高中数学 2.4.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质课件 新人教B版选修21 .ppt

2 4 2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质 类比椭圆 双曲线的几何性质 你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质 思考 1 掌握抛物线的范围 对称性 顶点 离心率等几何性质 重点 2 能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论 在此基础上列表 描点 画抛物线图形 重点 难点 3 在对抛物线几何性质的讨论中 注意数与形的结合与转化 抛物线有许多重要性质 我们根据抛物线的标准方程 研究它的一些简单几何性质 探究点1抛物线的简单几何性质 1 范围 因为p 0 由方程 1 可知 对于抛物线 1 上的点m x y x 0 所以这条抛物线在y轴的右侧 开口方向与x轴正向相同 当x的值增大时 y 也增大 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸 2 对称性 以 y代y 方程 1 不变 所以这条抛物线关于x轴对称 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 3 顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点 在方程 1 中 当y 0时 x 0 因此抛物线 1 的顶点就是坐标原点 4 离心率 抛物线上的点m与焦点的距离和它到准线的距离的比 叫做抛物线的离心率 用e表示 由抛物线的定义可知 e 1 f a b y2 2px 2p 过焦点而垂直于对称轴的弦ab 称为抛物线的通径 利用抛物线的顶点 通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图 ab 2p 2p越大 抛物线张口越大 5 通径 连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径 焦半径公式 f 6 焦半径 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 0 0 e 1 抛物线的几何性质 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它也可以无限延伸 但没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 3 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 4 抛物线的离心率e是确定的 为 5 抛物线的通径为2p 2p越大 抛物线的张口越大 提升总结 解 因为抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点m 所以 可设它的标准方程为 因为点m在抛物线上 所以 因此 所求抛物线的标准方程是 例 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点为坐标原点 并且经过点m 求它的标准方程 即p 2 分析 由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标 又直线l的斜率为1 所以可以求出直线l的方程 与抛物线的方程联立 可以求出a b两点的坐标 利用两点间的距离公式可以求出 ab 这种方法虽然思路简单 但是需要复杂的代数运算 下面 我们介绍另外一种方法 数形结合的方法 还可以如何求x1 x2 分析 运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷 如上题 求证 以ab为直径的圆和抛物线的准线相切 所以eh是以ab为直径的圆e的半径 且eh l 因而圆e和准线l相切 证明 如图 设ab的中点为e 过a e b分别向准线l引垂线ad eh bc 垂足分别为d h c 则 af ad bf bc ab af bf ad bc 2 eh 2 已知点a 2 3 与抛物线的焦点的距离是5 则p 4 3 已知直线x y 2与抛物线交于a b两点 那么线段ab的中点坐标是 4 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分 光源位于抛物线的焦点处 已知灯口圆的直径为60cm 灯深40cm 建系如图所示 求抛物线的标准方程和焦点位置 40 30 所在平面内建立直角坐标系 使反射镜的顶点与原点重合 x轴垂直于灯口直径 解 在探照灯的轴截面 设抛物线的标准方程为 y2 2px p 0 由条件可得a 40 30 代入方程得 302 2p 40 解得 p 故所求抛物线的标准方程为 y2 x 焦点为 0 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它也可以无限延伸 但没有渐近线 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 抛物线的离心率是确定的 等于 抛物线只有一个