，或停留在某一水 平上的倾向。 例如，1950 年至 2000 年我国人口数一直保持增长的趋势；2000 年至 2005 年人口数量稳定在 13 亿。 。季节变动：指在一年或更短的时间内，由某种固定周期性因素（如自然、 生产、消费等季节性因素）的影响而呈现出有规律的周期性波动。 例如，雅戈尔西服的销售量在春秋两季较高，而在冬夏两季较低。 。循环变动：指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波型相似的 波动。 例如，经济的过热或经济的萧条；股票市场大约每四年一次的牛市等。 。不规则变动：由许多不可控的偶然因素（如战争、自然灾害或其它社会因 素等）和随机变动（即由大量随机因素产生的宏观影响）所共同作用的结果 例如，黎巴嫩今年的经济因以色列突然入侵而蒙受重大损失；我国 7 月份福 建、浙江因台风遭受重大损失等。 几种常见的预测模型 几种常见的预测模型 如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差 2 较小，并且有 理由认为过去到现在的历史演变趋势将继续发展到未来， 可以用如下一些经验方 法来进行预测。 ? 。简单预测模型：用现象的现在值作为其下一时刻的预测值，即 xt +1 = xt 。移动平均模型（滑动平均，Moving Average Model） ： 当预测目标出现某些不规则的变化，如特大值或特小值，用简单预测法将会 产生较大偏差， 可以用前一段时间的观察值的平均数来削弱不规则变化对预测的 影响。 设观察值序列 x1 , x 2 ,? ? ?, x n ,? ? ? ，一次移动平均模型 为 x (1) t = 1 ( xt + xt ?1 + ? ? ? + xt ?( n ?1) ) n Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 ? 我们用此值作为下一时刻的预测值，即令 xt +1 = x (1) t 。 注：1、移动平均的特点是“修匀”原序列中的某些不规则变化而使之平滑化， 并使趋势倾向更加明显。 2、当预测目标的基本趋势是在某一水平上下波动时，可以用移动平均模型 来作预测。 3、当预测目标的基本趋势与某一线性模型相吻合时，常采用二次移动平均 模型，即 1 (1) ? x ( 2) t +1 = x ( 2) t = ( xt + x (1) t ?1 + ? ? ? + x (1) t ?( n?1) ) 。 n 4、当预测目标同时存在线性趋势和周期波动时，可用趋势移动平均模型 ? xt + j = at + bt j ， j = 1,2,? ? ? ? ? 其中： at = 2 x (1)t ? x ( 2 )t ， bt = 2 ? ? ( x (1) t ? x ( 2) t ) ， n 为周期长度。该模型在数 n ?1 据处理中常用来作为预处理， 消除周期波动和减弱随机干扰的影响往往是有 效的。 。指数平滑模型（Exponential Smoothing Model） ： 观察移动平均模型可知，我们实际上是作了以下两个假定： （1）下一期的预测值只与前 n 期的历史数据有关，而与前 n 期以前的历史 记录无关； （2）前 n 期的历史数据对预测值的影响是相同的， 即都加权数 1 n 。 然而，这两条假定是存在一定缺陷的：假定（1）限制我们不能充分利用数据带 来的信息；假定（2）与实际情况不相符合，因为一般说来距离预测期越远的数 据对预测的影响应当越小。 为了克服移动平均模型的缺点， 更好地符合实际情况， 我们应当对各期的观察值依时间的顺序进行加权平均来作为预测值。 设观察值序列为 x1 , x 2 ,? ? ?, x n ,? ? ? ， 由移动平均模型有 1 ( xt + xt ?1 + ? ? ? + xt ?( n ?1) ) n 1 1 1 = xt + ( xt ?1 + ? ? ? + xt ?( n ?1) + xt ? n ) ? xt ? n n n n 1 1 = xt + x (1) t ?1 ? xt ? n n n 1 如用 x (1) t ?1 代替 xt ?n ，并记 = ，则上式可以写成 n x (1) t = x (1) t = xt + (1 ? ) x (1) t ?1 一般地，一次指数平滑模型 为 S (1 ) t = x t + (1 ? ) S (1 ) t ?1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 其中 （ 0 0 ， l = 0 。 例2 设高斯白噪声 xt ，由例 1 已经算得 ? 2 , 若l = 0 ( ) = Cov( xt , xt +l ) = ? ? 0, 若l 0 故高斯白噪声的自相关函数为： ( 0) = 2 (l ) = ? ?1, 若l = 0 。 ?0, 若l 0 例3 设 X 是随机变量，Var ( X ) = 2 。记 x1 = x 2 = ? = X ，则时间序列 xt 有 (l ) = Cov( xt , xt +l ) = Cov( X , X ) = 2 ，又 (0) = 2 。所以对任意 l 1 ， (l ) = 1 。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 注：例 3 的结论表明时间序列 xt 具有极强的相关性。实际上，该序列的每一项 是相同的，因而也是严平稳的。与例 2 比较可知，白噪声是另一个极端的情形。 。样本自相关函数（ACF） 假定有样本 xt T=1 ，则 xt 的间隔为 1 的样本自 t 相关系数为 ? 1 = (x t =1 T t ? x )( xt ?1 ? x ) t (x t =1 T ? x) 2 一般地， xt 的间隔为 l 的样本自相关系数定义为 T ? l = t = l +1 (x t ? x )( xt ? l ? x ) , t (x t =1 T 0 l T ?1 ? x) 2 ? 注：1、若 xt 是独立同分布(iid)序列，且 E ( xt ) q ， l 渐近地服从均值为 0、方差为 (1 + 2 i ) / T 2 i =1 q 的正态分布（见 Box, Jenkins 和 Reinsel(1994)） 。 ? 3、对于有限样本， l 是 l 的有偏估计。 T 事实上，若记 ?l = ( xt ? x )( xt ?1 ? x ) ，称其为样本自协方差。因为对于 t =1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 0 l 0 为 q 阶滑动平均模型，简记为 MA(q)模型。 注：1、MA 模型是用白噪声序列组成的一个加权平均； 2、MA 模型具有许多吸引人的特点，包括简单的均值和自协方差结构。 MA 模型性质 。MA(1)模型的均值和方差 2 E ( xt ) = 0 ， Var ( xt ) = (1 + 12 ) a 对 MA(1)模型： xt = at ? 1a t ?1 ，两边取期望可得 E ( xt ) = 0 ；两边取方差可 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 得 2 2 2 Var ( xt ) = E ( xt2 ) = E (a t2 ) ? 2 1 E (at a t ?1 ) + 12 E (a t2 ) = a + 12 a = (1 + 12 ) a 。 一般地，我们有如下命题： 命题 3.1 对 MA 模型，我们有 (1) MA 模型是零均值的； (2) MA(q)模型的方差为 2 Var ( xt ) = (1 + 12 + ? + q2 ) a 。 。MA 模型的平稳性 因为 E ( xt ) = 0 ，且 MA 模型总是弱平稳的。 总 Cov( xt , xt ?l ) = E ( xt xt ?l ) = E (at at ?l ) ? 1 E (at ?1at ?l ) + E (at at ?l ?1 ) + 1 E (at ?1 at ?1?l ) 2 2 ? 21 a =? ? 0 l =1 。 l 1 。MA(1)模型的自相关函数 在 MA(1)模型 0 = 1 ， 1 = ? 1 ， l = 0 对 l 1 1 + 12 xt = at ? 1a t ?1 。 两端同乘以 xt ?l ，得 xt ?l xt = xt ?l a t ? 1 xt ?l a t ?1 ， 利用 MA(1)模型的递推性质，将上式右端用白噪声表示，有 xt ?l xt = xt ?l at ? 1 (at ?l ? 1 at ?l ?1 )at ?1 = xt ?l at ? 1 at ?l at ?1 + 1 at ?l ?1 at ?1 2 两边取期望，得 l = E ( xt ?l at ) ? 1 E (a t ?l a t ?1 ) + 12 E (a t ?l ?1 at ?1 ) 2 ? 1 a =? ? 0 2 由于 Var ( xt ) = (1 + 12 ) a ，故 l =1 l 1 0 = 1 ， 1 = ? 1 ， l = 0 对 l 1 。 1 + 12 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 类似的计算可以得到（请同学自己验证） ： 。MA(2)模型的自相关函数 对 MA(2)模型 xt = at ? 1 at ?1 ? 2 at ?2 ，有 0 = 1 ， 1 = ? 1 + 1 2 ?2 ， 2 = ， l = 0 对 l 2 。 2 2 1 + 1 + 2 1 + 12 + 22 注：1、上述自相关函数式表明：MA(1)模型的自相关函数在间隔为 1 以后是截 尾的；MA(2)模型的自相关函数在间隔为 2 以后是截尾的； 一般地，对 MA(q)模型有 q 0 ，但对 l q 有 l = 0 ，即 MA(q)模 型 的自相关函数在间隔为 l q 以后是截尾的。因此 MA(q)序列是一个 “有限记忆”模型。 2、 某些金融时间序列有时会有正的均值 ? ， 这时就应当是把这个常数均值 ? 添加入到模型中去，使得 MA(q)模型变为 xt = ? + a t ? 1 a t ?1 ? ? ? q a t ? q 那么，通过计算可以得到 E ( xt ) = ? ，而方差和自相关系数均保持不变。 例 3.1 考虑 MA(1)模型： yt = a t ? 1 1 a t ?1 ，通过计算（同学自己完成）可得 0 = 1 ， 1 = ? 1 ， l = 0 对 l 1 。 1 + 12 即与上面 MA(1)模型 xt = at ? 1a t ?1 具有相同的自相关函数。 问题： 问题：MA(1)序列 xt 与 y t 具有相同的相关系数，那么选择哪一个模型更为合 适呢？ 为回答这个问题，我们将白噪声 a t 分别用数据 xt 与 y t 表示： at = xt + 1 at ?1 = xt + 1 ( xt ?1 + 1 at ? 2 ) = xt + 1 xt ?1 + 1 xt ?2 + ? 2 (1) (2) at = yt + 1 1 at ?1 = y t + 1 1 ( y t ?1 + 1 1 at ? 2 ) = yt + 1 1 y t ?1 + 1 1 2 yt ?2 + ? 如果 | 1 | q 有 l = 0 ， 则 xt 服从一个 MA(q)模型。 ? 注：在实际问题中，我们是计算序列的样本自相关函数，如果从某 q 以后 的样本自相关函数显著的小， 则可以近似地视样本自相关函数在 q 项以 后是截尾的，从而是 q 阶 MA 模型。 第四节 自回归模型 另一类常用的模型是自回归模型。 自回归模型之所以有吸引力是因为它与很 传统的线性回归模型非常相像。 美国芝加哥大学证券价格研究中心（CRSP）价值指数的月收益率 rt 具有统 计显著的间隔为 1 的自相关系数，这表明延迟的收益率 rt ?1 在预测 rt 时会有一定 的作用，描述这样的预测功能的模型就是所谓的一阶自回归模型。 自回归模型概念 自回归模型的英文为：Auto Regressive Model，缩写为：AR 模型。 。AR( p)模型 假定 a t 是均值为零、方差为 a 的白噪声序列，则称 2 xt = ?1 xt ?1 + ? + ? p xt ? p + a t ， p 0 为 p 阶自回归模型，简记为 AR(p)模型。 注：1、自回归模型从形式上看与线性回归模型很相似，但是，两者又有显著的 不同。下面以一阶自回归模型为例来与一阶线性回归模型进行比较： 一阶回归模型： yi = bxi + i 一自回归模型： xt = ?1 xt ?1 + at xi 是确定性取值， y i 是随机性变量值， xt 均是随机变量 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 一随机变量对另一确定性变量的依存 一随机变