江苏省南通市如东高级中学高考数学总复习 第52讲 不等式选讲优秀课件.ppt

第52讲不等式选讲 主要内容 一 聚焦重点含绝对值不等式的解法 二 廓清疑点如何选择合适的重要不等式 三 破解难点利用不等式求函数的最值 聚焦重点 含绝对值不等式的解法 基础知识 常用结论 设a 0 则 基础知识 常见形式 问题研究 如何解含绝对值的不等式 经典例题1 思路分析 思路一 利用 思路二 思路三 两边同时平方 求解过程 解 根据思路一 解之 得 故原不等式的解集为 原不等式等价于 求 交 求 并 求解过程 解 根据思路二 回顾反思 基本策略 去绝对值符号 转化为不等式 组 求解 通法 简捷 思想方法 等价转化 常用方法 1 零点分段讨论法 2 利用等价关系直接转化法 3 平方法 拓展延伸 思路分析 原不等式两边同时平方 可得 所以不等式的解集为 错因分析 思路分析 思路一 通过零点分段讨论法 转化为两个不等式组 思路二 借助绝对值的等价关系式 直接转化为两个不等式 思维经济运算简捷 求解过程 解 按思路二 原不等式等价于 不等式的解集为 经典例题2 思路分析 原不等式可化为 由此得原不等式的解集为 3 2 思路一 思路二 零点分段讨论法 思路分析 原不等式等价于 解 求解过程 求 交 求 并 思维碰撞 原不等式可化为 所以 原不等式的解集为 3 2 思路一 思路分析 x 1 2 2 3 a b a1 b1 设数轴上与 2 1 x对应的点分别是a b p 所以原不等式的解集是 0 思路三 利用绝对值的几何意义求解 解析 思路分析 可作出其图象 如右图所示 思路四 利用函数图象求解 解析 回顾反思 利用绝对值的意义 通过找零点分区间讨论 去绝对值转化为不含绝对值的不等式 组 求解 借助数轴 利用绝对值的几何意义求解 构造函数 利用其图象求解 通性通法 特殊手段 思想方法 等价转化 分类讨论 数形结合 廓清疑点 如何选择重要不等式 问题研究 如何证明不等式 方法回顾 常用的证明不等式的方法 1 比较法 作差 变形 判断 作商 变形 判断 2 分析法 执果索因 3 综合法 由因导果 经典例题3 由于 当且仅当a b c时等号成立 所以 思路一 左式 右式 比较法 思路分析 思路分析 思路二 由基本不等式 从而左式 思路三 由基本不等式 可得 求解过程 证明由基本不等式 可得 上述三式相加 可得 当且仅当a b c时等号成立 2 从两项的基本不等式出发证明结论 综合法 思路四 基础知识 柯西不等式的一般形式 基础知识 排序不等式 柯西不等式的三维形式 即可直接利用柯西不等式 思路分析 解题关键 思路五 求解过程 由柯西不等式 可得 关键 合理准确地构造两个元素个数相同的数组 易错点 证明 思路分析 不难得证 排序不等式的三维形式 解题关键 思路六 求解过程 由排序不等式 可得 不妨设 对两组数a b c a b c 是其顺序和 b c a 是该数组的一个排列 解题关键 恰当地构造两个元素个数相同的有序数组 证明 思路分析 思路七 要证原式成立 即证 亦即证 设 解题关键 函数思想在证明不等式中的应用 即证 回顾反思 2 解题关键 选择柯西不等式或排序不等式证明不等式的关键是抓住不等式特征 合理构造数组 准确使用公式 1 方法扫描 比较法 分析法 综合法 放缩法 函数法等 3 思想方法 分析比较 合理联想 主元意识 函数思想 回顾反思 注意各重要不等式的适用条件以及等号成立条件 2 一般地 柯西不等式和排序不等式用于理科选学部分中的不等式问题的处理 特别提醒 破解难点 利用不等式求函数最值 问题研究 如何灵活运用均值不等式求函数的最值 基础知识 基础知识 平均值定理 经典例题4 思路一 思路分析 若a b为正数 则 当且仅当a b时 成立 并非定值 此法错误 思路调整 若a b c为正数 则 当且仅当时 成立 想法一 将2x2拆成x2 x2 思路二 积 非定值 此路不通 思路分析 所以 想法二 将拆成两项 求解过程 则 回顾反思 利用均值不等式求函数的最值问题时需注意 1 一正 二定 三相等 这三者缺一不可 2 注重等价变形 合理 配项 凑项 正确使用均值不等式 总结提练 一 聚焦重点 含绝对值不等式的解法 二 廓清疑点 证明不等式中 如何选择合适的重要不等式 三 破解难点 利用不等式求函数的最值 总结提练 2 倡导