初中圆的基础复习.doc

1 1 理解圆的有关概念 了解弧 弦 圆心角的关系 了解圆周角与圆心角 的 2 关系 直径所对圆周角的特征 2 探索圆的性质 理解并会运用垂径定理及其推论 3 探索并了解点和圆 直线和圆 圆和圆的位置关系 了解切线的概念 探 索切线与过切点的半径之间的关系 能判定一条直线是否为圆的切线 4 会计算弧长弧长及扇形的面积 会计算圆锥的侧面积和全面积 A 层次要求 基本要求 1 理解圆及其有关概念 2 知道圆的对称性 了解弧 弦 圆心角的关系 3 了解圆周角与圆心角的关系 了解直径所对的圆周角是直角 4 会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论 5 会计算扇形面积 6 会计算弧长 7 会求圆锥的侧面积和全面积 8 了解点与圆的位置关系 9 了解直线与圆的位置关系 了解切线的概念 理解切线与过切点的半径 之 间关系 会过圆上一点画圆的切线 了解切线长的概念 10 了解圆与圆的位置关系 B 层次要求 略高要求 1 会过不在同一直线上的三点作圆 能利用圆的有关概念解决简单问题 2 能用弧 弦 圆心角的关系解决简单问题 3 会求圆周角的度数 能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题 4 能用垂径定理解决有关问题 5 能利用扇形面积解决有关问题 3 6 能利用弧长解决有关问题 7 能解决与圆锥有关的简单实际问题 8 能判定直线和圆的位置关系 能根据切线长的知识解决简单的问题 能 利 用直线和圆的位置关系解决简单问题 9 能利用圆与圆的位置关系解决简单问题 C 层次要求 较高要求 1 能运用圆的性质解决有关问题 2 能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题 3 能解决与切线有关的问题 1 1 圆的有关概念圆的有关概念 1 圆 在一个平面内 线段绕固定的一个端点旋转一周 另一个端点 A 所形成的OAO 图形叫做圆 固定的端点叫做圆心 线段叫做半径 OOA 2 弦 连结圆上任意两点的线段叫做弦 3 直径 经过圆心的弦是直径 4 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 5 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 6 圆周角 顶点在圆上 并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 2 2 圆有关的性质 圆有关的性质 1 圆的对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在直线都是它的对称轴 圆也是中心 对称图形 对称中心是圆心 2 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 3 弧 弦 圆心角之间的关系 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弦也相等 4 同圆或等圆中 两个圆心角 两条弧 两条弦中有一组量相等 它们所对应的其余各 组 量也相等 4 圆周角定理 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于这条弧所对的 圆心角的一半 推论 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 的圆周角所对的弦是直径 90 3 3 与圆有关的位置关系 与圆有关的位置关系 1 点和圆的位置关系 设圆的半径为 点到圆心的距离 则有 OrPdOP 点在圆外 dr 点在圆上 dr 点在圆内 dr 2 直线和圆的位置关系 直线和圆的三种位置关系 l O d r l O d r l O d r 1 2 3 如图 1 直线和圆有两个公共点 我们说这条直线和圆相交 这条直线叫做圆的割 线 直线和圆相交 dr 如图 2 直线和圆有一个公共点 我们说这条直线和圆相切 这条直线叫做圆的切 线 这个点叫做切点 直线和圆相切 dr 如图 3 直线和圆没有公共点 我们说这条直线和圆相离 直线和圆相离 dr 切线的判定和性质 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 切线长的概念及切线长定理 切线长 经过圆外一点作圆的切线 这点和切点之间的线段的长 叫做这点到圆的切线 长 5 切线长定理 从圆外可以引圆的两条切线 它们的切线长相等 这一点和圆心的连线平 分两条切线的夹角 3 圆和圆的位置关系 设两圆的半径分别为 圆心距 两圆圆心的距离 为 则 1 r 2 r 21 rr d 两圆外离 21 drr 两圆内含 21 rrd 两圆相交 2121 rrdrr 两圆内切 21 rrd 两圆外切 21 rrd 4 4 圆与多边形 圆与多边形 1 三角形的外接圆与内切圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点可以作一个圆 这个圆叫做三角形的外接圆 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点 三角形的内切圆 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆 内切圆的圆心是三 角形三条角平分线的交点 2 圆与多边形 经过多边形各个顶点的圆叫做多边形的外接圆 这个多边形叫做圆的内接多边形 和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆 这个多边形叫做圆的外切多边形 圆的内接四边形的对角互补 一个内角的外角等于它的内对角 3 圆和正多边形 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 外接圆的半径叫做正多边形的半 径 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 中心到正多边形的一边的距离 叫做正多边形的边心距 5 5 与圆有关的计算 与圆有关的计算 1 弧长的计算 6 在半径为的圆中 的圆心角所对的弧长为R n 180 Rn l 2 扇形 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形 扇形的周长 lRC 2 扇形的面积 360 2 Rn S 扇形 lRS 2 1 扇形 其中为半径 为扇形的弧长 为扇形圆心角的度数值 Rln 3 圆锥 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线 圆锥的侧面展开图是一个扇形 圆锥的母线扇形半径 圆锥底面圆周长 lR 扇形弧长 2 r 圆锥的侧面积 其中 为圆锥母线长 为底面半径 2 2 1 lS rlrlr 圆锥的全面积 侧底全 SSS 2 rlr 一 对圆心角 圆周角的考查 一 对圆心角 圆周角的考查 例 1 08 海淀一模 已知 如图 圆心角 则圆周角的度数为 100BOC BAC 130A 100B 80C 50D 讲解 讲解 本题考查同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系 让学生自己总 结相关的性质 熟练掌握基础知识 解析 解析 D 例 2 09 四川遂宁 如图 已知 的两条弦 相交于点 OACBDE 70A 那么的值为 50CAEB sin 2 1 A 3 3 B 2 2 C 2 3 D O C B A 7 A B C D O 讲解 讲解 想要求就应先求出的度数 根据已知条件 如果知道AEB sinAEB 则利用三角形内角和即可求出的度数 利用同弧所对的圆周B AEB 角相等得知 因此 50CB 605070180AEB 2 3 60sin 解析 解析 D 例 3 09 天津 如图 内接于 若 则的大小为 ABC O 28OAB C 28 AB 56 C 60 D 62 讲解 讲解 连接 所以为等腰三角形 那么 可知OBAOB OABOBA 在利用同弧所对的圆心角 124180OBAOABAOB 是圆周角的 2 倍得 提示学生在有两条半径时124262C 会构成以圆心为顶点的等腰三角形 解析 解析 D 例 4 09 四川成都 如图 ABC 内接于 O AB BC ABC 120 AD 为 O 的直径 AD 6 那么 BD 讲解 讲解 根据已知条件可求出 弧所对的圆周角 30CABCD 本题还考察了直径所对的圆周角为直角 最后在利用在直角三角形 中 所对的边为斜边的一半求出 最后用勾股定理求出 BD 30AB 在三角形中利用锐角三角函数值求 BD 长也可以 但是有一ABD 些同学不习惯应用三角函数求边长 解析 解析 33 二 对圆的对称性的考查 二 对圆的对称性的考查 例 5 08 丰台一模 如图 半径为 5 的圆中 如果弦的长为 8 那么圆心 OAB 到的距离 即的长等于 OABOC 讲解 讲解 考察对垂径定理的运用 利用半径和弦长求弦心距 连接 在三角OB AB O C C C A B O 8 形中利用勾股定理求出的长 OBCOC 解析 解析 3 例 6 08 石景山一模 如图 O 的半径为 2 弦 AB E 为弧 AB 的中点 2 3 OE 交 AB 于点 F 则 OF 的长为 1 2 A 3B 1 C 2D 讲解 讲解 考察对垂径定理及其推论的运用 点 E 为弧 AB 的中点 则半径 OE 垂直平 分弦 AB 在中求出 OF 1 3 2 1 ABAFAFO 解析 解析 1 例 7 09 北京 如图 为圆的直径 弦 为弧上一点 若ABOABCD EBC 则 28CEA ABD 讲解 讲解 考察对垂径定理的掌握以及等弧所对的圆周角相等 因为直径 CDAB 所以点为弧的中点 ACD 解析 解析 28 例 8 朝阳一模 已知等腰三角形内接于半径为的中 如果底边的长为ABC5O BC 那么底角的正切值是 8 讲解 讲解 利用垂径定理可以求出弦的弦心距 再结合图像在直角三角形中求锐角三角函BC 数值 由于题目没有图形 本题易错的一点是漏掉一个答案 所以要提醒学生 针对这样没有给出图形的几何问题要自己画图 并且考虑周到 解析 解析 或2 1 2 三 对点和圆 直线和圆以及圆和圆的位置关系的考查 三 对点和圆 直线和圆以及圆和圆的位置关系的考查 例 9 08 宣武一模 的半径cm 圆心到直线 的距离cm 在直线O10r l8OM 上l 有一点且cm 则点 P6PM P 在 内 在 上 AO BO F E B O A 9 在 外 可能在 内也可能在 外 CO DOO 讲解 讲解 考察点和圆的位置关系的运用 判断点的位置就要知道点到圆心的距离 根据题意 自己画出图像可求出点到圆心的距离为 6 因此点在圆上 PPO 解析 解析 B 例 10 08 朝阳二模 如图 从点 P 向 O 引两条切线 PA PB 切点为 A B BC 为 O 的直径 若 P 60 PA 3 则 O 的直径 BC 的长为 3 A 3 3 B C 2 3D 3 讲解 讲解 考察切线长定理 连接 则 OP 30APB 2 1 OPB3PBPA 又因为 所以在中可以求出半径 则直 90PBOOPBR t3OB 径32 BC 解析 解析 C 例 11 09 湖北荆门 如图 Rt ABC 中 C 90 AC 6 BC 8 则 ABC 的内切圆半 径 r 讲解 讲解 考察对三角形内切圆的运用和切线长定理 连接三个过切点的半 径 再根据切线长定理列等式 求出直角三角形内切圆的半径 最后可整理出直角三角形内切圆的半径的公式 2 cba r 其中为两条直角边长 为斜边长 ba c 解析 解析 C 例 12 09 四川泸州 已知 O1与 O2的半径分别为 5cm 和 3cm 圆心距 0201 7cm 则 两圆的位置关系为 外离 外切 相交 内切 A B C D 讲解 讲解 考察圆和圆的位置关系 让学生总结圆与圆的五种位置关系 解析 解析 C 例 13 08 石景山二模 如图 Rt ABC 中 C 90 B 的平分线交 AC 于 10 A C BD E E DE BE 试说明 AC 是 BED 外接圆的切线 若 CE 1 BC 2 求 ABC 内切圆的面积 讲解 讲解 本题考查了证明切线的方法和圆与相似相结合的问题 问 题 1 考查如何证明一条直线为圆的切线 这道题没有 给出圆心位置 因此根据 DE BE 可取直径 BD 的中点 O 即为圆心 再连接 OE 去证明 OE AC 问题 2 求直角 三角形内切圆面积就要从内切圆半径入手 直角三角形内切圆半径可以推导出公式 其中为两条直角边长 为斜边长 因此对于这道题开讲求 2 cba r ba c 三边长度是关键一点 根据题意 B 的平分线交 AC 于 E 结合相似解题 利用相似 和已知的两个边长求出未知的边的长度 解析 解析 1 取 BD 的中点 O 联结 OE OE OB OBE OEB 又 0BE CBE CBE OEB BC OE OEA C 90 AC OE AC 是 BED 外接圆的切线 2 Rt BCE 中 BE 22 BCCE 5 OBE OEB C BED 90 BCE BED 2 1 BC CE BE DE DE BD OE OB OD 2 5 2 1 BE 2 5 22 DEBE 5 4 BC OE 5 8 AEAOOE ACABBE AE AO 5 3 25 12 ABC 的内切圆半径为 r BC AC AB 1 2 4 3 ABC 的内切圆面积为 16 9 A C BOD E 11 例 14 08 昌平一模 如图 AB 是 O 的直径 AC 是弦 点 D 是弧的中点 BC DPAC 垂足为点 P 1 求证 PD 是 O 的切线 2 若 AC 6 cosA 求 PD 的长 3 5 讲解 讲解 本题考查了证明切线的问题以及与锐角三角函数相结合的综合 运用 问题 1 证明切线 首先连接过切点的半径 题中已知 点 D 是弧的中点 则需要利用等弧所对的圆心角相等来继续BC 证明 接下来还会利用到三角形外角的性质 最终证明出结论 问题 2 连接构造直角三角形 根据已知的的长运用给出的三角函数值BCAC 可求出 之后将根据有三个角为直角的四边形为矩形证明四边形BCAB 为矩形 所以等于 并且垂直平分此时 最终求出的PDECPDCEODBCPD 长 解析 解析 1 证明 如图 连接 OD AD D 为弧 BC 的中点 弧 CD 弧 BD 1 12 2 PAB 1 2 2 BOD PABBOD PA DO DP AP P 90 ODP P 90 即 OD PD 点 D 在 O 上 D B O C A P 1 2 P A C O B D E 12 PD 是 O 的切线 2 连结 CB 交 OD 于点 E AB 为 O 直径 ACB ECP 90 ODP P 90 四边形 PCED 为矩形 PD CE CED 90 OD CB EB CE 在 Rt ABC 中 ACB 90 cosA AB AC AC 6 cosA 5 3 AB 10 BC 8 CE PD BC 4 2 1 四 对与圆有关的计算的考查 四 对与圆有关的计算的考查 例 15 09 浙江嘉兴 如图 P 内含于 O O的弦 AB 切 P 于点C 且OPAB 若阴影部分的面积为 9 则弦 AB 的长为 3 A 4 B 6 C 9 D 讲解 讲解 考察了直线与圆相切 圆与圆内含以及垂径定理 因为已知 OPAB 可知点到的距离就是圆的半径长 阴影部OABP 分的面积为大圆面积减去小圆面积 结合题意利用垂径定理能 够求出弦一半的长度 进而求出的长 ABAB 解析 解析 C 例 16 08 朝阳一模 如图 中 以为圆ABC 90ACB 30B C 心 BAC PO D C B A 13 为半径的圆交于点 若 则弧的长为 CAABD6AC AD 讲解 讲解 考察求弧长的计算 连接 根据条件可知为等边三角形 CDCAD 由此得弧所对的圆心角为 带入弧长公式可求出AD 60 180 Rn l 弧的长为 AD2 解析 解析 2 例 17 09 山东济南 在综合实践活动课上 小明同学用纸板制作了一个圆 锥形漏斗模型 如图所示 它的底面半径高则6cmOB 8cmOC 这个圆锥漏斗的侧面 积是 2 30cmA 2 30 cmB 2 60 cmC 2 120cmD 讲解 讲解 考察计算圆锥的侧面积 根据已知条件先求出圆锥的母线长 即展开扇形 图的半径长 利用扇形面积公式代入求值 lRS 2 1 扇形 解析 解析 C 例 18 丰台一模 如图 如果将半径为的圆形纸片剪去一个圆周的扇形 用cm9 1 3 剩 下的扇形围成一个圆锥 接缝处不重叠 那么这个圆锥的底面圆半径为 剪剪去去 6A cm 3 3Bcm 5 2Ccm 8D cm 讲解 讲解 考察圆锥的展开图为扇形以及弧长公式 由已知条件能够知道剩下的扇形的圆心角 为 带入公式求出扇形的弧长为 即为圆锥的底面周长 所以 240 180 Rn l 12 可得圆锥的底面半径为 6cm 解析 解析 A 14 1 09 四川南充 如图 AB 是的直径 点 C D 在上 O O 110BOC 则 ADOC AOD A 70 B 60 C 50 D 40 解析 解析 D 2 08 通州一模 如图 AB 是 的直径 CD 是弦 且 CD AB 若 BC 8 O AC 6 则 sin ABD 的值为 4 3 A 3 4 B 4 5 C 3 5 D 解析 解析 D 3 08 密云一模 下列说法正确的有 1 如图 a 可以利用刻度尺和三角板测量圆形工件的直径 2 如图 b 可以利用直角曲尺检查工件是否为半圆形 3 如图 c 两次使用丁字尺 所在直线垂直平分线段 可以找到圆形工件的 CDAB 圆心 4 如图 d 测倾器零刻度线和铅垂线的夹角 就是从点看点时仰角的度数 PA a b c d A A B C D P A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 解析 解析 D 4 09 黑龙江哈尔滨 如图 O 的直径 CD 10 弦 AB 8 AB CD 垂足为 M 则 DM 的长为 解析 解析 8 5 08 石景山二模 如图 小明同学测量一个光盘的直径 他只有一把直尺和 一块三角板 他将直尺 光盘和三角板如图放置于桌面上 并量出 AB 3cm O B D A C 15 A AB B C C D D E E O O A AB B C C D D E E O O 则此光盘的直径是 cm 解析 解析 36 6 08 门头沟二模 如图 半圆的直径 AB 10 P 为 AB 上一点 点 C D 为半圆的三等 分点 则阴影部分的面积等于 解析 解析 6 25 7 08 昌平一模 如图 已知分别切圆于点 A B 圆的半径为 2 PAPB OO 则阴影部分的面积为 60P 解析 解析 3 4 34 8 08 丰台一模 已知 如图 以的边为直径的圆交边于点 且过ABC ABOACD 点的切线平分边 DDEBC 求证 是圆的切线 BCO 当满足什么条件时 以点 为顶点的四边形是正方形 请说ABC OBED 明理由 解析 解析 1 证明 联结 ODBD 切于 为直径 DE OADAB 90 ADBEDO 又平分 DECB BEBCDE 2 1 EBDEDB 又 ODBOBD 90ODBEDB 即 90 DBEOBD90ABC 与相切 BCOA 2 满足的条件是等腰直角三角形 ABC 理由 BCAB 1 2 OBAB 1 2 BEBC B A 60 P D C OBA 16 OBBE ODOBBEDE 四边形是菱形 OBED 90ABC 四边形是正方形 OBED 1 09 湖南长沙 如图 AB是O 的直径 C是O 上一点 44BOC 则A 的度数为 解析 解析 22 2 09 福建龙岩 如图 量角器外沿上有 A B 两点 它们的读数分别是 70 40 则 1 的度数为 解析 解析 15 3 08 大兴二模 如图 O 的直径为 26cm 弦长为 24cm 且 OP AB 于 P 点 则 AB 的值为 AOP tan 解析 解析 5 12 4 08 湖南邵阳 如图 0 ABAC 分是圆的直径和弦 ODAC 于点D 连结O BD BC 5AB 4AC 则BD 解析 解析 13 5 09 湖南邵阳 如图 AB 是 O 的直径 AC 是 O 的切线 A 为切点 连结 BC 交圆 0 于点 D 连结 AD 若 则下列结论正确的是 45ABC AD BC AD AC A 2 1 B 2 1 C BA O O A B C DO 17 AC AB AD DCC D 解析 解析 A 6 08 密云一模 已知 如图 正比例函数与反比例函数的图象相交于 A B 两点 A 点坐 标为 2 1 分别以 A B 为圆心的圆与 x 轴相切 则图中两个阴影部分面积的和为 解析 解析 7 09 湖北襄樊 如图 在RtABC 中 9042CACBC 分别以AC BC为直径画半圆 则图中阴影部分的面积为 结果保留 解析 解析 4 2 5 8 08 朝阳一模 已知 如图 在中 弦垂直直径 垂足为 O CDABM4AB 点在的延长线上 且 2 3CD EAB 3 tan 3 E 求证 是的切线 DEO 将平移 平移后所得的三角形记为 求当点与点重合时 ODE O D E E C 与重合部分的面积 O D E O 解析 解析 1 证 连接 OD 弦 CD 直径 AB AB 4 CD 2 3 MD OD 2 1 2 CD 3 1 2 AB M OE D C B A 18 在 Rt OMD 中 sin DOM DOM 60 3 2 MD OD 在 Rt DME 中 E 30 ODE 90 3 tan 3 E 又 OD 是 O 的半径 DE 是 O 的切线 2 解 ODE 90 OD 2 E 30 DE 2 3 在 Rt ODM 中 OM 1 又 AM 3 3CD 2 1 CM 在 Rt ACM 中 由勾股定理得 AC 2 3 AC DE D E 点 E 与点 C 重合 平移后的 D E 与 AC 重合 设交 O 于点 F 连接 OF OC AF O E 由平移的性质得 ODE O AC O CA E 30 AOF 2 A