高三数学总复习 （回顾+突破+巩固+提升作业） 第二节 圆与直线、圆与四边形课件 文.ppt

第二节圆与直线 圆与四边形 1 圆周角定理及其推论 1 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的 2 推论 推论1 同弧或等弧所对的圆周角 在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也 推论2 半圆 或直径 所对的圆周角是 90 的圆周角所对的弧是 一半 一半 相等 相等 直角 半圆 2 圆的切线的判定和性质及弦切角定理 1 切线的判定定理 经过半径的 并且 这条半径的直线是圆的切线 2 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线经过 推论2 经过切点且垂直于切线的直线经过 3 切线长定理 过圆外一点作圆的两条切线 这两条切线长 外端 垂直于 半径 切点 圆心 相等 4 弦切角定理 弦切角等于它所夹弧所对的 弦切角的度数等于它所夹弧的度数的 3 与圆有关的比例线段 1 切割线定理及推论 定理 过圆外一点作圆的一条切线和一条割线 切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的 如图 pt是 o的切线 t是切点 pab是 o的割线 则pt2 圆周角 一半 比例中项 pa pb 推论 过圆外一点作圆的两条割线 在一条割线上从这点到两个交点的线段长的 等于另一条割线上对应线段长的 如图 pab和pcd是 o的两条割线 则pa pb 积 积 pc pd 2 相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积 如图 圆的两条弦ab cd相交于圆内一点p 则pa pb 相等 pc pd 4 圆内接四边形 1 圆内接四边形的性质定理及推论定理 圆内接四边形的对角 推论 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的 2 四点共圆的判定定理及推论定理 如果一个四边形的 那么这个四边形四个顶点共圆 互补 内对角 内对角互补 推论 如果四边形的一个外角等于其 那么这个四边形的四个顶点共圆 3 托勒密定理圆内接四边形的两对边乘积之和等于两条对角线的 内对角 乘积 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 圆心角等于圆周角的2倍 2 相等的圆周角所对的弧也相等 3 任意一个四边形 三角形都有外接圆 4 等腰梯形一定有外接圆 5 弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数 解析 1 错误 若弧不一样 则圆心角与圆周角的关系不确定 2 错误 只有同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧才相等 3 错误 任意一个四边形不一定有外接圆 但任意一个三角形一定有外接圆 4 正确 可以推出等腰梯形的对角互补 所以有外接圆 5 错误 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 所夹的弧的度数等于该弧所对圆心角的度数 所以弦切角所夹弧的度数等于弦切角度数的2倍 答案 1 2 3 4 5 考向1圆周角定理 典例1 2012 江苏高考 如图 ab是圆o的直径 d e为圆上位于ab异侧的两点 连接bd并延长至点c 使bd dc 连接ac ae de 求证 e c 思路点拨 可以连接ad 先证 b c 利用圆周角定理再证 e c即可 也可以连接od 利用od ac 证 c odb b 再证 e c 规范解答 方法一 连接ad ab是圆o的直径 adb 90 ad bd 又 bd dc ad是线段bc的中垂线 ab ac b c 又 e和 b为同弧所对的圆周角 b e e c 方法二 连接od 因为bd dc o为ab的中点 所以od ac 于是 odb c 因为ob od 所以 odb b 于是 c b 又因为 e和 b为同弧所对的圆周角 故 e b 所以 e c 拓展提升 圆周角定理常用的三种转化 1 圆周角与圆周角之间的转化 2 圆周角与圆心角之间的转化 3 弧的度数与圆心角和圆周角之间的转化 变式训练 2013 遵义模拟 如图 a e是半圆周上的两个三等分点 直径bc 4 ad bc 垂足为d be与ad相交于点f 求af的长 解析 连接ce ao ab 根据a e是半圆周上的两个三等分点 bc为直径 可得 ceb 90 cbe 30 aob 60 故三角形aob为等边三角形 od bd 1 f是 abo的重心 考向2圆的切线的性质与判定 弦切角定理 典例2 2013 大连模拟 如图所示 直线ab经过 o上的点c 并且oa ob ca cb o交直线ob于e d 连接ec cd 1 求证 直线ab是 o的切线 2 若 o的半径为3 求oa的长 思路点拨 1 连接oc 证oc ab 2 首先判断 bcd bec 再由可得最后根据bc2 bd be列方程求解 规范解答 1 连接oc oa ob ca cb oc ab 又 oc是 o的半径 ab是 o的切线 2 ab是 o的切线 bcd e 又 cbd ebc bcd bec 设bd x 则bc 2x bc2 bd be 2x 2 x x 6 解得x 2 或x 0 舍去 bd 2 oa ob bd od 2 3 5 互动探究 若把本例 2 中的 改为 ced 30 o的半径为3 改为 bc 1 求 o的半径 解析 ab是 o的切线 bcd e 又 cbd ebc bcd bec 拓展提升 证明直线是圆的切线的常用方法 1 若已知直线与圆有公共点 则需证明圆心与公共点的连线垂直于已知直线即可 2 若已知直线与圆没有明确的公共点 则需证明圆心到直线的距离等于圆的半径 变式备选 已知 abc中 ab ac d是 abc外接圆劣弧ac上的点 不与点a c重合 延长bd至e 1 求证 ad的延长线平分 cde 2 若 bac 30 abc中bc边上的高为求 abc外接圆的面积 解析 1 如图 设f为ad延长线上一点 a b c d四点共圆 cdf abc 又ab ac abc acb 且 adb acb adb cdf 对顶角 edf adb 故 edf cdf 即ad的延长线平分 cde 2 设o为外接圆圆心 连接ao并延长交bc于h 则ah bc 连接oc 由题意 oac oca 15 acb 75 och 60 设圆半径为r 则解得r 2 故 abc外接圆的面积为4 考向3与圆有关的比例线段 典例3 o的割线pab交 o于a b两点 割线pcd经过圆心o pe是 o的切线 已知pa 6 po 12 求pe及 o的半径r 思路点拨 由切割线定理 可求出pe的长 再利用切割线定理的推论求出 o的半径 规范解答 由切割线定理 得pe2 pa pb pa pa ab 又 pc pd pa pb 即 12 r 12 r 144 r2 80 r2 64 r 8 拓展提升 与圆有关的比例线段解题思路 1 见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理 2 见到圆的两条割线就要想到割线定理 3 见到圆的切线和割线就要想到切割线定理 变式训练 如图 已知 o和 o1内切于点a o的弦ap交 o1于点b pc切 o1于点c 且求 o1和 o的半径之比 解析 如图 连接op oa o1b opa和 o1ba是相似的等腰三角形 apo abo1 o1b op 由切割线定理 得pc2 pb pa pa ab pa pa2 pa ab 两端同除以pa2得 考向4四点共圆的判定及应用 典例4 2013 郑州模拟 如图所示 锐角三角形abc的内心为i 过点a作直线bi的垂线 垂足为h 点e为内切圆i与边ca的切点 1 求证 四点a i h e共圆 2 若 c 50 求 ieh的度数 思路点拨 1 由 aei ahi 90 可证四点共圆 2 由内心为i 可得 hia与 abi bai的关系 进而得到 hia与 c的关系 再由 ieh hai即可求解 规范解答 1 由圆i与边ac相切于点e 得ie ae 结合ih ah 得 aei ahi 90 所以 四点a i h e共圆 2 由 1 知四点a i h e共圆 得 ieh hai hia abi bai 结合ih ah 得 hai 90 hia 所以 ieh 25 拓展提升 圆内接四边形的重要结论 1 内接于圆的平行四边形是矩形 2 内接于圆的菱形是正方形 3 内接于圆的梯形是等腰梯形 变式训练 2013 武陵模拟 如图 在 abc中 acb为钝角 点e h是边ab上的点 点k和m分别是边ac和bc上的点 且ah ac eb bc ae ak bh bm 1 求证 e h k m四点共圆 2 若ke eh ce 3 求线段km的长 解析 1 连接ch ac ah ak ae 四边形chek为等腰梯形 aek ahc