期末作业：导数在高考试题中的应用.doc

导数在高考数学试题中的应用 1、 知识点分析导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具，在高考中有相当大的比重。通过对历年各省高考数学试题的分析，高考中导数年年都会考到，从导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数，两个函数的和、差、积、商基本导数公式复合函数求导等各个方面来考查，并通过导数来研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。导数部分作为新教材中的新增内容,导数是一个很好的工具,应用十分广泛。通过 总结分析研究今年各省高考试题，近几年的高考也逐年加大对导数问题的考查力度,导数的应用为解决数学问题提供了新的思路,新的方法和途径,拓宽了函数应用的领域,成为中学数学的一个新的亮点.因此,在探讨函数的单调性、极值(最值)、不等式以及解析几何问题等有关问题时,要充分发挥导数的工具性作用,优化解题策略、简化运算。因此在解决高考中遇到的与导数相关问题时，我们必须熟悉并掌握导数的相关知识： i）了解导数的概念，能利用导数定义求导数掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念了解曲线的切线的概念 ii)了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数及复合函数的导数。 iii）导数与函数的单调性的关系。2、 试题考点分析题型一、利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. （湖南理8）设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（ ）A1 B C D【答案】D【解析】由题，不妨令，则，令解得，因时，当时，所以当时，达到最小。即。2、（广东理12）函数在 处取得极小值. 3、（湖北理21）（）已知函数，求函数的最大值。 解：（）的定义域为，令，在上递增，在上递减，故函数在处取得最大值。4.（重庆理10）设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为55.（重庆理5）下列区间中，函数=在其上为增函数的是 （A）（- （B） （C） （D）【答案】D5.（广东文19） 设,讨论函数 的单调性解：函数f(x)的定义域为（0，+）综上所述，f(x)的单调区间如下表：（其中）考到此类型题目的其他省份：江苏19 江西理19 辽宁理21 全国21 陕西理21 上海理20 四川理22 四川文22 浙江理22解题方法总结:求导，令导数等于零求极值点，判断单调区间，从而得到函数的单调性、最值、极值。 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1、（全国理8）曲线在点（0,2）处的切线与直线和围成的三角形的面积为(A) (B) (C) (D)1【答案】A 解：，故曲线在点（0,2）处的切线方程为，易得切线与直线和围成的三角形的面积为。2、（湖南文7）曲线在点处的切线的斜率为（ ）A B C D【答案】B【解析】，所以。 考到此类型题目的其他省份：江西文4 全国文4 全国理8 湖北文20 全国理21 全国文20 天津文20 重庆理18 总结：本类题主要考查导数的求法、导数的几何意义及过曲线上一点切线的方程的求法。题型三：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1.（浙江文11）设函数 ,若,则实数=_ 【答案】-12、（安徽理16）设，其中为正实数（）当时，求的极值点；（）若为上的单调函数，求的取值范围。解：对求导得 （I）当，若综合,可知+00+极大值极小值所以,是极小值点,是极大值点.（II）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合与条件a0，知在R上恒成立，因此由此并结合，知3.（天津文16）设函数对任意，恒成立，则实数的取值范围是【答案】【解析】解法1显然，由于函数对是增函数，则当时，不恒成立，因此当时，函数在 是减函数，因此当时，取得最大值，于是恒成立等价于的最大值，即，解得于是实数的取值范围是解法2然，由于函数对是增函数，则当时，不成立，因此，因为，则，设函数，则当时为增函数，于是时，取得最小值解得于是实数的取值范围是解法3因为对任意，恒成立，所以对，不等式也成立，于是，即，解得于是实数的取值范围是4.（天津理16）设函数对任意，恒成立，则实数的取值范围是【答案】【解析】解法不等式化为，即，整理得，因为，所以，设，于是题目化为，对任意恒成立的问题为此需求，的最大值设，则函数在区间上是增函数，因而在处取得最大值，所以，整理得，即，所以，解得或，因此实数的取值范围是解法2同解法1,题目化为，对任意恒成立的问题为此需求，的最大值设，则因为函数在上是增函数，所以当时，取得最小值从而有最大值所以，整理得，即，所以，解得或，因此实数的取值范围是解法3不等式化为，即，整理得，令由于，则其判别式，因此的最小值不可能在函数图象的顶点得到，所以为使对任意恒成立，必须使为最小值，即实数应满足解得，因此实数的取值范围是解法4(针对填空题或选择题)由题设，因为对任意，恒成立，则对，不等式也成立，把代入上式得，即，因为，上式两边同乘以，并整理得，即，所以，解得或，因此实数的取值范围是 5.（北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_. 解： 单调递减且值域为(0,1，单调递增且值域为，有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）。考到此类型题目的其他省份：北京理18 北京文18 福建文22总结：本类题目考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，将恒成立问题转化为函数的最值问题，来求解不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力. 题型四：导数与不等式的综合1.（江西理4）设，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】C 解： 定义域为，又由，解得或，所以的解集2、（全国理2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是 （A） (B) （C） (D) 【答案】B3.（辽宁文20）设函数=x+ax2+blnx，曲线y=过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2（I）证明：2x-2 证明 ：，由（I）知设则而 4. （全国理22）（）设函数，证明：当0时，0；（）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：. 解：（），（仅当时）故函数在单调递增.当时，故当0时，0.（）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为，要证（）19.先证： 即证即证而 所以. 即再证：，即证，即证，即证由（），当0时，0.令则，即综上有：考到此类型题目的其他省份 天津理21 浙江文21总结：这类型题目主要考查函数、导数、不等式证明等知识。通过运用导数知识解决函数、不等式及一些实际问题问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力.题型五：导数在实际中的应用 1.（2011北京理6）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，c为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么c和A的值分别是A. 75，25B. 75，16 C. 60，25 D. 60，16【答案】D【解析】由条件可知，时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即，选D。2、（福建理18）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克() 求的值；() 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大解：()因为时，所以；()由()知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：；，令得函数在上递增，在上递减，所以当时函数取得最大值答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42. 考到此类型题目的其他省份：湖北理17 湖南理20 江苏17 山东理21总结：数学无时无刻不存在于我们的实际生活中，当遇到这些涉及生活中的最值问题