椭圆的标准方程说课（教学目标）改进版.doc

1椭圆的标准方程说课稿2.2.1 椭圆标准方程的说课稿苏教版普通高中课程标准实验教科书：数学选修2-11.在教材中的作用及地位本节课主要内容是椭圆的标准方程。 学生在前面已经学习了解析几何的两种基本曲线直线和圆，初步掌握了解析几何的思维方法利用代数的方法描述平面图形及性质；基本上掌握了解析几何的解题基本格式；数形结合的思想比以前有了质的飞 跃；但计算能力和知识的整合能力稍差；代数语言和几何语言的相互转化还停留在表面。在此基础上，我们又学习了三种圆锥曲线的定义，初步认识了椭圆的定义判断。现又介绍运用椭圆的定义求曲线的轨迹方程。椭圆及其标准方程是继学习圆以后运用 “曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例。从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础。因此，这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点。讲授本节后应让学生完成自我探究椭圆的成形过程，使他们理解并掌握椭圆的定义、图形、标准方程；并基本学会运用定义求曲线方程；计算能力得以提高。对数学思想演绎和其自身数学能力的发展具有及其重要的意义。本节在研究椭圆定义及标准方程的过程中借助数形结合，可以克服数学学习的抽象性，增加数学语言和符号的具体性，进而实现语言符号和视觉映象之间的相互转化，这是整个圆锥曲线研究中不可或缺的一部分。2.教学目标分析1）知识目标：讲授本节后应让学生完成自我探究椭圆的成形过程，使他们更深入地理解并掌握椭圆的定义；基本学会运用定义求曲线方程，提高计算能力；并会从图形、定义、标准方程三个方面精确地判断椭圆；理解标准化的意义。 2）能力目标：在探求椭圆方程的过程中，着力于学生观察、类比、联想的数学能力，更加体会形数结合、综合分析等数学思想方法的重要性。对于实际教学中，忽视计算技能的训练应尽量避免，努力找寻解决如何避免繁杂的运算、如何寻找更加合理简捷的运算途径这一重要的数学问题。通过学生的自我探究和创新培养他们的创新思维、优选意识、严密的逻辑思维能力和动手探索的能力。3）情感目标：培养学生积极参与的主体意识，体现他们努力进取的思想风貌，让他们体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，初步形成正确的数学观、创新意识和科学精神，提高学生认识世界水平。3.学生知识现状分析知识现状：学生已经学习了解析几何的两种基本曲线直线和圆，初步掌握了解析几何的思维方法利用代数的方法描述平面图形及性质；基本上掌握了解析几何的解题基本格式；数形结合的思想比以前有了质的飞 跃；但计算能力和知识的整合能力稍差；代数语言和几何语言的相互转化还停留在表面。上一节又学习了三种圆锥曲线的定义，对椭圆有了初步的认识。4.重点、难点分析重点：标准方程的推导及椭圆的判断；难点:椭圆标准方程的推导及应用。5.学法和教法分析及教学手段教法：根据本节课的内容和学生的实际水平，我采用了引导发现法和感性体验法进行教学。引导发现法属于启发式教学，有利于充分调动学生的积极性和主动性，体现了认知心理学的相关内容。在教学过程中，教师采用启发、引导、点拨的方式，创设各种问题情景，使学生带着问题去主动思考，动手操作，交流合作，进而达到对知识的“发现”和“接受”，完成知识的内化，使书本的知识真正成为自己的知识。 学法：在学生明确本堂课的学习目标的基础上，伴随着课堂进程的推进，学生除了掌握相应学习内容，还要检查、分析自己的学习过程，对如何学、如何巩固，进行自我检查、自我校正、自我评价。会学有良好的学习习惯，掌握基本的学习方法，能综合运用各种学习手段；善学能初步认识自身学习的基础及特点扬长避短；求新能积极进行独立的、有创造性的思维活动。 电教手段: 多媒体 实验教具（ 直尺、图片）6.教学过程设计教学过程:4m2m图1【创设情境】图3一客户向木器加工厂订购一批椭圆形的木模：木模要求：长4米，宽2米。木工制作演示：方案一、选取两个相距为23米的定点，一根长为4米的不可伸长的细线，用墨笔绷紧细线画图（如图2）；方案二、画半径为2的圆，把圆上的每一点沿垂直某一直径的方向缩短为原来的1/2倍（如图3）。（投影flash动画）图2【学生活动】问题1：两方案所画图形是客户所要的椭圆吗？能否说出其中的科学的依据？（不要求学生真正理解，目的是为了激起学生探知的欲望，加深定义与图形的联系，提高学生识图的能力，但通过一节课的学习必须让学生知晓其中科学的道理）解决这个问题之前让我们共同回顾以下我们对椭圆最初的认识：一图形：有具体的图象但不精确；二定义：几何描述不便于交流（粗略介绍以下圆锥曲线几何大师阿波罗里奥斯，但流传下来资料很少，一个重要的原因几何描述不便于交流）。方案一：对比定义我们知道该图是椭圆，而方案二：我们只能从形上得出该图可能是椭圆，无法用目前的椭圆定义作出确切的判断。上述木工制作：椭圆呈现是几何形态的，故我们是否能把椭圆的形转化为数即我们所熟知数形结合，用更为简洁明了数学表示方式方程来表示椭圆，这样便于记录，流传。事实上许多小到温馨的生活的物件如：椭圆形的木桶、镜子、纽扣、装饰；大到精确的科学仪器和科学实验如：放映机的聚光灯泡的反射镜、结石碎石机的工作原理、地球围绕太阳运行的轨道（投影图片）。从温馨的生活场所到科技重地到处充斥着椭圆。为更好地研究创造这些我们就必须了解、掌握这些必要的数学知识椭圆的标准方程（板书课题：椭圆的标准方程）。只有熟练掌握椭圆的标准方程我们才能更好地设计、更好研究椭圆的性质。【问题建构】问题2：形如何向数转化呢？（让学生讨论形数结合的感受，感受形数结合的必要性）方法：坐标化原则：简洁对称步骤：建系、取点；列式(几何、代数)；代换；化简；证明(可省)要求条理清晰）xyOPF1F22c(x,y)分析：从定义（几何性质）入手突出：1、 如何建系：（让学生从美的原则出发感受轴对称、中心对称的完美性，处理问题时要保持完美性协调，忌破坏。）以焦点F1,F2所在直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴，则F1(-c,0),F2(c,0) 设椭圆上一点P(x,y)。2、如何求椭圆的标准方程：（暂且不提标准二字，纯粹从求方程开始）1）明确几何关系：|PF1|+|PF2|=2a2）几何关系代数化：分析方程的结构及所显示的几何意义（揭示出|F1F2|2a原因），强调为什么要化简美化，让学生感受化简的必要性。3）化简关系：(让学生讨论如何化简，突出化简的目的去根号)常规方法：平方法(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 注：在化简的过程中，时时注意拓展学生思维，帮助学生学会科学地思考。化简可以从其它两个方面思考：一、分子有理化（有理化的意识）；二、等差中项（数学式子的结构意识）注：若2a=2c时，化简所得方程与其图形的对比平方法后得：能说明什么？ 4）标准方程（分析为什么标准化，它的必要性） 结合椭圆的图形分析b的引入的科学性【数学理论】1） 启发两个问题：（突出a,b,c的几何意义及相互关系几何表示）椭圆在坐标轴上的截距是（a,0）,(0, )吗？a,b,c的几何联想是Rt（变动P的位置使其落在y轴上）吗？2） 标准方程的两种形式：焦点在x轴上：焦点在y轴上:（即焦点在x轴的椭圆关于y=x对称。在问题方法上注意与焦点在x轴上的椭圆方程类比，同时注意图形与方程相互联系提高学生的应变能力） yxoF1F2M3)总结：a,b,c哪一个大？它们的几何意义？焦点在x轴上的椭圆标准方程是_ _，焦点坐标是_； 焦点在Y轴上的椭圆标准方程是_，焦点坐标是_。根式方程是 一般方程：mx2+ny2=1(m,nR+,mn)目的：培养学生的分析归纳、类比推广的能力，在处理方程方面主要有两层目的，一层是让学生感受椭圆的标准方程的简洁性及字母的几何含义，提升学生的归纳能力；另一层主要是让学生透过根式的几何意义进一步理解椭圆的定义，提升学生的对椭圆的判断能力。 【数学运用】1、判断下列方程是否为椭圆方程。若是，请确定a,b,c值并求出椭圆的焦点坐标。目的：让学生重新认识椭圆另一种表示形式方程；掌握椭圆方程的结构及方程标准化的意识，区别圆与线段的方程形式。2、回答下列问题。1）椭圆3x2+ky2=3的一个焦点是(0,1)，则k=_ 变:把“焦点(0,1)”改成“焦距为2”2）若方程ax2+by2=c表示椭圆，则有 Aabc0 Bac0且bc0 Cabc0且bc3 B.3k5 C.k5目的：训练学生的椭圆方程的标准化意识。3、已知一个油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m,求这个椭圆的标准方程。强调三点：一建标；二根据焦点建模；三根据条件和定义定a,b,c 变1：变:已知ABC的周长为定值，其中A(3, 0), B(3, 0), 且顶点C的轨迹过点P(0,4),求顶点C的轨迹方程.分析：法1 求一般曲线方程 法2 利用椭圆的定义变2:已知ABC的周长为定值，其中A， B为定点，在坐标轴上，且关于原点对称，而动点C的轨迹过点P(5，0)，Q(0,4),求顶点C的轨迹方程。强调：方法的选择：一方程组解系数；二定义确定系数【回顾反思】（重申椭圆判断方法：形、定义、方程）1）图形1：定义解释图形2(突出圆的压缩变换：演示动化)：方程解释（P27例2）解决问题的方法：转移法（利用已有的曲线通过某种关系转变为另一种曲线）解题的步骤：1）设点（所求曲线的点与对应已知曲线上的点） 2）找关系 3）带入已知方程化简 4）判断曲线2）情境变题主要围绕椭圆标准方程的应用展开：图形的方程：x2/4+y2=1变1：若该椭圆上的点 P 到左焦点的距离是3，则点 P 到右焦点的距离是_.变2：若该椭圆上的点P的横坐标1，则点P到右焦点的距离是_.变3：椭圆上一点P，F1、F2分别是左右焦点，则PF1F2的周长_.Q是椭圆上另一点，且PQ过F1, 则PQF2的周长_.目的：主要训练学生认识椭圆标准方程与椭圆的定义的等价关系，及相互转化关系。【本课小结】1）你可以从那几个方面来判断某曲线是否为椭圆？ 提示：一形似；二定义（根本）；三方程（标准与根式）2）你认为椭圆的标准方程有哪些优越性？（数形结合）3）你认为求椭圆方程主要把握那几个方面？提示：焦点定标准方程的类型；椭圆的定义的量与a,b,c的关系4）解决问题重点强调两个方面：提示：一确认解决问题的知识；二确认解决问题的方法 【课内练习】1、a=4,b=3,焦点在y轴上2、焦点为(0,3)(0,-3),a=53、焦点在x轴上,焦距为4,且过4、a+c=10,a-c=45、过(-2,0)和(0,-3)【课后作业】1、练习P281（2）（4）、2（2）、习题2（3）（4）、3、42、阅读2.2.2结合椭圆方程阅读椭圆的几何性质【板书设计】一回顾：椭圆的定义:二新授：椭圆的两种标准方程 椭圆的判断方法 解决问题两个方面课题:椭圆的标准方程椭圆的标准方程推导例题、习题评析区投影区课堂小结改进后为：各位专家：您好！今天我说课的课题是“椭圆的标准方程”，下面我从教材分析、教法设计、学法设计、学情分析、教学程序、板书设计和评价设计等七个方面向各位阐述我对本节课的构思与设计。一、教材分析1、地位及作用圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用。同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材。推导椭圆的标准方程的方法对双曲线、抛物线方程的推导具有直接的类比作用，为学习双曲线、抛物线内容提供了基本模式和理论基础。因此本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容。 2、教学内容与教材处理椭圆的标准方程共两课时，第一课时所研究的是椭圆标准方程的建立及其简单运用，涉及的数学方法有观察、比较、归纳、猜想、推理验证等，我将以课堂教学的组织者、引导者、合作者的身份，组织学生动手实验、归纳猜想、推理验证，引导学生逐个突破难点，自主完成问题，使学生通过各种数学活动，掌握各种数学基本技能，初步学会从数学角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的愿望和兴趣。3、教学目标根据教学大纲和学生已有的认知基础,我将本节课的教学目标确定如下：1.知识目标建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程，进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法，体会数形结合的数学思想。2.能力目标让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题的能力，培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。3.情感目标亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶，通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。4、重点难点基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为：重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法，难点：椭圆的标准方程的推导。二、教法设计在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。探究性学习就是充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点。让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题。三、学法设计通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察猜想证明应用”的过程，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识。又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质。四、学情分析1.能力分析学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程，对含有两个根式方程的化简能力薄弱。2.认知分析学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤，学生已经掌握直线和圆的方程及圆锥曲线的概念，对曲线的方程的概念有一定的了解，学生已经初步掌握研究直线和圆的基本方法。3.情感分析学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究。五、教学程序从建构主义的角度来看，数学学习是指学生自己建构数学知识的活动，在数学活动过程中，学生与教材及教师产生交互作用，形成了数学知识、技能和能力，发展了情感态度和思维品质。基于这一理论，我把这一节课的教学程序分成六个步骤来进行，下面我向各位作详细说明：教 学 过 程设 计 意 图1. 创设问题情境：情境1 请同学们举出生活中椭圆形物体的实例 （展示一些椭圆形物体图片）情境2 宿迁中学校园内一些椭圆形小花坛 （展示自拍图片）问题1 施工时工人师傅是怎样砌建小花坛的？ （复习椭圆定义，动画演示）问题2 宿迁中学新校区绿化、美化工作正在进行，准备在一块长10米、宽6米的矩形空地上建造一个椭圆形花园，要尽可能多地利用这块空地，请问：如何画这个花园的边界线？ （动画演示，书写课题）问题情境的创设应有利于激发学生的求知欲。为了复习椭圆的定义，我设计如下两个学生熟悉的情境：通过情境1，让学生感受到椭圆的存在非常普遍。小到日常生活用品，大到建筑物的外形，天体的运行轨道。通过情境2和问题1，让学生主动思考如何画椭圆及椭圆的定义。 通过问题2，要求学生以小组为单位进行实验、观察、归纳、猜想、概括，激发学生探索的欲望和浓厚的学习兴趣，使学生的主体地位得到体现。2. 探求椭圆方程回顾圆的方程的建立过程，首先是做什么？ （提问学生）如何选择适当的坐标系来建立椭圆的方程呢？ （学生回答）在学生复习圆的方程的建立过程的基础上，让学生讨论思考如何选择适当的坐标系来建立椭圆的方程，我想学生通过这些活动能够建立几种常见的坐标系，并列出相应的代数方程。我认为这样有利于培养学生的动手实验，分析比较，相互协作等能力。让学生体验到知识的产生过程。xyOF1F2M图1在不同建系下，列出关于x，y的等式。它们都含有两个根式，如何化简这种方程？（学生思考回答，师生共同比较选择）xyO图2由于化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，估计学生容易想到直接平方，这时可让学生预测这样化简的难度，从而确定移项平方可以简化计算。为此，我首先启发学生如何去掉根号较好，让学生动手比较，最后得出移项平方化简方程比较简单，这样有利于培养学生的分析比较能力。法一 以两定点F1、F2所在直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图1）设为椭圆上的任意一点，设MF1+MF2=m，F1F2=n，（m n0）则、移项后再平方由MF1+MF2=m得 移项得 xyOF1F2M图1平方得 整理得 再平方得再整理得所以 即令m=2a,n=2c 即MF1+MF2=2a, F1F2=2c,上面方程化简可得 在比较如何化简方程简单后，我选择放手让学生化简，让学生体验化简方程的艰辛，经受锻炼，尝试成功，提高学生参与教学过程的积极性。为了让学生明白设常数2a、2c的合理性。我选择首先设常数m,n，然后以2a,2c替换，其目的是让学生体会到设2a,2c的合理性。结合图形，找出方程中a、c对应的线段xyOF1F2Mca如图，OF2=c，MF2=a， a与c可以看成RtMOF2的斜边和直角边那么a2-c2就是另一直角边的平方，因此我们令b2=a2-c2（b0），则方程变为（ab0）由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x,y)都满足上面这个方程；满足这个方程的点(x,y)都在已知的椭圆上。所以，这个方程就是所求得椭圆的方程.xyO图2法二 以两定点F1、F2所在直线为x轴，F1为原点，建立直角坐标系（如图2）设为椭圆上的任意一点，设MF1 + MF2 =m, F1F2=n，mn0，则、由MF1+MF2=m得 类似第一种方法,移项后平方，整理可得 再平方，整理可得所以 即令m=2a,n=2c 即MF1+MF2=2a, F1F2=2c,上面方程为 xyOF1F2MxyOF1F2M令b2=a2-c2（b0），则方程变为通过比较可知，方程（ab0）更简洁。把方程叫做椭圆的标准方程。总结推导椭圆的标准方程的步骤：曲线相对于坐标轴有较多的对称性（1）建系建立适当的坐标系（2）设点移项后再平方（3）列式（4）化简OF1F2xyM（5）证明如果椭圆竖起放置，怎样建系？建立如图所示的直角坐标系，类似于刚才的推导过程可得椭圆的方程，过程留给同学们课后完成。让学生猜想结论：（ab0），并说明理由。教师从另一角度分析：得到方程的原始等式为 而焦点在y轴上时，由MF1+MF2=2a得对比这两个等式，能发现什么结论？ 互换x，y因此，焦点在y轴上的椭圆的方程为由于这两种形式的方程都很简单，因此我们把这两种方程都叫椭圆的标准方程（其中b2=a2-c2）3. 标准方程比较（1）相同点方程中x，y表示椭圆上任意一点的坐标； 关于x，y的二元二次方程；方程右边是常数1，左边是平方和的形式；a是椭圆上的点到两焦点距离和的一半，b2a2-c2，c是焦距的一半；a2b2+c2，ab0, ac0,b与c大小不定焦点位置的判定：焦点在较大分母对应的变量的坐标轴上（2）不同点OF1F2xyMA1xyOF1F2MA1A2B1B2A2B1B2标准方程互换x，y 图 形焦点坐标F1(-c,0），F2(c,0）F1(0,c），F2(0,-c）与坐标轴交点A1（-a，0） A2（a，0）B1（0，-b） B2（0，b）A1（0，a） A2（0，-a）B1（-b，0） B2（b，0）4.初步运用知识（1）若椭圆的焦距为8，a=5，那么它的标准方程是 （或）（2）已知椭圆的方程为，则 a_，b_，c_，焦点坐标为 ，与坐标轴交点坐标为 ，焦距等于 ；如果点P为该椭圆上一点，则PF1+PF2_ _（ F1，F2为焦点）.( 总结： 定位 、 定量 待定系数法 )这里我选择设b2=a2-c2（b0）其作用是首先美化方程：使方程简洁美、对称美、和谐美，其次使b具有明显的几何意义：原点与椭圆和y轴的交点之间的线段长。通过这两种方法所得到的椭圆方程的比较，让学生在比较中体会哪种方程更能反映椭圆的对称美，从而引出椭圆的标准方程。在得到椭圆的标准方程之后，我和学生共同总结推倒椭圆标准方程的步骤，其目的是进一步强化求曲线方程的一般步骤，同时也让学生享受成功的喜悦。对于焦点在y轴上的椭圆的标准方程的建立，我选择让学生在比较、分析、猜想得到。在得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程过程中，考虑到学生对这一标准方程可能有怀疑的情绪，我选择