第4章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例.DOC

20092013年高考真题备选题库第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例考点一 平面向量的数量积1（2013湖南，5分）已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是()A1，1B1，2C1，1 D1，2解析：本小题主要考查单位向量和向量的模的概念、向量垂直的条件，考查转化化归、数形结合、特殊与一般等数学思想由a，b为单位向量且ab0，可设a(1,0)，b(0,1)，又设c(x，y)，代入|cab|1得(x1)2(y1)21，又|c|，故由几何性质得 1|c| 1，即1|c|1.答案：A2（2013湖北，5分）已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A. B.C D解析：本题考查向量的坐标运算及向量投影的概念，意在考查考生对基础知识的掌握情况(2,1)，(5,5)，向量(2,1)在(5,5)上的投影为|cos，|，故选A.答案：A3（2013新课标全国，5分）已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc0，则t_.解析：本题考查平面向量的数量积运算，意在考查考生的运算求解能力根据数量积bc0，把已知两向量的夹角转化到两向量数量积的运算中因为向量a，b为单位向量，所以b21，又向量a，b的夹角为60，所以ab，由bc0得bta(1t)b0，即tab(1t)b20，所以t(1t)0，所以t2.答案：24（2013浙江，4分）设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于_解析：本题考查向量的概念、运算、函数的最值等知识，考查转化与化归能力、函数与方程思想以及灵活利用知识分析问题、解决问题的能力当x0时，0，当x0时，24，所以的最大值是2，当且仅当时取到最大值答案：25（2013天津，5分）在平行四边形ABCD中， AD1，BAD60，E为CD的中点若1, 则AB的长为_解析：本题考查平面向量的运算，意在考查考生的运算求解能力设|x，x0，则x.又()()1x2x1，解得x，即AB的长为.答案：6（2013江西，5分）设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若ae13e2，b2e1，则向量a在b方向上的射影为_解析：本题考查向量的数量积、向量的射影及模长公式，意在考查考生的运算能力依题意得|e1|e2|1且e1e2，ab(e13e2)2e12e6e1e2265，|b|2，所以向量a在b方向上的射影为|a|cosa，b.答案：7（2012辽宁，5分）已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下面结论正确的是()AabBabC|a|b| Dabab解析：由|ab|ab|，两边平方并化简得ab0，又a，b都是非零向量，所以ab.答案：B8（2012湖南，5分）在ABC中，AB2，AC3，1，则BC()A. B.C2 D.解析：设角A，B，C的对边分别为a，b，c.1，即accos B1.在ABC中，再根据余弦定理b2a2c22accos B，及ABc2，ACb3，可得a23，即BC.答案：A9（2011广东，5分）若向量a，b，c满足ab且ac，则c(a2b)()A4 B3C2 D0解析：由ab及ac，得bc，则c(a2b)ca2cb0.答案：D10（2011辽宁，5分）若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.1 B1C. D2解析：由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a21，b21，c21，由ab0，及(ac)(bc)0，可以知道，(ab)cc21，因为|abc|2a2b2c22ab2ac2bc，所以有|abc|232(acbc)1，故|abc|1.答案：B11（2010辽宁，5分）平面上O，A，B三点不共线，设a，b，则OAB的面积等于()A.B.C.D.解析：因为cosa，b，所以sinAOBsina，b ，则SAOB|a|b|sinAOB.答案：C12（2010湖南，5分）在RtABC中，C90，AC4，则等于()A16 B8C8 D16解析：法一：因为cosA，故|cosAAC216.法二：在上的投影为|cosA|，故|cosAAC216.答案：D13(2009福建，5分)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，ac，|a|c|，则|bc|的值一定等于()A以a，b为两边的三角形的面积B以b，c为两边的三角形的面积C以a，b为邻边的平行四边形的面积D以b，c为邻边的平行四边形的面积解析：|bc|b|c|cos|，如图，ac，|bcos|就是以a、b为邻边的平行四边形的高，而|a|c|，|bc|a|(|b|cos|)，|bc|表示以a、b为邻边的平行四边形的面积答案：C14（2012新课标全国，5分）已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.解析：依题意，可知|2ab|24|a|24ab|b|244|a|b|cos 45|b|242|b|b|210，即|b|22|b|60，|b|3(负值舍去)答案：315（2012安徽，5分）若平面向量a，b满足|2ab|3，则ab的最小值是_解析：由|2ab|3可知，4a2b24ab9，所以4a2b294ab，而4a2b2|2a|2|b|22|2a|b|4ab，所以ab，当且仅当2ab时取等号答案：16. （2012江苏，5分）如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_解析：以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)设F(x,2)(0x)，由xx1，所以F(1,2)，(，1)(1，2).答案：考点二 平面向量的应用1.（2013湖南，5分）在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)若光线QR经过ABC的重心，则AP等于()A2B1C. D.解析：本小题主要考查对称性和解析法，考查转化化归、数形结合等数学思想以AB、AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得ABC的重心D，设APx，从而P(x,0)，x(0,4)，由光的几何性质可知点P关于直线BC、AC的对称点P1(4,4x)、P2(x,0)与ABC的重心D共线，所以，求得x.答案：D2（2013辽宁，12分）设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值解：本题考查向量与三角函数的综合应用，侧重考查三角函数的性质(1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1.又x，从而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin，当x时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.3（2011山东，5分）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (R)， (R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是()AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上DC，D不可能同时在线段AB的延长线上解析：不妨设A(0,0)，B(1,0)，C(c,0)，D(d,0)，根据已知得(c,0)(0,0)(1,0)(0,0)，即(c,0)(1,0)，从而得c；(d,0)(0,0)(1,0)(0,0)，即(d,0)(1,0), 得d.根据2，得2.线段AB的方程是y0，x0,1若C是线段AB的中点，则c，代入2，得0，此等式不可能成立，故选项A的说法不正确；同理选项B的说法也不正确；若C，D同时在线段AB上，则0c1,01，d1，则2，与2矛盾，若c0，d1，d0，则1，0，此时0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线yx2上运动，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足，求点P的轨迹方程解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则