高考数学 第十章 第六节 几何概型课件 理 新人教A版.ppt

第六节几何概型 1 几何概型 1 定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型 简称几何概型 2 特点 无限性 试验中所有可能出现的结果 基本事件 有 个 等可能性 试验结果在每一个区域内均匀分布 长度 面积或体积 无限多 2 几何概型的概率公式p a 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率 2 相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的 3 几何概型中 每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点 该区域中的每一点被取到的机会相等 4 在几何概型定义中的区域可以是线段 平面图形 立体图形 解析 1 正确 由随机模拟方法及几何概型可知 该说法正确 2 错误 虽然环境相同 但是因为随机模拟得到的是某一次的频率 所以结果不一定相等 3 正确 由几何概型的定义知 该说法正确 4 正确 由几何概型的定义知 该说法正确 答案 1 2 3 4 1 在区间 20 80 内随机取一实数a 则实数a属于区间 50 75 的概率是 a b c d 解析 选c 由几何概型概率计算公式可知 2 有一杯2升的水 其中含有一个细菌 用一个小水杯从水中取0 1升水 则此小水杯中含有这个细菌的概率是 a 0 01 b 0 02 c 0 05 d 0 1 解析 选c 试验的全部结果构成的区域体积为2升 所求事件的区域体积为0 1升 故所求概率为 3 在区间 1 2 上随机取一个数x 则 x 1的概率为 解析 在区间 1 2 上随机取一个数x 则 x 1的区间长度为2 x 1的概率为 答案 4 在平面直角坐标系xoy中 设f是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域 e是到原点的距离不大于1的点构成的区域 向f中随机投一点 则所投的点落在e中的概率是 解析 如图 区域f表示边长为4的正方形abcd的内部 含边界 区域e表示单位圆及其内部 因此p 答案 5 有一根长为1米的细绳子 随机从中间将细绳剪断 则使两截的长度都大于米的概率为 解析 如图 将细绳八等分 c d分别是第一个和最后一个等分点 则在线段cd的任意位置剪断得到的两截细绳长度都大于米 由几何概型的计算公式 两截的长度都大于米的概率为答案 考向1与长度 角度有关的几何概型 典例1 1 2012 辽宁高考 在长为12cm的线段ab上任取一点c 现作一矩形 邻边长分别等于线段ac cb的长 则该矩形面积小于32cm2的概率为 a b c d 2 在等腰rt abc中 过直角顶点c在 acb内作一条射线cd与线段ab交于点d 则ad ac的概率为 规范解答 1 选c 设其中一段ac长为xcm 则另一段长为 12 x cm 其中0 x 12 由题意x 12 x 32得 0 x 4或8 x 12 则可选取的长度为4 4 8 cm 故概率为 思路点拨 1 本题与长度有关 利用几何概型求概率 2 过点c在 acb内作射线cd与角度有关 利用几何概型的概率公式求解 2 射线cd在 acb内是均匀分布的 故 acb 90 可看成试验的所有结果构成的区域 在线段ab上取一点e 使ae ac 则 ace 可看成事件构成的区域 所以满足条件的概率为答案 互动探究 在例题 2 中 过直角顶点c在 acb内作一条射线cd与线段ab交于点d 改为 在线段ab上找一点d 则结果如何 解析 由于本题是在线段ab上找一点d 使得ad ac 可先找到ad ac时ad的长度 则所求概率p 拓展提升 1 与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示 则其概率的计算公式为p a 2 与角度有关的几何概型当涉及射线的转动 扇形中有关落点区域问题时 应以角的大小作为区域度量来计算概率 且不可用线段的长度代替 这是两种不同的度量手段 提醒 有时与长度或角度有关的几何概型 题干并不直接给出 而是将条件隐藏 与其他知识综合考查 变式备选 设f x x2 2x 3 x r 则在区间 上随机取一个数x 使f x 0的概率为 解析 本题属于几何概型 由x2 2x 3 0得 1 x 3 又 x 所求概率p 答案 考向2与面积 体积有关的几何概型 典例2 1 2013 德州模拟 如图 在边长为 的正方形内的正弦曲线y sinx与x轴围成的区域记为m 图中阴影部分 随机往正方形内投一个点p 则点p落在区域m内的概率是 a b c d 2 2012 北京高考 设不等式组表示平面区域为d 在区域d内随机取一个点 则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 a b c d 3 如图 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 在正方体内随机取点m 则使四棱锥m abcd的体积小于的概率为 思路点拨 1 本题为面积比 由于m为曲边梯形 因此可积分求面积 2 分别求出平面区域d及到原点距离大于2的点所对应区域的面积 求比即可求出概率 3 先找出四棱锥m abcd体积等于时点m的位置 再找出体积小于时点m的位置 从而得解 规范解答 1 选b 区域m的面积为 而正方形的面积为s 2 所以所求概率为p 2 选d 平面区域d的面积为4 到原点距离大于2的点如图中阴影部分所示 其面积为4 所以所求概率为 3 正方体abcd a1b1c1d1中 设m abcd的高为h 不妨令 s四边形abcd h 又s四边形abcd 1 h 若体积小于 则h 即点m在正方体的下半部分 答案 拓展提升 1 与面积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示 则其概率的计算公式为 2 与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示 则其概率的计算公式为 变式训练 已知函数f x 3x2 ax b 若a b都是在区间 0 4 内任取一个数 则f 1 0的概率为 解析 根据已知条件 我们把a b分别作为横坐标和纵坐标 然后在直角坐标系内作图 利用面积比来求几何概型的概率值 如图所示 a b满足的范围就是边长为4的正方形 而f 1 0即a b 3 表示的是直线的右上方 即阴影部分的区域 故所求的概率为答案 考向3生活中的几何概型问题 典例3 1 假设车站每隔10分钟发一班车 若某乘客随机到达车站 则其等车时间不超过3分钟的概率为 2 2013 西安模拟 甲 乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头 它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的 如果甲船停泊时间为1h 乙船停泊时间为2h 求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率 思路点拨 1 本题为实际问题 可将其转化为一数学模型 由于发车时间长度为10分钟 等车时间不超过3分钟 且时间是连续的 乘客何时到达是随机的 等可能的 因此为几何概型 2 要使两船都不需要等待码头空出 当且仅当甲比乙早到达1h以上或乙比甲早到达2h以上 时间是连续的 两船何时到达是随机的 等可能的 因此为几何概型 规范解答 1 要使得等车的时间不超过3分钟 即到达的时刻应该是图中a包含的时间点 故所求概率答案 0 3 2 这是一个几何概型问题 设甲 乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y a为 两船都不需要等待码头空出 则0 x 24 0 y 24 要使两船都不需要等待码头空出 当且仅当甲比乙早到达1h以上或乙比甲早到达2h以上 即y x 1或x y 2 故所求事件构成集合a x y y x 1或x y 2 x 0 24 y 0 24 a为图中阴影部分 全部结果构成集合 为边长是24的正方形及其内部 所求概率为p a 拓展提升 生活中的几何概型度量区域的构造方法 1 审题 通过阅读题目 提炼相关信息 2 建模 利用相关信息的特征 建立概率模型 3 解模 求解建立的数学模型 4 结论 将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论 提醒 当基本事件受两个连续变量控制时 一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标 这样基本事件就构成了平面上的一个区域 即可借助平面区域解决 变式训练 甲 乙两人因工作需要每天都要上网查资料 已知他们每天上网的时间都不超过2小时 则在某一天内 甲上网的时间不足乙上网的时间的一半的概率是 a b c d 解析 选c 由题意知本题是一个几何概型 设甲 乙两人每天上网时间分别为x小时 y小时 试验包含的所有事件 x y 0 x 2 0 y 2 事件 对应的集合表示的面积是s正方形 4 满足条件的事件是a x y 0 x 2 0 y 2 x y 事件a表示的平面区域如图中阴影部分 事件a对应的集合表示的面积是s oc cd 2 1 1 根据几何概型的概率公式得到 易错误区 对图形的分割不清致误 典例 2012 湖北高考 如图所示 在圆心角为直角的扇形oab中 分别以oa ob为直径作两个半圆 在扇形oab内随机取一点 则此点取自阴影部分的概率是 a 1 b c d 误区警示 本题易出现的错误主要有两个方面 1 误以为阴影部分的面积为一个四分之一圆的面积减去两个半圆的面积 2 分不清各部分的构成 造成多加或少减的现象 规范解答 选a 方法一 如图所示 不妨设扇形的半径为2a 记两块白色区域的面积分别为s1 s2 两块阴影部分的面积分别为s3 s4 则s1 s2 s3 s4 s扇形oab 而s1 s3与s2 s3的和恰好为一个半径为a的圆的面积 即s1 s3 s2 s3 a2 由 得s3 s4 又由图可知s3 s扇形eod s扇形cod s正方形oedc a2 a2 所以s阴影 a2 2a2 故由几何概型的概率公式可得 所求概率 方法二 连接ab 设分别以oa ob为直径的两个半圆交于点c 令oa 2 如图 由题意知c ab且s弓形ac s弓形bc s弓形oc 所以s空白 s oab 2 2 2 又因为s扇形oab 22 所以s阴影 2 所以 思考点评 1 复杂几何图形的构成对于复杂几何图形往往可分解成几个规则图形的组合或拆分 注意拆分成规则图形 2 几何图形面积的求法如果是规则的几何图形 可利用面积公式 如果是不规则图形 则可转化为规则图形 或尝试一下积分求面积 1 2012 福建高考 如图所示 在边长为1的正方形oabc中任取一点p 则点p恰好取自阴影部分的概率为 a b c d 解析 选c 解决本题的关键是利用定积分求出阴影部分的面积 再利用几何概型公式求解 阴影部分的面积是 利用几何概型公式得 2 2013 揭阳模拟 已知平面区域 x y 直线y mx 2m和曲线有两个不同的交点 它们围成的平面区域为m 向区域 上随机投一点a 点a落在区域m内的概率为p m 若0 m 1 则p m 的取值范围为 a 0 b 0 c 1 d 1 解析 选d 已知直线y mx 2m过半圆上一点 2 0 当m 0时直线与x轴重合 这时p m 1 故可排除a b 若m 1 如图可求得p m 故选d 3 2013 广州模拟 如图 设幂函数y f x 的图象过点p 2 4 在矩形onpm内任取一个点 那么该点落在以曲线y f x 直线x 2和x轴所围成的图形 阴影部分 内部的概率是 a b c d 解析 选c 设幂函数y f x xn 图象过点p 2 4 4 2n n 2 即f x x2 显然s矩形onpm 2 4 8 s阴影 所求的概率为 4 2013 江门模拟 向面积为9的 abc内任投一点p 那么 pbc的面积小于3的概率是 解析 如图所示 满足题意的点p在图中的阴影部分内 不包含线段bc上的点 阴影上方三角形的面积为 abc面积的 所求概率为答案 5 2012 湖南高考 函数f x sin x 的导函数y f x 的部分图象如图所示 其中 p为图象与y轴的交点 a c为图象与x轴的两个交点 b为图象的最低点 1 若 点p的坐标为 0 则 2 若在曲线段abc与x轴所围成的区域内随机取一点 则该点在 abc内的概率为 解析 1 函数f x sin x 求导得 f x cos x 把 和点 0 代入得 cos 0 解得 3 2 取特殊情况 在 1 的条件下 导函数f x 3cos 3x 求得a 0 b 3 c 0 故 abc的面积为s abc 曲线段与x轴所围成的区域的面积