高三数学第一轮复习讲义15解三角形.docx

17-070-2018届高三第一轮复习讲义【15】-解三角形一、知识梳理：1、三角形面积公式以的顶点为坐标原点，边所在的直线为轴，建立直角坐标系，过作轴的垂线，垂足为，则，即：；同理：；这就是说：三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的积的一半。2、正弦定理将中等号分开的式子都除以得：，即有：。正弦定理中比值的几何意义：如图，设是ABC的外接圆的圆心，连并延长交圆于，连，为直径，那么。所以有：，即正弦定理为：其中为ABC外接圆的直径。3、余弦定理以的顶点为坐标原点，边所在的直线为轴，建立直角坐标系，过作轴的垂线，垂足为，则，根据两点间距离公式：，化简得：。同理可得：， 。也就是说：三角形的一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦值乘积的两倍。这个结论称为余弦定理。余弦定理还可以表示为：，。余弦定理可以看作为是直角三角形中勾股定理的推广：若是锐角，则；若A是钝角，则正弦定理与余弦定理揭示了三角形的六个元素之间的关系。结合三角形内角和定理，我们就可以解决一些三角形中有关边和角的计算问题。 4、由引发的诱导公式(1) ; ; ;(2) ; .二、基础检测：1. 在中, 已知, , , 则最大角的余弦值为_.2. 在中, 已知, , , 则_.3. 在中, 已知, , , 则的面积为_.4. 在中, 若, 则_.5. 在中, 若, , , 则的面积为_.6. 在中, 若, 则的形状为答 A . 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 无法判断三、例题精讲：例1、在三角形ABC中，求和。解：，由正弦定理，得，。例2、在三角形ABC中，根据下列条件，求解此三角形：（1）；（2）；（3）； （4）。解：（1）由正弦定理，所以或（舍去），则，所以。所以。（2），所以此三角形不存在；（3），所以此三角形不存在；（4），所以或。当时，；当时，。综上知：，或，。说明：由上述几个问题可以看出：已知三角形的两边与其中一边的对角解三角形可能出现三种情况：（1）只有一解；（2）有两解；（3）无解。如何进行解的情况判断？在ABC中，有。例3、ABC中，根据的取值范围，讨论此三角形是否有解？可能有几解。解：。（1）当，即时，此时三角形无解；（2）当，即时，此时三角形有一解；（3）当，即时，因为：若，则，所以，此时三角形有一解；若，则，所以，此时三角形有两解。综上知：，三角形无解；或，三角形有一解；，三角形有两解。方法二：数形结合，作图：由图可以看出：，三角形无解；或，三角形有一解；，三角形有两解。例4、在ABC中，若，试判断ABC的形状。解：由已知及正弦定理：，因为在ABC中，所以，由是三角形的内角，所以或。即或。所以ABC是等腰三角形或是直角三角形。例5、在中，已知，求、及的面积。解： ，所以。又，所以，则。例6、已知是钝角三角形， 为钝角，且，求的取值范围。解：因为为钝角，所以是最大边，且，根据三角形任意两边之和大于第三边，有：解得：。例7、在ABC中，求证：。证法一：利用正弦定理与余弦定理： 。所以等式成立。证法二：由正弦定理：，则 。所以等式成立。例8、在ABC中，已知，且，试判断的形状。解：等边三角形。例9、在ABC中，且，求及的大小。解：，。例10、在ABC中，三边满足：且，求的大小与的值。解：由余弦定理：，所以。则。由正弦定理：，所以，则，所以。另一方面：考虑到，将化成：，可求得：，由正弦定理，因为，所以，则为锐角，则。例11、在ABC中，分别为内角的对边，且满足：。（1）求的大小；（2）若，试判断ABC的形状。解：（1）由已知，根据正弦定理得：，即，由余弦定理得，故。（2）由（1）得。又，得，因为，故。所以ABC是等腰的钝角三角形。例12、将一块圆心角为，半径为的扇形铁皮裁成一个矩形（如图），求裁得的矩形的最大面积。解：如图：连接OP，设，则，所以。因为，所以当，即时，。答：当为中点时，截得的矩形面积最大，最大面积为。例13、某船在海面处测得灯塔在北偏东方向与相距海里，测得灯塔在北偏西方向与相距海里。船由A向正北航行到D处，测得灯塔B在南偏西方向。求：（1）灯塔C与D之间的距离；（2）C在D的什么方向。解：如图：在ABD中，由正弦定理：。在ADC中，由余弦定理得：。所以。由，所以。即：与D相距海里，且灯塔C在D南偏东方向。四、难题突破：例1、如图, 某公司要在A, B两地连线上的定点C处建造广告牌, 其中D为顶端, AC长35米, CB长80米. 设点A, B在同一水平面上, 从A和B看D的仰角分别为和.(1) 设计中CD是铅垂方向. 若要求, 问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)?(2) 施工完成后, CD与铅垂方向有偏差. 现在实测得, , 求CD的长(结果精确到0.01米).(1)解: 由题意有, 此时,设, 则,故, 解得,因此CD的长至多为28.28米.(2)解: 由,在中, 由正弦定理, ,在中, 由余弦定理, 即,此时CD长约为26.93米.例2：海岛O上有一座海拔高的山，山顶上设有一个观测站A。上午11时测得一轮船在岛北偏东的C处，俯角为，11时10分又测得该船在岛的北偏西的B处，俯角为。（1）该船的速度为每小时多少千米？（2）若此船以不变的船速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？此时所在点E离开岛多少千米？答案：（1）；（2）5分钟，；五、课堂练习：1. 在中, 若, , 则的面积为_.2. 在中, 若, , 的面积为, 则_.3. 在中, 若, 且, 则的面积为_.4. 在中, 如果a, b, c成等差数列, 且, 的面积为, 则_.5. 在中, 已知, 则的形状是答 A . 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 无法判断6. 如图所示, 已知D,C,B三点在地面同一直线上, , 从C, D两点测得A点的仰角分别为, 则点A离地面的高答 A. B. C. D. 7. 在中, 内角所对三边分别为. 已知, , .(1) 求c的值;(2) 求的值.8. 如图所示, 在中, 已知, D是BC上的一点, , , , 求AB的长.9. 在中, 内角所对三边分别为, 且.(1) 求A的大小;(2) 若, 试判断的形状.10. 如图, 某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形AOB. 小区的两个出入口设置在点A及点C处, 且小区里有一条平行于BO的小路CD. 已知某人从C沿CD走到D用了10分钟, 从D沿DA走到用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米, 求该扇形的半径OA的长(精确到1米). 11. 如图所示, 某班设计了一个八边形的班徽, 它由腰长为1, 顶角为的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成, 则该八边形的面积为 答 A. B. C. D. 12. 在中, 已知, 求此三角形最大角的大小.六、回顾总结：1.主要方法:正确区分两个定理的不同作用，围绕三角形面积公式及三角形外接圆直径展开三角形问题的求解；两个定理可以实现将“边、角混合”的等式转化成“边或角的单一”等式；余弦定理中，涉及到四个量，利用方程思想，知道其中的任意三个量可求出第四个量；余弦定理还有很多地方的应用，如立体几何中求球面距离.2.易错、易漏点:三角形的内角和定理检验增根；特别注意一些有关的术语，如坡度、仰角、俯角、方位角. 其中以特定基准方向为起点(一般为北方)，依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，两者所夹的角度称之为方位角，方位角的取值范围是.七、课后练习：1.在中,已知,则= 2.设的三个内角所对的边长依次为，若的面积为，且，则 3已知的外接圆半径为5，则此三角形 （ ）有一解 .有两解 无解 不能确定 4.在中，已知=8,=5，则 （保留两位小数）5.已知三角形的三边之比为，则三角形的最大内角为 6.在中，角所对的边分别是，若，,则 = 7.在中，面积，由= 8.在中，则边上的中线长为 9.在中，则 10.在中， 11.在中三内角所对边为若，且，则 12.在中，若，则 13.是三边长，若满足等式，则角的大小为 14.已知圆内接四边形的边长分别是，求四边形的面积15.在中，所对的边分别为，设满足条件和，求和的值16.，是的平分线 （1）用正弦定理证明：；（2）若求的长.【思考题】1在中，求证：2在中，内角所对的边长分别是.（1）若，且的面积，求的值；（2）若，试判断的形状3设的内角所对的边长分别为，且，求角 的取值范围.4某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时.轮船位