2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用学案苏教版.docx

1.4导数在实际生活中的应用学 习 目 标核 心 素 养1.能应用导数解决实际问题(重点)2审清题意，正确建立函数关系式(难点)3忽视变量的实际意义，忽略函数定义域(易错点)1.通过分析实际生活问题，建立数学模型，培养数学建模素养2通过利用导数解决问题，提升数学运算素养.1导数的实际应用导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决2用导数解决实际生活问题的基本思路思考：解决生活中优化问题应注意什么？提示(1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等1已知某生产厂家的年利润y(单位： 万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A7万件B9万件C11万件D13万件B设yf(x)，即f(x)x381x234.故f(x)x281.令f(x)0，即x2810，解得x9或x9(舍去)当0x9时，f(x)0，函数yf(x)单调递增；当x9时，f(x)0，函数yf(x)单调递减因此，当x9时，yf(x)取最大值故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件2做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为_m.4设底面边长为x m，高为h m，则有x2h256，所以h.所用材料的面积设为S m2，则有S4xhx24xx2x2.S2x，令S0，得x8，因此h4(m)3某件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200x)件，当每件商品的定价为_元时，利润最大115利润为S(x)(x30)(200x)x2230x6 000，S(x)2x230，由S(x)0，得x115，这时利润达到最大面积、体积的最值问题【例1】请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm)(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值思路探究弄清题意，根据“侧面积4底面边长高”和“体积底面边长的平方高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值解设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.由已知得ax，h(30x)，0x30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800，所以当x15时，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)(0x30)，V6x(20x)由V0，得x0(舍去)或x20.当x(0,20)时，V0；当x(20,30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时，即包装盒的高与底面边长的比值为.1解决面积、体积最值问题的思路要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值2解决导数在实际应用时应注意的问题(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f(x)0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较1将一张26 m 的矩形钢板按如图所示划线，要求至全为矩形，且其中与，与分别是全等的矩形，且，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以为底，为盖的水箱，设水箱的高为x m，容积为y m3.(1)写出y关于x的函数关系式；(2)x取何值时，水箱的容积最大解(1)由水箱的高为x m，得水箱底面的宽为(22x) m，长为(3x) m.故水箱的容积为y2x38x26x(0x1)(2)由y6x216x60，解得x(舍去)或x.因为y2x38x26x(0x1)在内单调递增，在内单调递减，所以当x的值为时，水箱的容积最大用料最省、成本(费用)最低问题【例2】位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最短思路探究可设CDx，则CE3x，利用勾股定理得出AC，BC的长，从而构造出所需电线总长度的函数解设CDx km，则CE(3x)km.则所需电线总长lACBC(0x3)，从而l.令l0，即0，解得x1.2或x6(舍去)因为在0,3上使l0的点只有x1.2，所以根据实际意义，知x1.2就是我们所求的最小值点，即变压器设在DE之间离点D的距离为1.2 km处时，所需电线总长最短1用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答2利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值2甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是Pv4v315v.(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值解(1)QP400v26 000(0v100)(2)Q5v，令Q0，则v0(舍去)或v80.当0v80时，Q0；当800，v80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q最小值Q(80)(元)利润最大、效率最高问题探究问题1在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值2你能列举几个有关利润的等量关系吗？提示：(1)利润收入成本(2)利润每件产品的利润销售件数【例3】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大思路探究(1)根据x5时，y11求a的值(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值解(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6，从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值42由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润收入成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值解此类问题需注意两点：价格要大于或等于成本，否则就会亏本；销量要大于0，否则不会获利3某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1x12)满足：当1x4时，ya(x3)2(a，b为常数)；当4x12时，y100.已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润f(x)最大(2.65)解(1)由题意：x2时y800，ab800，又x3时y150，b300，可得a500.y(2)由题意：f(x)y(x1)当1x4时，f(x)500(x3)2(x1)300500x33 500x27 500x4 200，f(x)500(3x5)(x3)，由f(x)0，得1x或3x4.f(x)在，(3,4)上递增，在上递减，f450f(4)1 800，当x4时f(x)有最大值，f(4)1 800.当4x12时，f(x)(x1)2 900100x2 9004001 840，当且仅当100x，即x25.3时取等号，x5.3时f(x)有最大值1 840，1 8001 840，当x5.3时f(x)有最大值1 840，即当销售价格为5.3元/千克时，使店铺所获利润最大1在解决实际问题的数学建模过程中，一定要认真读题、审题，分析各个量之间的关系，恰当设出变量2在解决问题的过程中一定要注意自变量的实际意义及范围.1某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)x2(0x0，此时V(x)单调递增；当40x60时，V(x)0，此时V(x)单调递减，所以V(40)是V(x)的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为40.2把一段长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()A cm2B4 cm2C3 cm2D2 cm2D设一段长为x，则另一段长为12x(0x12)，则S(x)22，所以S(x).令S(x)0，得x6，当x(0,6)时，S(x)0.所以当x6时，S(x)最小所以S(x)minS(6)2 cm2.3某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y117x2(x0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产_千台6设利润为y，则yy1y217x2(2x3x2)2x318x2(x0)，y6x236x6x(x6)令y0，解得x0或x6，经检验知x6既是函数的极大值点又是函数的最大值点4某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0x30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解(1)若商品降价x元，则多卖的商品数为kx2件，由题意知24k22，得k6.若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有f(x