高中数学第二章数Ⅰ2.3幂函数知识导学案.docx

2.3 幂函数知识导学 我们只讨论幂指数为有理数时的简单的幂函数.虽然y=x、y=x2是幂函数,但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数,如:y=x+1、y=2x2+1都不是幂函数,它们并不满足幂函数的定义,但它们是与幂函数相关联的函数,是由幂函数与常数经过算术运算得到的.对于幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的,幂指数不同,定义域和值域也不同. 研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数y=x2、y=x3及y=的图象研究归纳y=xn(n0)的图象特征和函数性质,通过对幂函数y=x-2、y=x-3及y=的图象研究归纳y=xn(n0),首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即n0,0n1三种情况下曲线的基本形状,还要注意n=0,1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆“正抛物负双曲,大竖直小横铺”,即n0(n1)时图象是抛物线型;n1时图象是竖直抛物线型;0n1,且p、q互质)时,若q为偶数,则定义域为0,+);若q为奇数,则定义域为R;当n=- (p、qN*,q1,且p、q互质)时,若q为偶数,则定义域为(0,+);若q为奇数,则定义域为x|x0.问题导思 分数指数幂与根式只是形式不同,其意义是相同的,对正分数指数幂的理解可从以下两个层次去认识. (1)给定正实数a,等于任意给定的正整数n,存在唯一的正实数b,使得bn=a.这样,我们把这个存在唯一的正实数b,记作b=;(2)给定正实数a,对于任意给定的正整数n、m,存在唯一的正实数b,使得bn=am,我们规定b叫做a的次幂,记作b=.对于负分数指数幂,可按a-n=去理解.典题导考黑色陷阱 忘记幂函数底数需大于0,将导致解题失误.典题变式当x(1,+)时,函数y=x的图象恒在直线y=x的下方,则的取值范围是( )A.1 B.00 D.0答案:A绿色通道 解此题的关键都在于适当地选取某一个函数,函数选得恰当,解决问题就简单.典题变式T1=(,T2=(,T3=(,则下列关系式正确的是( )A.T1T2T3 B.T3T1T2C.T2T3T1 D.T2T11,若q为奇数,p也是奇数,则图象分布在第一和第三象限;若q为奇数,p为偶数,则图象分布在第一和第二象限;若q为偶数,p是奇数,则图象分布在第一象限.(4)当为负奇数时,图象分布在第一和第三象限;当为负偶数时,图象分布在第一和第二象限;(5)当为负分数时,类似于(3)可设=-p、q为正整数,(p,q)=1,q1,情况和(3)一样.幂指数0时,图象全是“抛物线型”,而幂指数0时,图象全是“双曲线型”.典题变式当0x1时,f(x)=x2,g(x)= ,h(x)=x-2的大小关系为( )A.h(x)g(x)f(x) B.h(x)f(x)g(x)C.g(x)h(x)f(x) D.f(x)g(x)h(x)答案:D黑色陷阱 本题容易发生的错误:一是函数概念不清(该函数是以x为自变量的函数);二是在将函数式变形的过程不是等价变形,导致变形后的函数也不再是原有的函数了.典题变式 (1)求函数y=(x+2)-2的定义域、值域.讨论当x增大时,函数值如何变化？并画出图象;(2)问上述函数的图象与函数y=x-2的图象有何关系？思路分析:根据幂函数的性质求解.答案:(1)x|xR且x-2;R+.当x-2时,y随x的增大而减小.(2)将y=x-2的图象向左平移2个单位,即得到y=(x+2)-2的图象.绿色通道 据图象特征或性质求解幂函数解析式,需熟练掌握基本幂函数(y=x上标2,y=x上标1