初中数学知识点总结(人教版).ppt

数与式 考点一实数的有关概念1 数轴规定了 的直线 叫做数轴 和数轴上的点是一一对应的 2 相反数 1 实数a的相反数为 2 a与b互为相反数 3 相反数的几何意义 在数轴上 表示相反数的两个点位于原点的两侧 且到原点的距离 这两个点关于 对称 原点 正方向 单位长度 实数 a a b 0 相等 原点 3 倒数 1 实数a的倒数是 其中a0 2 a和b互为倒数 4 绝对值在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值 即一个正数的绝对值是它 0的绝对值是 负数的绝对值是它的 ab 1 原点 本身 相反数 0 温馨提示 1 绝对值是a a 0 的数有两个 它们互为相反数 即为 a 2 绝对值相等的两个数相等或互为相反数 即 若 a b 则a b或a b 0 3 任意实数的绝对值都是非负数 即 a 0 4 去掉绝对值符号进行化简运算时 关键是判断绝对值符号里面的代数式的正负 考点二实数的分类1 按定义分类 2 按正负分类 无理数包括 1 2 3 考点三平方根 算术平方根 立方根温馨提示 在应用x2 a时 一定不要忘记a 0这一条件 注意算术平方根与平方根的区别与联系 如1的平方根是 1 而1的算术平方根是1 平方根 正的平方根 互为相反数 考点四科学记数法 近似数与有效数字把一个数N表示成a 10n 1 a 10 n是整数 的形式叫科学记数法 当 N 1时 n等于原数N的整数位数减1 当 N 1且N 0时 n是一个负整数 它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数 含整数位上的零 2 近似数与有效数字一个近似数 四舍五入到哪一位 就说这个近似数精确到哪一位 这时从左边第个非零数字起 到末位数字为止 所有的数字都叫做这个近似数的有效数字 一 考点一实数的运算在实数范围内运算顺序是 先算 再算 最后算 有括号的先算括号内的 同一级运算 从左到右依次进行计算 考点二零指数 负整数指数幂考点三实数大小比较1 在数轴上表示两个数的点 右边的点表示的数总比左边的点表示的数 两个负数比较 绝对值大的反而 2 设a b是任意两个数 若a b 0 则a b 若a b 0 则a b 若a b 0 则a b 乘方 或开方 乘除 加减 1 大 小 三个重要的非负数a a 0 a a2 考点一整式的有关概念1 单项式和多项式统称整式 单项式是指用乘号把数和字母连接而成的式子 而多项式是指几个单项式的 2 单项式中的数字因数叫做单项式的 单项式中所有字母的 叫做单项式的次数 3 多项式中 每一个单项式叫做多项式的项 其中不含字母的项叫做常数项 多项式中次数的次数就是这个多项式的次数 和 系数 指数和 最高项 考点二整式的运算1 整式的加减 1 同类项与合并同类项所含的 相同 并且 也分别相同的单项式叫做同类项 把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项 合并的法则是系数相加 所得的结果作为合并后的系数 字母和字母的 不变 2 去括号与添括号 括号前是 号 去掉括号和它前面的 号 括号里的各项都不改变符号 括号前是 号 去掉括号和它前面的 号 括号里的各项 字母 相同字母的指数 指数 都改变符号 括号前是 号 括到括号里的各项都不改变符号 括号前是 号 括到括号里的各项都改变符号 3 整式加减的实质是合并同类项 温馨提示 在进行整式加减运算时 如果遇到括号 应根据去括号法则 先去括号 再合并同类项 当括号前是负号 去括号时 括号内每一项 2 幂的运算同底数幂相乘 底数不变 指数相加 即am an m n都是整数 幂的乘方 底数不变 指数相乘 即 am n m n都是整数 积的乘方 等于把积的每一个因式分别乘方 再把所有的幂相乘 am n amn 都要变号 即 ab n anbn n为整数 同底数幂相除 底数不变 指数相减 即am an a 0 m n都为整数 3 整式的乘法单项式与单项式相乘 把系数 同底数幂分别相乘 作为积的因式 只在一个单项式里含有的字母 则连同它的指数作为积的一个因式 单项式与多项式相乘 就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项 再把所得的积相加 即m a b c 多项式与多项式相乘 先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项 再把所得的积相加 即 m n a b ma mb na nb am n ma mb mc 4 整式的除法单项式除以单项式 把 分别相除 作为商的因式 对于只在被除式里含有的字母 则连同它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式 把这个多项式的每一项除以这个单项式 然后把所得的商相加 5 乘法公式 1 平方差公式两个数的和与这两个数的差的积 等于这两个数的平方差 即 a b a b 2 完全平方公式 系数 同底数幂 a2 b2 两数和 或差 的平方 等于它们的平方和加上 或减去 它们的积的2倍 即 a b 2 考点三因式分解1 因式分解的定义及与整式乘法的关系 1 这种运算就是因式分解 2 因式分解与整式乘法是互逆运算 2 因式分解的常用方法 1 提公因式法 2 运用公式法 3 十字相乘 a 2ab b2 把一个多项式化为几个整式的积的形式 2 3 因式分解的一般步骤 1 一提 如果多项式的各项有公因式 那么先提公因式 2 二用 如果各项没有公因式 那么可以尝试运用公式法来分解 3 三查 分解因式 必须进行到每一个多项式都不能再分解为止 考点一分式形如 A B是整式 且B中含有字母 B 的式子叫做分式 1 分式有无意义 B 0时 分式无意义 B 0时 分式有意义 2 分式值为0 A 0且B 0时 分式的值为0 考点二分式的基本性质分式的分子与分母都乘以 或除以 同一个 的整式 分式的值不变 温馨提示 1 若原分式的分子 或分母 是多项式 运用分式基本性质时 要先把分式的分子 或分母 用括号括上 再乘以 或除以 整式 2 应用分式基本性质时 要深刻理解 都 与 同 这两个字的含义 避免犯只乘分子或分母一项的错误 0 不等于零 考点三分式的运算 4 分式的混合运算考点四分式求值分式的求值方法很多 主要有三种 1 先化简 后求值 2 由值的形式直接转化成所求的代数式的值 3 式中字母表示的数未明确告知 而是隐含在方程等题设条件中 解这类题 一方面从方程中求出未知数或未知代数式的值 另一方面把所求代数式化简 只有双管齐下 才能获得简易的解法 考点一二次根式考点二最简二次根式最简二次根式必须同时满足条件 1 被开方数的因数是 因式是整式 2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 0 正整数 考点三同类二次根式几个二次根式化成 后 如果 相同 这几个二次根式就叫做同类二次根式 温馨提示 判断几个二次根式是否是同类二次根式 必须先化成最简二次根式后再判断 否则很容易出错 考点四二次根式的性质 最简二次根式 被开方数 非负 a 考点五二次根式的运算1 二次根式的加减法先将各根式化为 然后合并同类二次根式 0 最简二次根式 最简二次根式 0 方程 组 与不等式 组 考点一等式及方程的有关概念1 等式及其性质温馨提示 在等式两边都除以同一个代数式时 一定要保证这个代数式的值 2 方程的有关概念 不为零 考点二一元一次方程1 一元一次方程2 解一元一次方程的一般步骤 1 去分母 2 去括号 3 移项 4 合并同类项 5 系数化为1 考点三二元一次方程组及解法 考点四列方程 组 解应用题1 列方程 组 解应用题的一般步骤 1 把握题意 搞清楚条件是什么 求什么 2 设未知数 3 找出能够包含未知数的等量关系 一般情况下设几个未知数 就找几个等量关系 4 列出方程 组 5 求出方程 组 的解 注意排除增根 6 检验 看是否符合题意 7 写出答案 包括单位名称 2 列方程 组 解应用题的关键是 确定等量关系 考点一一元二次方程的定义在整式方程中 只含有 个未知数 并且含未知数项的最高次数是 这样的整式方程叫一元二次方程 一元二次方程的标准形式是 考点二一元二次方程的常用解法 一 2 ax2 bx c 0 a 0 分式方程验根 考点二与增根有关的问题1 分式方程的增根必须同时满足两个条件 1 2 2 增根在含参数的分式方程中的应用由增根求参数的值 解答思路为 1 将原方程化为整式方程 2 确定增根 3 将增根代入变形后的整式方程 求出参数的值 是由分式方程化成的整式方程的根 使最简公分母为零 考点三列分式方程解应用题1 列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样 不同之处是列出的方程是分式方程 求出分式方程解后 一定要记住对所列方程和实际问题验根 不要缺少了这一步 2 应用问题中常用的数量关系及题型 1 数字问题 包括日历中的数字规律 设个位数字为c 十位数字为b 百位数字为a 则这个三位数是 日历中前后两日差 上下两日差 100a 10b c 1 7 2 体积变化问题 3 打折销售问题 利润 成本 利润率 100 4 行程问题 路程 若用v表示轮船的速度 用v顺 v逆 v水分别表示轮船顺水 逆水和水流的速度 在下列式子中填空 v顺 v v逆 v v v水 售价 速度 时间 v水 v水 在轮船航行问题中 知v顺 v逆 v v水中的任何两个量 总能求出其他的量 5 教育储蓄问题 利息 本息和 本金 1 利率 期数 利息税 贷款利息 贷款数额 利率 期数 本金 利率 期数 本金 利息 利息 利息税率 不等式 考点一不等式的基本概念考点二不等式的基本性质温馨提示 一定要注意应用不等式的基本性质3时 要改变不等号的方向 不等式组考点一一元一次不等式组的有关概念考点二一元一次不等式组的解法 2 两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集情况见下表 其中a b x a x b a x b 无解 温馨提示当不等式组中含有 或 时 不等式组的解法和解集取法不变 只是表示在数轴上需要注意区分实心点和空心圆圈的使用 考点三一元一次不等式组的特殊解一元一次不等式组的特殊解主要是指整数解 非负整数解 负整数解等 不等式组的特殊解 包含在它的解集中 因此 解决此类问题的关键是先求出不等式组的解集 然后求其特殊解 平面直角坐标系 考点一平面内点的坐标1 有序数对 1 平面内的点可以用一对来表示 例如点A在平面内可表示为A a b 其中a表示点A的横坐标 b表示点A的纵坐标 2 平面内的点和有序实数对是的关系 即平面内的任何一个点可以用一对来表示 反过来每一对有序实数都表示平面内的一个点 3 有序实数对表示这一对实数是有的 即 1 2 和 2 1 表示两个的点 有序实数 一一对应 有序实数 不同 顺序 考点一平面内点的坐标平面内点的坐标规律 1 各象限内点的坐标的特征点P x y 在第一象限 x 0 y 0 点P x y 在第二象限 x 0 y 0 点P x y 在第三象限 x 0 y 0 点P x y 在第四象限 x 0 y 0 2 坐标轴上的点的坐标的特征点P x y 在x轴上 y 0 x为任意实数 点P x y 在y轴上 x 0 y为任意实数 点P x y 在坐标原点 x 0 y 0 考点二特殊点的坐标特征1 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 1 平行于x轴 或垂直于y轴 的直线上点的相同 横坐标为不相等的实数 2 平行于y轴 或垂直于x轴 的直线上点的相同 纵坐标为不相等的实数 2 各象限角平分线上的点的坐标特征 1 第一 三象限角平分线上的点 横 纵坐标 2 第二 四象限角平分线上的点 横 纵坐标 纵坐标 横坐标 相等 互为相反数 3 对称点的坐标特征点P x y 关于x轴的对称点P1的坐标为 x y 关于y轴的对称点P2的坐标为 x y 关于原点的对称点P3的坐标为 x y 以上特征可归纳为 1 关于x轴对称的两点 横坐标相同 纵坐标 2 关于y轴对称的两点 横坐标 纵坐标相同 3 关于原点对称的两点 横 纵坐标均 互为相反数 互为相反数 互为相反数 直线型 考点一线段 射线 直线1 线段的性质 1 所有连接两点的线中 最短 即过两点有且只有一条直线 2 线段垂直平分线上的点到这条线段的的距离相等 2 射线 线段又可看作是直线的一部分 即整体与部分的关系 将线段无限延长一方得到射线 两方无限延长可得到直线 3 直线 射线 线段的区别与联系 线段 两个端点 考点二角1 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 如果一个角的两边成一条直线 那么这个角叫做平角 平角的一半叫直角 大于直角小于平角的角叫做钝角 大于0 小于直角的角叫做锐角 2 1周角 度 1平角 度 1直角 度 1 分 1分 秒 3 余角 补角及其性质互为补角 如果两个角的和是一个 那么这两个角叫做互为补角 互为余角 如果两个角的和是一个 那么这两个角叫做互为余角 性质 同角 或 的余角相等 同角 或等角 的补角相等 平角 直角 等角 360 180 90 60 60 温馨提示 互为补角 互为余角是相对两个角而言 它们都是由数量关系来定义 与位置无关 考点三相交线1 对顶角及其性质对顶角 两条直线相交所得到的四个角中 没有公共边的两个角叫做对顶角 性质 对顶角 2 垂线及其性质垂线 两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角 则这两条直线互相垂直 其中一条直线叫另一条直线的 性质 经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短 简说成 垂线段最短 相等 垂线 考点四平行线1 平行线的定义在同一平面内 的两条直线 叫平行线 2 平行公理经过已知直线外一点 有且只有条直线与已知直线平行 3 平行线的性质 1 如果两条直线平行 那么相等 2 如果两条直线平行 那么相等 3 如果两条直线平行 那么互补 不相交 一 同位角 内错角 同旁内角 4 平行线的判定 1 定义 在同一平面内的两条直线 叫平行线 2 相等 两直线平行 3 相等 两直线平行 4 同旁内角 两直线平行 温馨提示 除上述平行线识别方法外 还有 在同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行 及 平行于同一直线的两条直线平行 的识别方法 不相交 同位角 内错角 互补 三角形 考点一三角形的概念与分类1 由三条线段所围成的平面图形 叫做三角形 2 三角形按边可分为 三角形和三角形 按角可分为三角形 三角形和三角形 首尾顺次相接 不等边 等腰 锐角 钝角 直角 考点二三角形的性质1 三角形的内角和是 三角形的外角等于与它的两个内角的和 三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角 2 三角形的两边之和第三边 两边之差第三边 3 三角形中的重要线段 1 角平分线 三角形的三条角平分线交于一点 这点叫做三角形的内心 它到三角形各边的距离相等 2 中线 三角形的三条中线交于一点 这点叫做三角形的重心 3 高 三角形的三条高交于一点 这点叫做三角形的垂心 180 不相邻 大于 小于 4 三边垂直平分线 三角形的三边垂直平分线交于一点 这点叫做三角形的外心 外心到三角形三个顶点距离相等 5 中位线 三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半 温馨提示 三角形的边 角之间的关系是三角形中重要的性质 在比较角的大小 线段的长短及求角或线段中经常用到 学习时应结合图形 做到熟练 准确地应用 三角形的角平分线 高 中线均为线段 考点三全等三角形的概念与性质1 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2 全等三角形的性质 1 全等三角形的 分别相等 2 全等三角形的对应线段 角平分线 中线 高 相等 周长相等 面积相等 对应边 对应角 考点四全等三角形的判定1 一般三角形全等的判定 1 如果两个三角形的三条边分别 那么这两个三角形全等 简记为SSS 2 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等 那么这两个三角形全等 简记为SAS 3 如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等 那么这两个三角形全等 简记为ASA 4 如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等 那么这两个三角形全等 简记为AAS 对应相等 2 直角三角形全等的判定 1 两直角边对应相等的两个直角三角形全等 2 一边及该边所对锐角对应相等的两个直角三角形全等 3 如果两个直角三角形的斜边及一条分别对应相等 那么这两个直角三角形全等 简记为HL 3 证明三角形全等的思路 直角边 考点一等腰三角形1 概念及分类有的三角形叫等腰三角形 有的三角形叫做等边三角形 也叫正三角形 等腰三角形分为的等腰三角形和 的等腰三角形 2 等腰三角形的性质 1 等腰三角形两腰相等 等腰三角形的两个底角 2 等腰三角形的顶角角平分线 底边上的中线和高互相 简称 三线合一 三边相等 腰和底不相等 腰和底相等 相等 重合 两边相等 3 等腰 非等边 三角形是轴对称图形 它有一条对称轴 温馨提示 应用性质 三线合一 时 一定要注意是顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 利用它可以证明线段相等 角相等及直线垂直 考点二等边三角形的性质与判定1 性质 1 等边三角形的内角都相等 且等于60 2 等边三角形是轴对称图形 等边三角形每条边上的中线 高和所对角的平分线都 三线合一 它们所在的直线都是等边三角形的对称轴 2 判定 三个角相等的三角形是等边三角形 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形 温馨提示 1 顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形 2 等边三角形外心 内心 重心 垂心四心合一 考点三线段的中垂线1 概念 垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线 也叫中垂线 2 性质 线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等 3 判定 到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上 线段的中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合 考点四直角三角形的性质 判定1 性质 1 直角三角形的两个锐角 2 勾股定理 a2 b2 c2 在Rt ABC中 C 90 3 在直角三角形中 如果有一个锐角等于30 那么它所对的直角边等于斜边的 4 在直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 那么这条直角边所对的锐角为 5 直角三角形上的中线等于斜边的一半 互余 一半 30 斜边 2 判定 1 有一个角是的三角形是直角三角形 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 3 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形为三角形 4 在一个三角形中 如果有两个角互余 那么这个三角形是三角形 直角 直角 直角 温馨提示 1 勾股定理的逆定理是判定三角形为直角三角形的重要方法 2 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 称为勾股数 3 若a b c为一直角三角形的三边长 则以ma mb mc m 0 为三边的三角形也是直角三角形 考点定义 命题 定理 公理有关概念 1 定义是能明确指出概念含义或特征的句子 它必须严密 2 命题 判断一件事情的语句 命题由题设和两部分组成 命题的真假 正确的命题称为 的命题称为假命题 互逆命题 在两个命题中 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论 而第一个命题的结论是第二个命题的题设 那么这两个命题称为互逆命题 每一个命题都有逆命题 真命题 错误 结论 3 定理 经过证明的真命题叫做定理 因为定理的逆命题不一定都是真命题 所以不是所有的定理都有逆定理 4 公理 有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的 并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据 这样的真命题叫公理 温馨提示 对命题的正确性理解一定要准确 判定命题不成立时 有时可以举反例说明道理 命题有正 误 错误的命题也是命题 考点三证明1 证明 根据题设 定义 公理及定理 经过逻辑推理来判断一个命题是否正确 这一推理过程称为证明 2 证明的一般步骤 审题 找出命题的和 由题意画出图形 具有一般性 用数学语言写出 分析证明的思路 写出 每一步应有根据 要推理严密 证明过程 题设 结论 已知 求证 多边形 考点一多边形 不相邻 n 2 180 360 考点二平面图形的密铺1 密铺的定义用形状 大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接 彼此之间不留空隙 不重叠地铺成一片 这就是平面图形的密铺 又称作平面图形的镶嵌 2 平面图形的密铺温馨提示 能密铺的图形在一个拼接点处的特点 几个图形的内角拼接在一起时 其和等于360 并使相等的边互相重合 考点三平行四边形的定义 性质与判定1 定义 两组对边的四边形是平行四边形 2 性质 1 平行四边形的对边 2 平行四边形的对角 邻角 3 平行四边形的对角线 4 平行四边形是对称图形 3 判定 1 两组对边分别的四边形是平行四边形 2 两组对边分别的四边形是平行四边形 3 一组对边的四边形是平行四边形 4 两组对角分别的四边形是平行四边形 5 对角线的四边形是平行四边形 分别平行 平行且相等 相等 互补 互相平分 中心 平行 相等 平行且相等 相等 互相平分 考点一矩形的定义 性质和判定1 定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形 2 性质 1 矩形的四个角都是直角 2 矩形的对角线 3 矩形既是轴对称图形 又是中心对称图形 它有两条对称轴 它的对称中心是对角线的交点 3 判定 1 有的平行四边形是矩形 2 有三个角是直角的四边形是矩形 3 对角线相等的是矩形 互相平分且相等 一个角是直角 平行四边形 考点二菱形的定义 性质和判定1 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2 性质 1 菱形的四条边 对角线互相 并且每条对角线平分一组对角 2 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形 3 判定 1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2 四条边都相等的四边形是菱形 3 对角线的平行四边形是菱形 4 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 都相等 垂直平分 互相垂直 考点三正方形的定义 性质和判定1 定义 有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形 2 性质 1 正方形四个角都是 四条边都 2 正方形两条对角线 并且互相 每条对角线平分一组对角 3 正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 3 判定 1 有一个角是直角的菱形是正方形 2 有一组邻边相等的矩形是正方形 正方形的判定可借助平行四边形 矩形 菱形来判定 直角 相等 相等 垂直平分 考点四平行四边形 矩形 菱形 正方形的关系温馨提示 1 矩形 菱形和正方形具有平行四边形的所有性质 2 平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点较多 要想做到准确而不混淆就要从 边 角 对角线 对称性 这四个方面来研究它们的性质和判定 多用数形结合法 掌握它们的区别及联系 把握它们的特征是关键 考点一梯形的定义 分类及面积1 定义 一组对边平行 而另一组对边的四边形叫做梯形 其中 平行的两边叫做底 两底间的距离叫做梯形的 不平行 高 考点二等腰梯形的性质与判定1 性质 1 等腰梯形的两腰相等 两底 2 等腰梯形在同一底边上的两个角 3 等腰梯形的对角线 4 等腰梯形是轴对称图形 2 判定 1 定义法 2 同一底边上的两个角的梯形是等腰梯形 3 对角线相等的梯形是等腰梯形 平行 相等 相等 相等 考点三梯形的中位线1 定义 连接梯形的线段叫做梯形中位线 2 判定 1 经过梯形一腰中点与的直线必平分另一腰 2 定义法 3 性质 梯形的中位线两底 并且等于的一半 两腰中点 底平行 平行于 两底和 考点四解决梯形问题的基本思路及辅助线的作法 相似 考点一相似多边形的判断及性质1 多边形相似的判断 各角对应相等 各边对应成比例 2 相似多边形的性质 1 对应角 对应边 2 周长之比等于 面积之比等于 相等 成比例 相似比 相似比的平方 考点三位似图形及性质1 定义 如果两个图形不仅是相似图形 而且每组对应点所在的直线都经过同一点 那么这样的两个图形叫做位似图形 这个点叫做位似中心 这时的相似比又称为位似比 因此 位似图形一定是相似图形 但相似图形不一定是位似图形 2 性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 考点一相似三角形的定义定义 如果两个三角形的各角对应 各边对应 那么这两个三角形相似考点二相似三角形的性质1 相似三角形的对应角 对应边 2 相似三角形的对应高的比 对应角平分线的比 对应中线的比都等于 3 相似三角形的周长之比等于 面积之比等于 相等 成比例 相等 成比例 相似比 相似比的平方 相似比 考点三相似三角形的判定1 两边对应 且夹角的两个三角形相似 2 两角对应相等的两个三角形相似 3 三边对应的两个三角形相似 温馨提示 直角三角形相似的条件 1 两直角边对应成比例的两个直角三角形相似 2 有一个锐角对应相等的两直角三角形相似 3 有斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似 成比例 相等 成比例 考点一锐角三角函数定义若在Rt ABC中 C 90 A B C的对边分别为a b c 则sinA cosA tanA 温馨提示 1 锐角三角函数是在直角三角形中定义的 2 sinA cosA tanA表示的是一个整体 是指两条线段的比 没有单位 3 锐角三角函数的大小仅与角的大小有关 与该角所处的直角三角形的大小无关 4 当A为锐角时 0 sinA 1 0 cosA 1 tanA 0 考点二特殊角的三角函数值 考点四解直角三角形1 解直角三角形的定义由直角三角形中除直角外的已知元素 求出所有未知元素的过程 叫做解直角三角形 直角三角形中 除直角外 一共有5个元素即3条边和2个锐角 2 直角三角形的边角关系在Rt ABC中 C 90 A B C的对边分别为a b c 1 三边之间的关系 2 两个锐角之间的关系 a2 b2 c2 A B 90 考点一解直角三角形的应用中的相关概念1 仰角 俯角 如图 在测量时 视线与水平线所成的角中 视线在水平线上方的角叫仰角 在水平线下方的角叫俯角 3 方向角 指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90 的水平角 叫做方向角 如图 表示北偏东60 方向的一个角 水平距离l 注意 东北方向指北偏东方向 东南方向指南偏东45 方向 西北方向指北偏西45 方向 西南方向指南偏西45 方向 我们一般画图的方位为上北下南 左西右东 4 方位角 从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角 45 考点二直角三角形的边角关系的应用日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题 因此 直角三角形的边角关系在解决实际问题中有较大的作用 在应用时要注意以下几个环节 1 将实际问题抽象为数学问题 画出平面图形 转化为解直角三角形的问题 2 根据条件的特点 适当选用锐角三角函数等去解直角三角形 3 得到数学问题的答案 4 得到实际问题的答案 图形的变换 考点一图形的轴对称1 轴对称图形的定义如果一个图形沿着一条直线折叠后 直线两旁的部分能够互相 那么这个图形叫做轴对称图形 2 轴对称的定义把一个图形沿着某一条直线翻折过去 如果它能够和另一个图形重合 那么这两个图形关于直线对称 两个图形关于直线对称也称轴对称 这条直线叫做对称轴 重合 3 轴对称变换的基本性质 1 对应点所连的线段被对称轴 2 对应线段 对应角 4 轴对称和轴对称图形的区别轴对称涉及两个图形 是两个图形的位置关系 轴对称图形是对一个图形本身而言的 5 镜面对称原理 1 镜中的像与原来的物体 2 镜子中的像改变了原来物体的左右位置 即像与物体左右位置互换 垂直平分 相等 相等 轴对称 考点二中心对称图形和中心对称1 在平面内 一个图形绕某个点旋转180 能与原来的图形重合 这个图形叫做中心对称图形 这个点叫做它的对称中心 旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点 2 在平面内 一个图形绕某一定点旋转180 它能够与另一个图形重合 就说这两个图形关于这个点成中心对称 这个点叫做对称中心 旋转后两个图形上能够重合的点叫做关于对称中心的对称点 3 中心对称与中心对称图形的区别与联系区别 1 中心对称是指两个图形的位置关系 而中心对称图形是指具有某种性质的一类图形 2 成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上 而中心对称图形的对称点在同一个图形上 联系 若把中心对称图形的两部分看成两个图形 则它们成中心对称 若把成中心对称的两个图形看成一个整体 则成为中心对称图形 考点一平移的定义 条件1 定义 在平面内 将某个图形沿某个移动一定的 这样的图形运动称为平移 2 条件 确定一个平移运动的条件是和 温馨提示 画平移图形时必须确定平移的方向和距离 还需注意图形上的每个点都沿同一方向移动相同的距离 方向 距离 平移的方向 距离 考点二平移的性质1 平移不改变图形的与 即平移后所得的新图形与原图形 2 连接各组对应点的线段平行且 3 对应线段平行 4 对应角 温馨提示 画平移图形的依据是 平移的性质 关键是 正确找出所画图形的 形状 大小 全等 相等 相等 关键点 考点三图形的旋转1 定义 在平面内 将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个 这样的图形运动称为旋转 这个称为旋转中心 转动的 称为旋转角 2 条件 图形的旋转是由旋转中心 和确定的 3 性质 图形旋转过程中 图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度 注意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角 旋转角都 对应点到旋转中心的距离 4 一个图形只要满足 这一条件 就是旋转对称图形 角度 角度 旋转方向 旋转角 相等 相等 绕一点旋转某个角度后能与原图形重合 定点 5 把一个图形绕某个点旋转后能与另一个图形完全重合 则这两个图形成中心对称 对应点连线都经过 且被对称中心平分 对应线段 温馨提示 1 一对对应点与旋转中心所形成的角 就是旋转角 2 图形旋转时 要注意旋转方向 方向不同 旋转后的图形不同 3 中心对称图形是特殊的旋转对称图形 它是有一个旋转角为180 的旋转对称图形 180 对称中心 平行或在同一直线上且相等 立体图形 考点一生活中的立体图形1 生活中常见的立体图形有 球体 柱体 它们之间的关系可用下面的示意图表示 2 多面体 由 围成的立体图形叫 锥体 平面图形 多面体 考点二由立体图形到视图1 视图 从正面 上面和侧面 左面或右面 三个不同方向看一个物体 然后描绘三张所看到的图 即视图 其中从正面看到的图形 称为正视图 从上面看到的图形 称为俯视图 从侧面看到的图形 称为侧视图 2 常见几何体的三种视图 考点三物体的投影 1 阳光下的影子为平行投影 在同一时刻两物体的影子应在同一方向上 并且物高与影长成正比 2 灯光下的影子为中心投影 影子应在物体背对光的一侧 3 盲区是视线不能直接到达的区域范围 温馨提示 在解决物体投影的问题时 一定要先确定出该投影是平行投影还是中心投影 特别在解决计算解答题时 一定要正确找出比例关系 准确求解 圆 考点一圆的定义及其性质1 圆的定义有两种方式 1 在一个平面内 线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周 另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆 固定的端点叫 线段OA叫做 2 圆是到定点的距离等于定长的点的 2 圆的对称性 1 圆是轴对称图形 经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 2 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 3 圆是旋转对称图形 圆绕圆心旋转任意角度 都能和原来的图形重合 这就是圆的 圆心 半径 集合 旋转不变性 考点二垂径定理及推论1 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 2 推论1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 温馨提示 1 注意平分弦的直径不一定垂直于弦 2 等弧指能完全重合的弧 其度数一定相同 但度数相同的弧不一定是等弧 3 过圆心 平分弦 垂直于弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 若一条直线具备这五项中任意两项 则必具备另外三项 其中由 得 时 被平分的弦不是直径 考点三圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系1 定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 所对弦的弦心距相等 2 推论 同圆或等圆中 1 两个圆心角相等 2 两条弧相等 3 两条弦相等 4 两条弦的弦心距相等 四项中有一项成立 则其余对应的三项都成立 考点四圆心角与圆周角1 定义 顶点在圆心上的角叫圆心角 顶点在圆上 角的两边和圆都相交的角叫圆周角 2 性质 1 圆心角的度数等于它所对弧的度数 2 一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的 3 同弧或等弧所对的圆周角 同圆或等圆中相等的圆周角所对的 相等 4 半圆 或直径 所对的圆周角是 90 的圆周角所对的弦是直径 度数的一半 相等 直角 弧 温馨提示 1 圆周角定理是把圆周角和圆心角这两类不同的角联系在一起 2 同一条弧所对的圆周角相等 同一条弦所对的圆周角相等或互补 3 半圆所对的圆周角是90 90 的圆周角所对的弧是半圆 4 已知条件中如果有直径时 常常作直径所对的圆周角 这是圆中常添加的辅助线 考点一点与圆的位置关系1 点与圆的位置关系有三种 点在圆内 点在圆上 点在圆外 如果圆的半径是r 点到圆心的距离为d 那么 1 点在圆上 d r 2 点在圆内 dr 2 过三点的圆 1 经过三点作圆 经过在同一直线上的三点不能作圆 经过不在同一直线上的三点 有且只有一个圆 2 三角形的外接圆 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆 外接圆的圆心叫做三角形的外心 这个三角形叫做这个圆的内接三角形 3 三角形外接圆的作法 确定外心 作任意两边的中垂线 交点即为外心 确定半径 两边中垂线的交点到三角形任一个顶点的距离作为半径 温馨提示 锐角三角形的外心在三角形内部 直角三角形的外心在斜边中点处 钝角三角形的外心在三角形的外部 考点二直线与圆的位置关系1 直线与圆的位置关系的有关概念 1 直线和圆有两个公共点时 叫做直线和圆 这时的直线叫做圆的 2 直线和圆有唯一公共点时 叫做直线和圆 唯一的公共点叫做 这时的直线叫做圆的 3 直线和圆没有公共点时 叫做直线和圆 2 直线和圆的位置关系的性质与判定如果 O的半径为r 圆心O到直线l的距离为d 那么 1 直线l和 O相交 dr 割线 相切 相离 切线 相交 切点 考点三切线的判定和性质1 切线的判定方法 1 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 2 到圆心的距离等于半径的直线是圆的 3 过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线 2 切线的性质 1 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的 2 推论1 经过切点且垂直于切线的直线必经过 3 推论2 经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切线 半径 圆心 切点 考点四切线长定理1 切线长 在经过圆外一点的切线上 这点和切点之间的线段的长 叫做这点到圆的切线长 2 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角 考点一两圆的位置关系设R r为两圆的半径 d为圆心距 1 两圆外离 d R r 2 两圆外切 d R r 3 两圆相交 R rr 5 两圆内含 dr 注意 两圆内含时 如果d为0 则两圆为同心圆 考点二三角形 多边形 的内切圆1 与三角形 多边形 内切圆有关的一些概念 1 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 内切圆的圆心叫做三角形内心 这个三角形叫做圆的外切三角形 2 和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆 这个多边形叫做圆的外切多边形 2 三角形的内心的性质三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 它到三边的距离相等 且在三角形内部 温馨提示 找三角形内心时 只需画出两内角平分线的交点 内心与三角形各顶点连线是三角形各内角平分线 考点一弧长 扇形的面积1 如果弧长为l 圆心角为n 圆的半径为r 那么弧长的计算公式为 l 2 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形 若扇形的圆心角为n 所在圆半径为r 弧长为l 面积为S 则S 或S lr 注 公式中的n表示1 的圆心角的倍数 所以不写单位 考点二圆柱和圆锥 矩形 底面周长 母线长 扇形 弧长 半径 考点三阴影部分的面积1 规则图形 按规则图形的面积公式去求 2 不规则图形 采用 转化 的数学思想方法 把不规则图形的面积采用 割补法 等积变形法 平移法 旋转法 等转化为规则图形的面积 数据统计与概率 考点一普查与抽样调查1 为一特定目的而对考察对象作的全面调查叫做普查 2 为一特定目的而对考察对象作的调查叫做抽样调查 温馨提示 抽样时必须保证每一个个体被抽取的机会是均等的 而且抽取样本要足够大 对于一些科技性调查 即使数量大 也不能用抽样调查方法进行 所有 部分 考点二统计的有关概念1 总体 个体及样本在统计中 我们把所要考察对象的叫做总体 其中每一个考察对象叫做个体 当总体中个体数目较多时 一般从总体中抽取一部分个体 这一部分个体叫做总体的 样本中个体的数目叫做样本容量 2 平均数 全体 样本 总体中所有个体的平均数叫做总体平均数 样本中所有个体的平均数叫做样本平均数 通常用平均数去估计总体平均数 用样本估计总体时 越大 样本对总体的估计也就越精确 3 众数与中位数 1 在一组数据中 出现次数的数叫做这组数据的众数 一组数据的众数有时有几个 2 将一组数据按 把处在最中间的一个数据 或最中间两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数 3 众数 中位数与平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 4 当所给数据有单位时 众数 中位数也要有单位 且与原数据单位一致 样本 样本容量 大小依次排列 最多 越大 考点一统计图的概念统计图是表示统计数据的图形 是数据及其之间关系的直观表现的反映 考点二几种常见的统计图表1 条形统计图用长方形的高来表示数据的图形 它的特点是 1 能够显示每组中的 2 易于比较数据之间的差别 2 折线统计图用几条线段连成的折线来表示数据的图形 具体数据 它的特点是 易于显示数据的 3 扇形统计图 1 用一个圆代表总体 圆中的各个扇形分别代表中的不同部分 扇形的大小反映部分在总体中所占的大小 这样的统计图叫扇形统计图 2 百分比的意义 在扇形统计图中 每部分占总体的百分比等于该部分所对扇形的圆心角的度数与的比 3 扇形的圆心角 360 4 频数分布直方图 变化趋势 总体 百分比 360 百分比 考点一确定事件与不确定事件的有关概念及分类1 必然事件 一定会发生的事件叫做必然事件 2 不可能事件 一定不会发生的事件叫做不可能事件 3 确定事件 必然事件和不可能事件统称为确定事件 4 不确定事件 可能发生 也可能不发生的事件叫做不确定事件 也叫做随机事件或偶然事件 考点二频率与概率1 概率 一个事件发生的可能性的大小 可以用一个数来表示 我们把这个数叫做这个事件发生的概率 2 在进行实验的时候 当实验的次数很大时 某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近 我们可以通过多次实验用一个事件的频率来估计这一事件的概率 3 概率的计算方法及公式方法 画树形图法 列表法 4 概率的范围一般地 当事件A为必然事件时 P A 1 当事件A为不可能事件时 P A 0 当事件A为不确定事件时 0 P A 1 总之 任何事件A发生的概率P A 都是0和1之间 包括0和1 的数 即温馨提示 1 频率是多次实验得到的数据 而概率是理论上事件发生的可能性 2 在计算某事件的概率时要注意 要清楚我们要关注的是发生哪个或哪些结果 要清楚所有机会均等的结果 0 P A 1 考点一利用树形图或列表进行概率的预测1 画树形图是列举随机事件的所有可能结果的重要方法 通过树形图 把所有可能的结果一一列出 有利于帮助我们分析问题 并且可以避免出现重复和遗漏 既形象直观又条理分明 2 列表法也是列举随机事件的所有可能结果的一个重要的方法 为了准确地画树形图或列表往往需要 编号 列表法是画 树形图 的必要补充 考点二用替代物模拟试验在实验中往往会出现手边没有相应的实物的情况 需要借助替代物进行模拟试验 要广开思路 创造性地进行实物代替 尽可能地就地取材 但应该注意的是替代物与被替代物可以形状 大小 质地差别很大 但是试验时考查的试验对象 其出现的机会应该是相同的 这样利用替代物做模拟试验 才不会影响试验的结果 函数 一次函数二次函数反比例函数 考点一一次函数的定义一般地 如果y kx b k b是常数 k 0 那么y叫做x的一次函数 特别地 当b 时 一次函数y kx b就成为y kx k是常数 k 0 这时 y叫做x的 1 由定义知 y是x的一次函数 它的解析式是 其中k b是常数 且k 0 2 一次函数解析式y kx b k 0 的结构特征 1 k0 2 x的次数是1 3 常数项b可为任意实数 3 正比例函数解析式y kx k 0 的结构特征 1 k0 2 x的次数是 3 没有常数项或者说常数项为 0 正比例函数 y kx b 0 1 温馨提示 正比例函数是一次函数 但一次函数y kx b k 0 不一定是正比例函数 只有当b 0时 它才是正比例函数 考点二一次函数的图象温馨提示 3 一次函数y kx b k 0 的图象与k b符号的关系 1 k 0 b 0 图象经过第一 二 三象限 2 k 0 b 0 图象经过第一 三 四象限 3