2020届荆门市高三（上）元月调研数学试卷（文科）（解析版）

2019-2020学年湖北省荆门市高三（上）元月调研数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A=x|0x1，B=x|3x1，则（）A. AB=x|x0B. AB=RC. AB=x|x1D. AB=2. 设i是虚数单位，则|（1-i）-|等于（）A. 0B. 4C. 2D. 3. 下列各式中错误的是（）A. 0.830.73B. lg1.6lg1.4C. log0.5 0.4log0.5 0.6D. 0.75-0.10.750.14. 设双曲线的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的方程为（）A. B. C. D. 5. 已知函数f（x）=Asin（x+），（A0，0，）的部分图象如图所示，则=（）A. B. C. D. 6. 若tan+=4，则sin2=（）A. B. C. D. 7. 设Sn是等差数列an的前n项和，若=，则=（）A. B. C. D. 8. 太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为，设点（x，y）A，则z=2x+y的取值范围是（）A. B. C. D. 9. 灯会，是中国一种古老的民俗文化，一般指春节前后至元宵节时，由官方举办的大型的灯饰展览活动，并常常附带有一些猜灯谜等活动，极具传统性和地方特色春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来猜灯谜，每人均获得一次机会游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁10. 函数f（x）=eln|x|+的大致图象为（）A. B. C. D. 11. 已知二面角-l-为60，动点P、Q分别在、内，P到的距离为，Q到的距离为，则PQ两点之间距离的最小值为（）A. B. 1C. D. 212. 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取5名学生进行调查，若一班有50名学生，将每一学生编号从01到50，请从随机数表的第1行第5、6列（如表为随机数表的前2行）的开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为_781665140802631407024369972801983204923449358200362348696938748114. 已知向量满足，且，则的夹角为_15. 如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”若某勾股树含有个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为_16. 已知三棱锥P-ABC外接球的表面积为100，PA平面ABC，PA=8，BAC=60，则三棱锥体积的最大值为_三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知在等比数列an中，a1=2，且a1，a2，a3-2成等差数列（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足：，求数列bn的前n项和Sn18. 如图所示，在四棱锥A-BCDE中，平面BCDE平面ABC，BEEC，BC=6，AB=4，ABC=30（）求证：ACBE；（）若二面角B-AC-E为45，求直线AB与平面ACE所成的角的正弦值19. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量（单位：吨），按照分组0，0.5），0.5，1），3，3.5）制作了频率分布直方图，（）用该样本估计总体：（1）估计该市居民月均用水量的平均数；（2）如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a的最低标准定为多少吨？（）在该样本中月均用水量少于1吨的居民中随机抽取两人，其中两人月均用水量都不低于0.5吨的概率是多少？20. 已知椭圆E：的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E的长轴为直径的圆与直线x+y-2=0相切（）求椭圆E的标准方程；（）A，B，C为椭圆E上不同的三点，O为坐标原点，若，试问：ABC的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由21. 已知函数f（x）=xlnx-ax2（aR）在定义域内有两个不同的极值点（）求实数a的取值范围；（）记两个极值点为x1，x2，且x1x2，求证：x1x2122. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：（）求直线l与曲线C1公共点的极坐标；（）设过点P（0，-1）的直线m交曲线C1于A，B两点，求|PA|PB|的值23. 设不等式|2x-1|1的解集是M，a，bM（）试比较ab+1与a+b的大小；（）设maxA表示数集A中的最大数h=max，求h的最小值答案和解析1.【答案】D【解析】解：A=x|0x1，B=x|x0，AB=，AB=x|x0或0x1故选：D可以求出集合B，然后进行交集和并集的运算即可本题考查了描述法的定义，指数函数的单调性，交集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题2.【答案】D【解析】解：1-i-=1-i+2i=1+i，|1+i|=，故选：D根据复数的四则运算进行化简即可本题主要考查复数的四则运算以及复数模长的计算，比较基础3.【答案】D【解析】解：根据幂函数的单调性可知0.830.73正确；根据对数函数的单调性可知lg1.6lg1.4和log0.50.4log0.50.6都正确；根据指数函数的单调性可知0.75-0.10.750.1故选：D根据幂函数、指数函数和对数函数的单调性对每个选项的式子进行判断即可考查幂函数、指数函数和对数函数的单调性，以及增函数、减函数的定义4.【答案】B【解析】解：双曲线的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，所以c=2，双曲线C的一条渐近线方程为，可得b=，a2+b2=4，解得a=1，b=，所以所求的双曲线方程为：故选：B求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出a，b然后求解双曲线方程本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基本知识的考查，基础题5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数y=Asin(x+)的图象与性质，涉及正弦函数的图象与性质，是基础题根据函数f（x）的部分图象与五点法画图，求出A、和的值，再求的值【解答】解：根据函数f（x）=Asin（x+）的部分图象知，A=2，f（0）=2sin=1，sin=，=；又f（）=2sin（+）=0，+=2，解得=2；=2=故选：C6.【答案】D【解析】解：sin2=2sincos=故选：D先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于基础题7.【答案】A【解析】解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由等差数列的求和公式可得且d0，故选：A根据等差数列的前n项和公式，用a1和d分别表示出s3与s6，代入中，整理得a1=2d，再代入中化简求值即可本题主要考查等比数列的求和公式，难度一般8.【答案】C【解析】解：由题意可知：z=2x+y与x2+（y-1）2=1相切时，切点在上方时取得最大值，如图：可得：1，解得1-z1+，z=2x+y的最大值为：1+当下移与圆x2+y2=4相切时，x+2y取最小值，同理2，即z的最小值为：-2，所以z-2，1+故选：C结合图形，平移直线z=2x+2y，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值；当下移与圆x2+y2=4相切时，x+2y取最小值；分别求出对应的z值即可本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力9.【答案】A【解析】解：由四人的预测可得下表：由四人的预测可得下表： 中奖人预测结果甲乙丙丁甲乙丙丁1）若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意2）若乙中奖，甲、丙、丁预测正确，不符合题意3）若丙中奖，丙、丁预测正确，不符合题意4）若丁中奖，乙、丁预测正确，不符合题意故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确故答案为：甲故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确故选：A做出由四人的预测表，然后分析四个人的话，能够求出结果本题考查了逻辑推理能力，属于中档题10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，属于基础题根据已知中函数的解析式，可得函数f（x）为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，可排除A，D，结合函数值的变化趋势可排除B，得到答案【解答】解：f（x）=eln|x|+f（-x）=eln|x|-故函数f（x）为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，可排除A，D，当x0+时，y+，故排除B.故选：C11.【答案】A【解析】解：由题意如图所示：做PA于A，QB于B，AC棱于C，QD棱于D，连接PC，BD，ACP=BDQ=60，PA=，PC=2，QB=，AC=QD=1，PQ2=QA2+PA2=3+QA23，所以当Q与A重合时QP最小为，故选：A做面的垂线，过垂足做棱的垂线，由题意求出长度，所以由勾股定理PQ的长的表达式，当A与Q重合时最小考查二面角的应用，属于中档题12.【答案】D【解析】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义： ；|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1-a2，设|F1F2|=2c，则：在PF1F2中由余弦定理得，；化简得：，该式可变成：；故选D先设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a1，a2，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，并且，在F1PF2中根据余弦定理可得到：，所以考查椭圆及双曲线的交点，及椭圆与双曲线的定义，以及它们离心率的定义，余弦定理13.【答案】43【解析】解：根据应用随机数表取样本数据的特征知，依次抽取的5个数据分别为：14，08，02，07，43；所以第5个编号为43故答案为：43根据随机数表抽取样本数据时，数据范围在0150，且重复的数据不再抽取，由此抽出样本本题考查了简单随机抽样的应用问题，是基础题14.【答案】【解析】解：设的夹角为，向量满足，且，可得=0，即9+3cos=0，可得cos=-，所以：=故答案为：直接利用向量的数量积转化求解即可本题考查了向量垂直与数量积的关系，向量的夹角的求法，属于基础题15.【答案】【解析】【分析】本题以图形为载体，考查等比数列的求和公式及通项，关键是的出等比数列模型，正确利用相应的公式正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，利用共得到1023个正方形，借助于求和公式，可求得正方形边长变化的次数，从而利用等比数列的通项公式，即可求最小正方形的边长【解答】解：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有1+2+2n-1=1023，n=10，最小正方形的边长为=故答案为：16.【答案】18【解析】解：三棱锥P-ABC外接球的表面积为100，PA平面ABC，PA=8，BAC=60，三棱锥P-ABC外接球半径R=5，ABC外接圆半径为r=3，SABC=9，sinB0，sinC0，当sinB=sinC=时，（SABC）max=9=，三棱锥体积的最大值为：V=8=18故答案为：18推导出三棱锥P-ABC外接球半径R=5，ABC外接圆半径为r=3，从而SABC=9，当sinB=sinC=时，（SABC）max=，由此能求出三棱锥体积的最大值本题考查三棱锥体积的最大值的求法，考查三棱锥的外接球、三角形外接圆半径、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17.【答案】解：（）由题意，设等比数列an的公比为qa1，a2，a3-2成等差数列，2a2=a1+（a3-2）=2+（a3-2）=a3q=2，故数列an的通项公式为：an=2n，nN*（）由（），得：，=+2log22n=（）n+2n，Sn=b1+b2+bn=（+2）+（）2+4+（）n+2n=+（）2+（）n+（2+4+2n）=+n（n+1）=n2+n+1-（）n【解析】本题第（）题先设等比数列an的公比为q，然后根据等差中项的性质列出方程，得出q的值，即可得到数列an的通项公式；第（）题先根据an=2n，求出数列bn的一般项，然后根据一般项的特点采用分组求和的方法即可得到数列bn的前n项和Sn本题主要考查等差数列和等比数列的性质应用和求和公式的应用，以及分组求和法的应用本题属中档题18.【答案】（）证明：在ACB中，AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=3，所以AC2+BC2=AB2，所以ACBC因为平面平面BCDE平面ABC，平面BCDE平面ABC=BC，BCAC，所以AC平面BCDE又因为BE平面BCDE，所以ACBE（）解：因为AC平面BCDE，CE平面BCDE，所以ACCE又BCAC，平面ACE平面ABC=AC，所以BCE是平面EAC与平面BAC所成的二面角的平面角，即BCE=45因为BEEC，ACBE，ECAC=C，所以BE平面ACE所以EAB是直线AB与平面ACE所成的角因为在RtBCE中，BE=BCsin45=，所以在RtBAE中，sinBAE=【解析】（）在ACB中，利用余弦定理求出AC，推出AC2+BC2=AB2，得到ACBC，证明BCAC，得到AC平面BCDE即可证明ACBE（）说明BCE是平面EAC与平面BAC所成的二面角的平面角，BCE=45推出BE平面ACEEAB是直线AB与平面ACE所成的角然后求解即可本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题19.【答案】解：（）（1）月均用水量为：=0.250.05+0.750.1+1.250.15+1.750.2+2.250.3+2.750.15+3.250.05=1.875（2）由直方图知：a（2.5，3），由（3-a）0.3+0.50.1=1-86%，解得a=2.7吨，故月均用水量a的标准定为2.7吨（）由直方图可知：月均用水量在0，0.5）的人数为：400.10.5=2人，记为a，b，月均用水量在【0.5，1）的人数为：400.20.5=4人，记为A，B，C，D，从此6人中随机抽取两人所有可能的情况有：ab，aA，aB，aD，aC，bC，bD，AC，AD，BC，BD，CD，共15种，其中月均用水量都在0.5，1）的情况有：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种，故两人月均用水量都不低于0.5吨的概率：P=【解析】（）（1）利用频率分布直方图的性质能求出月均用水量（2）由直方图知：a（2.5，3），由（3-a）0.3+0.50.1=1-86%，能求出月均用水量a的标准（）由直方图可知：月均用水量在0，0.5）的人数为：400.10.5=2人，记为a，b，月均用水量在【0.5，1）的人数为：400.20.5=4人，记为A，B，C，D，从此6人中随机抽取两人，利用列举法能求出两人月均用水量都不低于0.5吨的概率本题考查平均数、最低标准、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20.【答案】解：（）由题意知，解得b2=1，a2=2，则椭圆C的方程是：（）当AB斜率不存在时，设C（-，0），A（，），B（，-），S=，设AB：y=kx+m设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），直线AB与椭圆联立整理得：由（1+2k2）x2+4mkx+2（m2-1）=0，则x1+x2=，x1x2=，y1+y2=k（x1+x2）+2m=，由，得，代入椭圆中得：（）2+2（）2=2得4m2=1+2k2，原点O到AB的距离d=，|AB|=2，故S=3=综上：ABC的面积为定值【解析】（）由一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E的长轴为直径的圆与直线x+y-2=0相切及a，b，c之间的关系求出椭圆的标准方程；（）分直线AB的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线AB的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB，再求O到直线AB的距离d，由得C到直线AB的距离为3d，进而求出ABC的面积，结果为定值考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题21.【答案】（）解：由题意，f（x）=lnx+1-2ax，x0函数f（x）=xlnx-ax2（aR）在定义域内有两个不同的极值点，方程f（x）=lnx+1-2ax=0在（0，+）有两个不同的根，即2a=在（0，+）有两个不同的根令g（x）=，x0则g（x）=-，x0故当0x1时，g（x）0；当x1时，g（x）0函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，在x=1处取得极大值g（x）max=g（1）=1又x0，g（x）-；x+，g（x）0故函数g（x）大致图象如下：根据题意及图，可知：02a1，0a（）证明：由（）知，x1，x2即为方程lnx+1-2ax=0在（0，+）有两个不同的根，则有lnx1+1-2ax1=0，lnx2+1-2ax2=0，故lnx1=2ax1-1，lnx2=2ax2-1，2a=由题意，要证明：x1x21，只要证明：lnx1+lnx20，即证：（2ax1-1）+（2ax2-1）0，即证：2a（x1+x2）2，即证：0x11x2，上式可转化为：lnx1-lnx2，即为：ln令（0t1），则上式即为：lnt构造函数，0t1，则，即函数h（t）在（0，1）上单调递减，故，故，即ln故x1x21【解析】本题第（1）题根据题意令lnx+1-2ax=0，然后采用参变量分离的方法，构造函数g（x）=，然后对函数g（x）求导并进