广东高考文科数学真题模拟汇编14：数列.doc

广东高考文科数学真题模拟汇编14：数列1(2009广州一模文数)已知数列的前项和为，对任意N都有，则的值为 ，数列的通项公式 . 1； 2. (2010广州二模文数)图2是一个有层的六边形点阵.它的中心是一个点,算作第一层, 第2层每边有2个点,第3层每边有3个点 ,第层每边有个点, 则这个点阵的点数共有 个. 图22. 图23(2010广州一模文数)如图3所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，则第7行第4个数（从左往右数）为ABCD3、答案A4(2010广州一模文数)在等比数列中，公比，若，则的值为 4答案7 5(2011广州一模文数)已知等比数列的公比是，则的值是 .5答案6(2011广州二模文数)已知数列的通项公式是，则A B C5 D556、答案C7(2012广州一模文数)两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，若按此规律继续下去，则 ，若，则 512122图27答案35，10图B13、 (2005广东)设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用表示这条直线交点的个数，则=_；当时， （用表示）13【答案】5，解：由图B可得，由，可推得n每增加1，则交点增加个，14、（2006广东）已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是A.5 B.4 C. 3 D.214、，故选C.15、（2006广东）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用n表示） .15、10，16（2007广东文数）已知数列的前项和，则其通项；若它的第项满足，则16. 2n-10 17（2007广东文数）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）17.A 18. （2008广东文数）记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ ）A、2 B、3 C、6 D、718【解析】,选B.19 （2009广东文科）已知等比数列的公比为正数，且=2，=1，则= A. B. C. D.2 19【答案】B【解析】设公比为,由已知得,即,因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B20、（2011广东文数）已知an是递增等比数列，a2=2，a4a3=4，则此数列的公比q=220解答：解：an是递增等比数列，且a2=2，则公比q1又a4a3=a2（q2q）=2（q2q）=4即q2q2=0解得q=2，或q=1（舍去）故此数列的公比q=2故答案为：2211(2012广东文数)若等比数列满足，则_21:22. (2009广州一模文数) (本小题满分14分)已知数列的相邻两项是关于的方程N的两根,且.(1) 求证: 数列是等比数列;(2) 设是数列的前项和, 问是否存在常数,使得对任意N都成立,若存在, 求出的取值范围; 若不存在, 请说明理由.22（本小题满分14分）（本小题主要考查数列的通项公式、数列前项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力） (1)证法1: 是关于的方程N的两根, 由,得, 故数列是首项为,公比为的等比数列. 证法2: 是关于的方程N的两根, , 故数列是首项为,公比为的等比数列. (2)解: 由(1)得, 即. . . 要使对任意N都成立,即(*)对任意N都成立. 当为正奇数时, 由(*)式得,即,对任意正奇数都成立.当且仅当时, 有最小值. 当为正偶数时, 由(*)式得,即,对任意正偶数都成立.当且仅当时, 有最小值. 综上所述, 存在常数,使得对任意N都成立, 的取值范围是. 23(2010广州一模文数)（本小题满分14分）已知数列满足对任意的，都有，且（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围23（本小题满分14分）（本小题主要考查数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：当时，有，由于，所以 当时，有，将代入上式，由于，所以 （2）解：由于， 则有 ，得， 由于，所以 同样有， ，得 所以由于，即当时都有，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列故 ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u（3）解：由（2）知，则所以 ，数列单调递增所以 要使不等式对任意正整数恒成立，只要 ，即所以，实数的取值范围是24(2011广州一模文数)（本小题满分14分） 已知数列的前项和为，且满足N.各项为正数的数列中，对于一切N,有， 且. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列的前项和为,求证:.24（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：， 当时, 解得. 1分当时,得, 即. 3分数列是首项为, 公比为的等比数列. 4分 对于一切N,有， 当时, 有 ， 得： 化简得: , 用替换式中的，得：, 6分 整理得：， 当时, 数列为等差数列., 数列为等差数列. 8分 数列的公差. . 10分(2)证明:数列的前项和为, , , 得： 12分 . . 14分25(2011广州二模文数)（本小题满分14分）已知等差数列an的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，是否存在、，使得、成等比数列若存在，求出所有符合条件的、的值；若不存在，请说明理由25（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查方程思想以及运算求解能力）解：（1）设等差数列的公差为，则1分由已知，得3分即解得5分所以（）6分（2）假设存在、，使得、成等比数列，则7分因为，8分所以所以9分整理，得10分以下给出求，的三种方法：方法1：因为，所以11分解得12分因为，所以，此时故存在、，使得、成等比数列14分方法2：因为，所以11分即，即解得或12分因为，所以，此时故存在、，使得、成等比数列14分方法3：因为，所以11分即，即解得或12分因为，所以，此时故存在、，使得、成等比数列14分26(2012广州一模文数)（本小题满分14分）已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且，成等比数列（1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：26（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：因为数列是等差数列，所以，1分依题意，有即3分解得，5分所以数列的通项公式为（）6分（2）证明：由（1）可得7分所以8分所以 9分 10分因为，所以11分因为，所以数列是递增数列12分所以13分 所以14分27. (2012广州二模文数)（本小题满分14分）已知数列的前项和为，对任意，都有且，令.（1）求数列的通项公式；（2）使乘积为整数的叫“龙数”，求区间内的所有“龙数”之和；（3）判断与的大小关系，并说明理由。27（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：由于， 当时， 1分 整理得， 解得或. ， . 2分 当时， 3分 化简得， . ， . 4分 数列是首项为，公差为的等差数列. . 5分（2）解：， . 6分 令，则为整数）， 7分 由，得， . 在区间内的值为， 8分 其和为 9分 . 10分（3）解法1：， 11分 12分 13分 . . 14分解法2：， 11分 12分 13分 . . 14分解法3：设， 则. 11分 ， . . 12分 函数在上单调递减. N， . . . 13分 . 14分28、（2006广东）已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为.()求数列的首项和公比；()对给定的,设是首项为，公差为的等差数列.求数列的前10项之和；()设为数列的第项，求，并求正整数，使得存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷数列前n项和的极限)28解: ()依题意可知,()由()知,所以数列的的首项为,公差,即数列的前10项之和为155.() =，=当m=2时，=，当m2时，=0，所以m=229、 （2008广东文数）设数列满足， 。数列满足是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有。（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前项和。29解析（1）由得 又 ， 数列是首项为1公比为的等比数列， ，当n为奇数时当n为偶数时 由 得 ，由 得 ， 同理可得当n为偶数时，；当n为奇数时，；因此当n为奇数时当n为偶数时 （2） 当n为奇数时， 当n为偶数时令 得: -得: 当n为奇数时当n为偶数时因此30. （2009广东文科）已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前n项和为,数列的首项为c，且前n项和满足=+（n2）.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列前n项和为，问的最小正整数n是多少?30【解析】（1）, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m , .又数列成等比数列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当， ；()；（2） ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得，满足的最小正整数为112.31（本小题满分14分）已知数列满足对任意的，都有，且（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围31（2010广东文数）（本小题主要考查数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：当时，有，由于，所以 当时，有，将代入上式，由于，所以 （2）解：由于， 则有 ，得， 由于，所以 同样有， ，得 所以由于，即当时都有，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列故 （3）解：由（2）知，则所以 ，数列单调递增所以 要使不等式对任意正整数恒成立，只要 ，即所以，实数的取值范围是32、（2011广东文数）设b0，数列an满足a1=b，an=（n2）（1）求数列an的通项公式；（4）证明：对于一切正整数n，2anbn+1+1考点：数列递推式；数列与不等式的综合。专题：综合题；分类讨论；转化思想。分析：（1）由题设形式可以看出，题设中给出了关于数列an的面的一个方程，即一个递推关系，所以应该对此递推关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律，观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式，对其中参数进行讨论，分类求其通项即可（2）由于本题中条件较少，解题思路不宜用综合法直接分析出，故求解本题可以采取分析法的思路，由结论探究其成立的条件，再证明此条件成立，即可达到证明不等式的目的32解答：解：（1）（n2），（n2），当b=1时，（n2），数列an是以为首项，以1为公差的等差数列，=n，即an=1，当b0，且b1时，（n2），即数列是以=为首项，公比为的等比数列，=，即an=，数列an的通项公式是（2）证明：当b=1时，不等式显然成立当b0，且b1时，an=，要证对于一切正整数n，2anbn+1+1，只需证2bn+1+1，即证=（bn+1+1）（bn1+bn2+b+1）=（b2n+b2n1+bn+2+bn+1）+（bn1+bn2+b+1）=bn（bn+bn1+b2+b）+（+）bn（2+2+2）=2nbn所以不等式成立，综上所述，对于一切正整数n，有2anbn+1+1，点评：本题考点是数列的递推式，考查根据数列的递推公式求数列的通项，研究数列的