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“分数的意义”课例-基于数感发展数学素养 济源市北海实验小学 马战侠【课前思考与研究】一、课例内容：人民教育出社义务教育教科书数学五年级下册第四单元第一课时“分数的产生与意义”。二、涉及的核心概念：数感：小学生数感的建立发展规律如同数学自身的发展一样，从自然数向小数、分数延伸发展，由绝对数值向相对数值拓宽发展。“分数的意义”的教学可以看作是小学生数感发展的一个分水岭，从认识表示数量与顺序的绝对数值到认识表示相对数值的分数，这是一次“数的认识”的质的飞跃.相对于自然数而言，分数的意义更广泛，所代表的范围更大，更具有相对性：同一事物因相对的“单位1”不同而用不同的数表示，同一个分数因“单位1”的不同使得它所代表的实际数量大小也不同。三、对本课例的思考1. 教材分析：对分数的认识，教材的上表面设置了两个阶段，实则分数四个阶段：第一阶段：三年级上册“分数的初步认识”第二阶段：三年级下册“小数的初步认识”（小数为十进制分数的另一种书写方式）第三阶段：四年级下册“小数的意义和性质”第四阶段：五年级下册“分数的意义和性质”本节课重点引导学生在对分数初步认识后，概括分数的意义、理解分数的意义。2.学情分析： 学生在三年级时已对分数有了初步认识，教材上对分数的定义只是描述性的（像1/2、2/3这样的数，都是分数）。根据课前调查与访谈发现：学生对分数的认识还比较片面，具体表现为下面几点：（1） 平均分的均为1个物品、1个图形，对单位“1”的认识比较片面。（2） 认识的分数绝大多数为真分数，学生甚至认为分数即真分数，不认可假分数。（3） 对分数的相对性与绝对性几乎没有感觉。（4） 对分数的认识没有涉及商的意义（分数的份数意义是认识分数的起点，而商的意义是分数的本质，这一意义更符合数系扩张的思想）。3.后续影响：分数这一概念的理解对于研究分数的基本性质、四则运算的意义、分析问题、解决问题的重要性是显而易见的。另外，分数的意义对于百分数、比例的学习也有一定的影响。4.矛盾心理：每一次深入的研究一节课，都会有许多想法，不仅想让学生真正经历知识的形成过程，又想让学生理解结论，还想拓展延伸，引领学生认识到知识的价值，并且想渗透一些数学思维方法，或培养学生某一方面的习惯与能力一节课能承载那么多吗？会不会出现贪多嚼不烂的现象？怎样取舍？【首次备课教学设计】教学目标：1. 在分数的初步认识的基础上，理解单位“1”的意义与分数的意义，能结合实际情形分析分数的意义。2. 经历探究单位“1”与分数的意义的过程，沟通分数、整数与1的关系，进一步培养学生的数感与抽象概括能力。3. 体会数学和生活实际密切联系，了解数学的价值，初步养成乐于思考、言之有理的学习品质。重点：经历分数的意义探究过程，理解分数的意义。难点：理解单位“1”的意义。教学准备：PPT课件、长方形纸、彩笔等。教学程序：一、了解分数产生的过程1.我们先来看古人在测量物体的长度时遇到了什么情况？（对，结果不是正好几段。）我们在平时测量时得到的结果是整数的情况多？还是不是整数的结果多？2.出示分物的情景图：两个小朋友分月饼，如果平均分，每人分到多少块月饼？如果三个小朋友来平均分呢？结果是整数吗？3.下面哪几个算式的结果正好是整数而没有余数？（8个算式中有2个结果正好是整数而没有余数）102103104105106107108109小结：在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时可以用什么数表示？（可以用小数表示，也常常用分数表示。）板书：分数【设计说明：唤醒学生的学习经验，引导学生体会不仅在测量与分物时经常得不到整数结果，在计算中得不到整数结果的概率比结果正好是正数的概率要大很多，从而体会“往往”的意思。另外，学生在四年级时学习小数的意义时已体会到这一点，所以在这里只需要沟通分数与小数的内容联系（后面还会引导学生进一步感知）即可。】二、探究分数的意义1.理解单位“1”的含义（1）从1到“1”师：那么，什么是分数？分数表示什么意思？我们从这个数开始研究。（板书：1）想一想，什么样的物体的数量可以用1表示？（一张桌子、一个苹果、一个人）师：看来，能用1表示的物体还真不少。不过，像这样用1来表示一个物体，一年级学生也会。1还能表示什么？课件上出示一个面包和一块面包：一个面包可以用1表示，其中的一块有时也可看作1。再出示一盘面包问：这些面包可以用1表示吗？然后出示1米长的线段、1千克物品问：它们可以用1表示吗？这样，1的内涵变得更加丰富了。（给黑板上的1加上引号。）（2）从“1”到单位“1”课件显示三个苹果，师：它们能看作“1”吗？怎样让我们一眼看上去就像个“1”？（根据学生回答，将3个苹果圈成一个整体）6个苹果，15个苹果呢？在同一个问题中，如果把3个苹果看作“1”，当作一个标准，6个苹果通常就不能再看作“1”了，想一想，这时的6个苹果又该用哪个数来表示呢？9个，12呢，15个呢？这时，把3个苹果看作的“1”，其实就成了计量的一个单位。在数学上，我们把这样的“1”叫做单位“1”。（在“1”前面板书“单位”二字）引导学生明确：单位“1”不仅可以是一个物体、一些物体，也可以是一个计量单位。【设计说明：单位“1”是分数的意义中的一个子概念，因在前面从来没有接触过，所以对于学生来说它是一个陌生的、难理解的概念，是理解分数意义的前提。在这里引导学生初步认识单位“1”不仅表示一个物体、一个计量单位，有时还表示一些物体。在后面探究分数的意义与结合实际描述分数意义的环节，引导学生逐渐深入地理解单位“1”这一概念的实质计量中的一个“标准量”。】（3）沟通单位“1”、整数、分数的联系以8个圆为单位“1”认识，得出：把一个月饼看作单位“1”，有几个这样的单位“1”，就是几；而不足一个单位“1”的，就可以用分数表示。课件出示3、1与产生的过程。2.概括分数的意义（1）师：请同学们自己选择一个单位“1”或自己联系实际想一个，创造一个单位“1”作为标准表示。师：画好的同学，请你再画一个错误的，比一比看谁的错误能给同学们一些启示。【设计说明：让学生设计一个错误的有两种意图。一、错误也是一种资源，在引导学生对错误进行辨析中，也可从另一个侧面深入理解分数的意义；二、给出错的学生一个台阶，避免尴尬。】（2）交流不同的表示方法。老师想采访几位同学：“你是借助什么方法来表示这个分数的？”【设计说明：在这里对学生进行思维方式的引导，让学生将自己的思维方法明确化画图法、操作法。】展示几种错误的表示方式，引导学生理解“平均分”与“分得份数”、“表示的份数”的意义与重要性。师：这几种表示的方法有什么不同？有什么相同之处？预测：生1：单位“1”选取的不同。生2：但是不管单位“1”是什么，只要把它平均分成4份，这个的3份就表示四分之三。根据学生叙述板书：把单位“1”平均分成4份，这样的3份，可以用表示。指着一张长方形纸的和一些物品的，分别问：这是什么的？【设计说明：结合实际进一步理解单位“1”的含义，为六年级分析、解决有关分数的问题奠定基础。】预测：生1：这是长方形纸的四分之三。生2：我画的是8个苹果的四分之三。（3）概括分数的意义。指前面学生表示的中没选的1份问：这里又是整体的几分之几？（）师：通过刚才的研究，你认为什么样的数可以用分数表示？预测：学生可能用不太标准的语言来表述分数的意义，也可能不知从何说起。这时师：老师看到了同学们大都皱起眉头，请学生打开书，看教材上是怎样说的？（完成板书）谁能说一说什么叫分数？说的不太准确，也可以引领同学展开讨论和辨析。（4）理解分数的意义师：对于分数的意义，你认为哪几点比较重要，你来给同学们提个醒，或者有什么疑问提出来供大家探讨。引导学生进一步理解“平均分”与“若干份”的含义。【设计说明：“平均分”是分数这一概念的本质，需要引导学生重点感知。“若干份”这一词比较抽象，在这里引导学生通过举例来理解其含义。至于“这样”一词，也是分数意义的关键所在。在实验版教材中用的是“其中”一词，学生在三年级对分数进行初步认识时，不了解教材的教师不仅抽象出了分数的意义，还沿用以前的说法，把分数的意义中的“这样”用“其中”来表达，用“其中”就把分数限制在了单位“1”之内，人为地缩小了分数的内涵与外延。大多数学生对大于1的分数不认可，给认识假分数造成了人为的障碍。】三、深入理解分数的意义。请你说一说下面每个分数的具体含义。千克妈妈买的梨的个数是苹果个数的通常，冰山露在海面上的部分只占整座冰山的。【设计说明：引导学生结合实际情形理解分数的意义，进一步加强对单位“1”的认识，为后面探究分数的基本性质、分数四则运算的算理、分析、解决有关分数的问题奠定基础。其中通过分析假分数的意义，在于帮助学生理解分数的本质，认清分数的内涵与外延，消除学生在“分数初步认识”中认为分数的分子都小于分母的片面认识。】【课后研讨】这次活动是由马战侠老师独立设计、试上一节研讨课分数的意义，然后以本课为载体进行研讨交流。以下是研课记录：苗东军：这次研课我们仍然采取“先让作课教师说设计意图、整体思路与教后反思，团队成员再就设计的整体思路上展研讨，最后对每一个环节进行细致分析。”的方式进行。马战侠：这节课是学生在对分数有了初步认识的基础上，引导学生通过画图、操作、分析等活动进一步理解、概括分数的意义。课前对本课进行分析研究时发现：一，分数的份数意义这一概念中，“单位1”这一前概念学生以前并没有接触过，这一前概念对深入理解分数的意义、解决分数问题至关重要；二，学生对分数的初步认识比较片面，多数人认为真分数即分数，不认可假分数；三，对分数的产生，教材上只呈现了测量与分物的情形，计算的问题没有明确显示（而计算时得不到整数结果用分数表示暗示着分数商的定义）。基于以上思考，我对教材进行了适当的调整。在第一环节引导学生感知分数产生的过程中，加入了整数除法中商经常不能得到整数结果的情形。第二环节在概括分数的意义前，先引导学生先认识“单位1”以及整数与分数的联系。第三环节的练习中加入了分析假分数意义的内容，从而引导学生对分数有全面的认识。苗艳丽：马老师通过引导学生“从1到1”，再从“1到单位1”充分认识了单位“1”，知道它是计量是的一个单位，一个标准。这样不仅可以帮助学生理解分数的意义，还为以后解决分数问题奠定了基础。李春华：这节课中涉及了假分数的内容，不知马老师对这一单元与后续的教学有什么整体上的考虑？马战侠：第一课时引导学生理解分数的意义，第二课时认识分数单位、真分数、假分数（带分数），第三课时探究分数与除法的关系。通过这三课时引导学生全面认识、理解分数的份数意义与商的意义，为后续学习做好准备。苗东军：我们是否可以借助对一个分数意义的探究来引导学生理解单位“1”与分数的相对性，在分析分数的意义的过程中，自然而然地理解分数单位的意义、认识假分数？吕艳霞：可以仍然采用教材上的设计，引导学生用举例的方式说明的含义，再根据课堂上的生成引导学生理解分数的相对性。在认识或其他分数时，认识分数单位与假分数。【教后反思】本节课的教学重点是引导学生探究、理解分数的意义，主要分为下面三个层次：一是引导学生充分理解分数的意义中“单位1”的含义。二是引导学生在表示、分析具体的分数的基础上概括出分数的意义，通过辨析理解分数这一概念的内涵，了解其外延（包括真分数与假分数）。三是根据分数的意义分析抽象的分数、带单位的分数与具体情境中分数的含义。在实际教学中，上面的教学任务在一节课（40分）内完成不了。根据实际教学情况又产生了以下想法：1.分数的意义用两课时进行教学，第一课引导学生探究理解分数的意义，了解分数的外延包括真分数与假分数；第二课时根据分数的意义进一步认识真分数与假分数（带分数），会用图形表示分数，能在数轴上找到相应的分数。原因有两个：一、学生在三年级对分数的初步认识比较片面，只对真分数有一些了解；二、分数的意义对后续研究分数的性质、理解分数四则运算的算理、分析解决分数、百分数问题都非常重要。2.在教学中，要充分挖掘、利用课堂上生成的资源，通过教师的引导（有效追问），学生也可以充分认识分数、理解分数的意义的本质。如：学生在表示四分之三时，出现了空白部分是四分之三的情况，这时可以问：阴影部分可以用几分之几表示？它表示谁的四分之一。如果这一份与空白部分比呢？它又是空白部分的几分之几？从而引导学生感知分数的相对性。再如，在引导学生辨