概率论与数理统计公式及习题答案.doc

第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当A、B互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B)条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes公式：从结果找原因第二章 二项分布（Bernoulli分布）XB(n,p)泊松分布XP()概率密度函数怎样计算概率均匀分布XU(a,b)指数分布XExp ()分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度函数联合分布函数联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章 数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义l E(a)=a，其中a为常数l E(a+bX)=a+bE(X)，其中a、b为常数l E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X、Y为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式方差定义式常用计算式常用公式当X、Y相互独立时：方差的性质D(a)=0，其中a为常数D(a+bX)=b2D(X)，其中a、b为常数当X、Y相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数协方差的性质独立与相关独立必定不相关相关必定不独立不相关不一定独立第四章 正态分布标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式第五章 卡方分布t分布F分布正态总体条件下样本均值的分布：样本方差的分布：两个正态总体的方差之比第六章 点估计：参数的估计值为一个常数矩估计最大似然估计似然函数 均值的区间估计大样本结果正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间大样本或正态小样本且方差已知两个正态总体方差比的置信区间第七章假设检验的步骤 根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。不可避免的两类错误第1类(弃真)错误：原假设为真，但拒绝了原假设第2类(取伪)错误：原假设为假，但接受了原假设单个正态总体的显著性检验l 单正态总体均值的检验 大样本情形Z检验 正态总体小样本、方差已知Z检验 正态总体小样本、方差未知 t检验l 单正态总体方差的检验 正态总体、均值未知卡方检验单正态总体均值的显著性检验统计假设的形式 双边检验左边检验 右边检验单正态总体均值的Z检验拒绝域的代数表示双边检验左边检验右边检验比例特殊的均值的Z检验单正态总体均值的 t 检验单正态总体方差的卡方检验拒绝域双边检验左边检验右边检验1概率论与数理统计习题及答案习题一1略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C 为三个事件，试用A，B，C 的运算关系式表示下列事件：（1） A 发生，B，C 都不发生；（2） A 与B 发生，C 不发生；（3） A，B，C 都发生；（4） A，B，C 至少有一个发生；（5） A，B，C 都不发生；（6） A，B，C 不都发生；（7） A，B，C 至多有2 个发生；（8） A，B，C 至少有2 个发生.【解】（1） A BC （2） ABC （3） ABC（4） ABC= AB C A BC A BC A BCA B CABC ABC= ABC（5） ABC = A B C （6） ABC（7） A BCA B CABC AB CA BC A BC ABC = ABC = A B C（8） ABBCCA=ABC A B C A BCABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B 为随机事件，且P（A）=0.7,P（AB）=0.3，求P（ AB ）.【解】 P（ AB ）=1P（AB）=1P（A）P（AB）=10.70.3=0.65.设A，B 是两事件，且P（A）=0.6,P（B）=0.7,求：（1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？（2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1） 当AB=A 时，P（AB）取到最大值为0.6.（2） 当AB= 时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C 为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3 且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C 至少有一事件发生的概率.【解】P（ABC）=P（A）+P（B）+P（C）P（AB）P（BC）P（AC）+P（ABC）=14+14+13 112=347.从52 张扑克牌中任意取出13 张，问有5 张黑桃，3 张红心，3 张方块，2 张梅花的概率2是多少？【解】 p= 5 3 3 2 1313 13 13 13 52 C C C C /C8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 设A1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为75，有利事件仅1 个，故P（A1）= 517=（17）5 （亦可用独立性求解，下同）（2） 设A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为65，故P（A2）=5567=（67）5（3） 设A3=五个人的生日不都在星期日P（A3）=1P（A1）=1（17）59.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n30.如图阴影部分所示.2230 160 4P = =22.从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于65的概率；（2） 两个数之积小于14的概率.【解】设两数为x,y，则0x,y1.（1） x+y65.11 4 41 2 5 5 17 0.681 25p = = =（2） xy=（3） 1 2( 1)! 1 ; 3!( 2)!, 3! !p n p n nn n n = = = 38.将线段0，a任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x,y,axy.则基本事件集为由0xa,0ya,0axy + + 构成的图形，即02022x ay aa x y a + 正正（甲乙）=（甲正乙正）=（n+1甲反n乙反）12=（甲反1+乙反）=（甲反乙反）由对称性知P（甲正乙正）=P（甲反乙反）因此P（甲正乙正）=1246.证明“确定的原则”（Surething）：若P（A|C）P（B|C）,P（A|C ）P（B|C ），则P（A）P（B）.【证】由P（A|C）P（B|C）,得( ) ( ),( ) ( )P AC P BCP C P C即有 P(AC) P(BC)同理由 P(A|C) P(B |C),得 P(AC) P(BC),故 P(A) = P(AC) + P(AC) P(BC) + P(BC) = P(B)47.一列火车共有n 节车厢，有k（kn）个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设Ai=第i 节车厢是空的，（i=1,n）,则1 2 1( ) ( 1) (1 1)( ) (1 2)( ) (1 1) nkki kki jki i iP A nn nP AAnP A A A n n= = = = 其中i1,i2,in1 是1，2，n 中的任n1 个.显然n 节车厢全空的概率是零，于是2 11 2 111122111 1111 2 31( ) (1 1) C (1 1)( ) C (1 2)( ) C (1 1)0( ) ( 1)nnnk ki niki j ni j nn kn ii i ni i i nnnni niS PA nn nS PAAnS P A A A nnSP A S S S S= 0.试证明：不论0 如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1.【证】在前 n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1 (1 )n 1(n)49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设A=投掷硬币r 次都得到国徽B=这只硬币为正品由题知 ( ) , ( ) P B m P B nm n m n= =+ +( | ) 1 , ( | ) 12r P A B = P A B =则由贝叶斯公式知( | ) ( ) ( ) ( | )( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P B A P AB P B P A BP A P B P A B P B P A B= =+121 1 22rrrmm n mm n m nm n m n= + =+ + +ii i50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？【解】以B1、B2 记火柴取自不同两盒的事件，则有1 2( ) ( ) 12P B = P B = .（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2nr 次，设n 次取自B1 盒（已空），nr 次取自B2 盒，第2nr+1 次拿起B1，发现已空。把取2nr 次火柴视作2nr 重贝努里试验，则所求概率为1 2 22C (1) (1) 1 C 12 2 2 2n n n r nn r n r r r p = i =式中2 反映B1 与B2 盒的对称性（即也可以是B2 盒先取空）.（2） 前2nr1 次取火柴，有n1 次取自B1 盒，nr 次取自B2 盒，第2nr 次取自B1盒，故概率为1 1 1 2 12 2 1 2 12C (1) (1) 1 C (1)2 2 2 2n n n r n n rn r n r p = =51.求n 重贝努里试验中A 出现奇数次的概率.14【解】设在一次试验中A 出现的概率为p.则由( )n C0 0 n C1 n 1 C2 2 n 2 Cn n 0 1n n n n q + p = p q + pq + p q + p q =( )n C0 0 n C1 n 1 C2 2 n 2 ( 1)nCn n 0n n n n q p = p q + pq + p q + p q以上两式相减得所求概率为1 1 3 3 31 C n C nn n p = pq + p q +1 1 ( ) 2= q p n1 1 (1 2 ) 2= p n若要求在n 重贝努里试验中A 出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得21 1 (1 2 ) 2p = + p n .52.设A，B 是任意两个随机事件，求P（ A +B）（A+B）（ A + B ）（A+ B ）的值.【解】因为（AB）（ A B ）=A B A B（ A B）（A B ）=AB AB所求 (A+ B)(A+ B)(A+ B)(A+ B) = (AB AB)(AB + AB)= 故所求值为0.53.设两两相互独立的三事件，A，B 和C 满足条件：ABC=，P（A）=P（B）=P（C） 1/2，且P（ABC）=9/16，求P（A）.【解】由P(A BC) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC)3 ( ) 3 ( )2 916= P A P A =故( ) 14P A = 或34,按题设P（A）12,故P（A）=14.54.设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A不发生的概率相等，求P（A）.【解】( ) ( ) 1 ( ) 19P AB = P A B = P A B = P(AB) = P(AB) 故 P(A) P(AB) = P(B) P(AB)故 P(A) = P(B) 15由A,B 的独立性，及、式有1 1 ( ) ( ) ( ) ( )9= P A P B + P A P B=1 2P(A) +P(A)2= 1 P(A)2故1 ( ) 13 P A = 故( ) 23P A = 或( ) 43P A = （舍去）即P（A）=23.55.随机地向半圆0y0,P（A|B）=1,试比较P（AB）与P（A）的大小. （2006研考）解：因为 P(A B) = P(A) + P(B) P(AB)P(AB) = P(B) P(A B) = P(B)所以 P(A B) = P(A) + P(B) P(B) = P(A) .1、歧视：是指由于某些人是某一群体或类属之成员，而对他们施以不公平或不平等的待遇。根据以上定义，下面哪种行为没有发生歧视（ ）A某公司拒绝招收每一个黑人求职者B公司领导由于担心客户不愿意与一位女主管打交道，拒绝了有能力胜任副总裁之职的张女士C王先生认为非洲黑人的素质普遍较差D一名小学教师对学习优秀的学生特别关心，而不重视那些学习较差的学生2、健康：指一个人智力正常，行为合乎情理，能够适应正常工作、社会交往或者学习，能够抵御一般疾病。根据健康的定义，下列属于健康的是（ ）A大学教授老李，虽然五十多岁但工作起来仍然精力充沛，在今年春天患流感B张婶十九岁的儿子肖聪，读书十一年还是小学二年级水平，但是从小到大没发生过什么大病，体力活可以干得很好C小胡硕士毕业后，工作表现一直很优秀。自一次事故后，当工作压力比较大的时候就会精神失常D小刘身体很好，工作非常努力，孝敬父母，但很多同事说他古怪，不愿与其交往3、“ Email 营销是指在用户事先许可的前提下，通过电子邮件的方式向目标用户传递有价值信息的一种网络营销手段”。 Email 营销有三个基本要素：基于用户许可，通过电子邮件传递信息、信息对用户是有价值的。三个要素缺少一个，都不能称之为有效的 Email 营销。根据上述定义，下列属于有效的 Email 营销的一项是 （ ）A小王 2002 年成为某品牌产品刊物的会员，入会期满一年后，小王决定退会，但他在网上进行退会操作没有成功，该产品还继续发来信息 。B小李在某门户网站注册了免费邮箱，注册时注明愿意接收有关医疗保健和体育比赛方面的信息。使用邮箱后，该网站经常向他的邮箱发送包括医疗保健和商品折扣方面的信息C小赵曾经给某厂商留下地址，希望对方免费邮寄相关资料，后来他收到一封电子邮件，没有发件人姓名，地址、身份，标题是“产品目录”。他恐怕该邮件有病毒，没有打开就将其删除了D小高收到一封邮件，标题为：“免费赠卡，直接消费”，打开后，发现收件人一栏只有一个地址，但却不是自己的邮箱地址，他感到大惑不解。4、实绩原则就是以下属的实绩为依据，给予适当方式的激励。根据上述定义，下列情况遵循实绩原则的是( )A 因为小赵是实脸室里学历最高、能力最强的人员，所以他得到了高额奖金B 酒店员工小刘喜爱自己的工作，每天情绪饱满笑容可掬，受到经理的表扬C 推销员小李工作认真负责，兢兢业业，虽然销售额一般，但客户访问量远高于其他同事，因而被提拔D 某连锁洗衣店虽然收费较高，但因质量一流，服务周到取得了同行中的最好利润，受到总公司的奖励5、企业信息化是指企业利用现代信息技术，通过深化开发和广泛利用信息资源，不断提高生产、经营、管理、决策效率和水平的过程根据上述定义，下列不属于企业信息化的是( )A 学校建立计算机