高考数学 2.5 对 数 函 数课件.ppt

第五节对数函数 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 对数的概念 如果ax n a 0 且a 1 那么数x叫做以a为底n的对数 记作x logan 2 对数的性质 换底公式与运算性质 0 1 n logam logan logam logan nlogam 3 对数函数的定义 图象与性质 y logax a 0 且a 1 0 1 0 y 0 y 0 增函数 减函数 4 反函数 指数函数y ax a 0 且a 1 与对数函数 a 0 且a 1 互为反函数 它们的图象关于直线 对称 y logax y x 2 必备结论教材提炼记一记 1 换底公式的两个重要推论 logab 其中a 0 且a 1 b 0 且b 1 m n r 2 对数函数的图象与底数大小的比较如图 作直线y 1 则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数 故0 c d 1 a b 由此我们可得到以下规律 在第一象限内从左到右底数逐渐增大 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 换元法 图象平移法 2 数学思想 数形结合思想 分类讨论思想 3 记忆口诀 换底公式的记忆口诀换底公式真神奇 换成新底可任意 原底加底变分母 真数加底变分子 对数函数性质口诀对数函数很简单 图象恒过 1 0 点 a大1时单调增 0 1 之间单调减 图象都在y轴右 第一象限底逆减 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 logax2 2logax 2 函数y log2 x 1 是对数函数 3 函数y ln与y ln 1 x ln 1 x 的定义域相同 4 若logam logan 则m n 解析 1 错误 logax2 2loga x 2 错误 不符合对数函数定义 3 正确 函数y ln的定义域为 1 1 而函数y ln 1 x ln 1 x 的定义域亦为 1 1 4 错误 当a 1时成立 而0 a 1时不成立 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 必修1p68t3 2 改编 的值是 a b 1c 10d 100 解析 选b 2 必修1p75a组t11改编 log29 log34 a b c 2d 4 解析 选d log29 log34 3 真题小试感悟考题试一试 1 2015 哈尔滨模拟 函数y 的定义域为 a 4 1 b 4 1 c 1 1 d 1 1 解析 选c 由题意可知 2 2014 陕西高考 已知4a 2 lgx a 则x 解析 由4a 2得a 又由lgx a得 x 即x 答案 3 2015 唐山模拟 函数f x ln x 1 的单调增区间是 解析 函数f x 的定义域为 1 令t x 1 t 0 因为y lnt在t 0 上为增函数 t x 1在 1 上为增函数 所以函数f x ln x 1 的单调增区间为 1 答案 1 考点1对数的运算 典例1 1 若loga2 m loga3 n 则a2m n 2 计算 lg25 lg2 lg50 lg2 2 log32 log92 log43 log83 解题提示 1 利用对数与指数之间的相互转化求解 2 根据对数的运算性质进行计算 应用换底公式求解 规范解答 1 因为loga2 m loga3 n 所以am 2 an 3 所以a2m n am 2 an 22 3 12 答案 12 一题多解 解答本题 你知道几种解法 解答本题 还有以下解法 loga2 m loga3 n 所以a2m n am 2 an aloga2 2 aloga3 22 3 12 答案 12 2 原式 lg2 2 1 lg5 lg2 lg52 lg2 lg5 1 lg2 2lg5 1 1 lg2 2lg5 2 lg2 lg5 2 答案 2 原式 答案 互动探究 在本例 1 的条件下 求loga36的值 解析 loga36 loga4 loga9 2 loga2 loga3 2 m n 规律方法 对数运算的一般思路 1 首先利用幂的运算把底数或真数进行变形 化成分数指数幂的形式 使幂的底数最简 然后正用对数运算性质化简合并 2 将对数式化为同底数对数的和 差 倍数运算 然后逆用对数的运算性质 转化为同底对数真数的积 商 幂的运算 提醒 在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化 变式训练 1 2014 安徽高考 计算 解析 答案 2 2015 长沙模拟 若3a 2 则2log36 log316 解析 因为3a 2 所以a log32 故2log36 log316 2 log33 log32 log324 2 1 a 4log32 2 2a 4a 2 2a 答案 2 2a 加固训练 1 2014 大连模拟 若2a 5b m 且 2 则实数m的值为 解析 选d 因为2a 5b m 所以a log2m b log5m 所以 logm2 logm5 logm10 2 所以m2 10 又m 0 所以m 2 计算 解析 方法一 原式 答案 方法二 原式 答案 3 计算 解析 原式答案 1 考点2对数函数的图象及应用 典例2 1 2014 山东高考 已知函数y loga x c a c为常数 其中a 0 a 1 的图象如图 则下列结论成立的是 a a 1 c 1b a 1 01d 0 a 1 0 c 1 2 2015 乌鲁木齐模拟 当0 x 时 4x logax 则a的取值范围是 解题提示 1 根据对数函数的性质及函数图象与平移进行判断 2 把不等式恒成立问题转化为函数图象的位置关系 然后画出函数的图象解决 规范解答 1 选d 由图象单调递减的性质可得0 a 1 图象向左平移小于1个单位 故0 c 1 故选d 2 选b 由题意得 当0 a 1时 要使得4x logax 0 x 即当0 x 时 函数y 4x的图象在函数y logax图象的下方 则0 a 1 如图所示 且logaa2 所以a2 从而 a 1 所以实数a的取值范围是 1 易错警示 解答本例题 2 有两点容易出错 1 不能将不等式恒成立转化为两函数图象的位置关系 2 与loga的关系不明确 规律方法 利用对数函数的图象可求解的两类热点问题 1 对一些可通过平移 对称变换作出其图象的对数型函数 在求解其单调性 单调区间 值域 最值 零点时 常利用数形结合思想求解 2 一些对数型方程 不等式问题常转化为相应的函数图象问题 利用数形结合法求解 变式训练 2014 福建高考 若函数y logax a 0 且a 1 的图象如图所示 则下列函数图象正确的是 解题提示 利用图象的变换知识 或利用函数的增减性来排除干扰项 解析 选b 由题得 a 3 因此 a选项函数为y 3 x 在定义域内是减函数 图象不对 b选项函数为y x3 图象正确 c选项函数为y x 3 在定义域内应是减函数 图象不对 d选项y log3 x 应与y log3x的图象关于y轴对称 因此不符 加固训练 1 函数y 的图象大致为 解析 选c 由题意 知 0 即ex e x 0 所以x 0 即函数的定义域是 0 排除选项a b 由于0 1 所以 0 故选c 2 函数f x lnx的图象与函数g x x2 4x 4的图象的交点个数为 a 0b 1c 2d 3 解析 选c 在同一直角坐标系下作出函数f x lnx与g x x2 4x 4 x 2 2的图象 如图所示 由图知f x 与g x 的图象的交点个数为2 故选c 考点3对数函数的性质及其应用知 考情对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一 主要考查比较对数值的大小 解简单的对数不等式 有时考查判断对数型函数的单调性 奇偶性及最值问题 多以选择题或填空题的形式考查 难度低 中 高档都有 明 角度命题角度1 求函数的定义域 典例3 2014 山东高考 函数f x 的定义域为 a 0 2 b 0 2 c 2 d 2 解题提示 本题考查了函数的定义域 对数函数的性质 利用定义域的求法 1 分母不为零 2 被开方数为非负数 3 真数大于0求定义域 解析 选c 由定义域的求法知 解得x 2 故选c 命题角度2 比较对数值的大小 典例4 2014 辽宁高考 已知则 a a b cb a c bc c a bd c b a 解题提示 结合指数函数与对数函数的图象及性质 判断a b c的范围 确定大小 解析 选c 由于指数函数y 2x在r上为增函数 则0a b 命题角度3 解对数不等式 典例5 2015 宁波模拟 设函数f x 若f a f a 则实数a的取值范围是 a 1 0 0 1 b 1 1 c 1 0 1 d 1 0 1 解题提示 由a 0或af a 列出不等式组求解 化简中注意到换底公式的应用 规范解答 选c 由题意可得或解得a 1或 1 a 0 悟 技法1 求对数型函数定义域的策略 列出对应的不等式 组 求解 注意对数函数的底数和真数的取值范围 2 比较对数式大小的类型及相应的方法 1 若底数为同一常数 则可由对数函数的单调性直接进行判断 若底数为同一字母 则需对底数进行分类讨论 2 若底数不同 真数相同 则可以先用换底公式化为同底后 再进行比较 3 若底数与真数都不同 则常借助1 0等中间量进行比较 3 解对数不等式的类型及方法 1 形如logax logab的不等式 借助y logax的单调性求解 如果a的取值不确定 需分a 1与0b的不等式 需先将b化为以a为底的对数式的形式 通 一类1 2013 新课标全国卷 设a log32 b log52 c log23 则 a a c bb b c ac c b ad c a b 解析 选d 方法一 a log32log22 1 又log32 log52 lg3log52 综上c a b 故选d 方法二 因为log22 所以1 所以c a b 2 2015 开封模拟 设函数f x 则满足f x 2的x的取值范围是 a 1 2 b 0 2 c 1 d 0 解析 选d 当x 1时 21 x 2 解得x 0 所以0 x 1 当x 1时 1 log2x 2 解得x 所以x 1 综上可知x 0 3 2015 中山模拟 已知函数f x loga 8 ax a 0 a 1 若f x 1在区间 1 2 上恒成立 则实数a的取值范围为 解析 当a 1时 f x loga 8 ax 在 1 2 上是减函数 由f x 1恒成立 则f x min loga 8 2a 1 解之得1 a 若01恒成立 则f x min loga 8 a 1 故8 2a 0 所以a 4 又因为0 a 1 故不存在 综上可知 实数a的取值范围是 1 答案 1 自我纠错6对数函数的参数求值问题 典例 2015 兰州模拟 已知函数y logax 2 x 4 的最大值比最小值大1 则a的值为 解题过程 错解分析 分析上面解题过程 你知道错在哪里吗 提示 对数函数的底数含有参数a 错在没有讨论a与1的大小关系而直接按a 1解题 规避策略 1 注意分类讨论对数函数的底数决定了对数函数的单调性 对数函数在闭区间上的最值取决于其单调性 如果对数函数的底数含