2020届重庆市南开中学高三第三次教学质量检测考试数学（理）试题（解析版）

2020届重庆市南开中学高三第三次教学质量检测考试数学（理）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】化简集合A，进而求补集即可.【详解】，又，故选：C【点睛】本题考查补集的概念及运算，考查计算能力，属于基础题.2已知复数为纯虚数，则实数（ ）A4B3C2D1【答案】C【解析】根据复数的除法运算，化简得到，再由题意，即可得出结果.【详解】因为为纯虚数，所以，因此.故选C【点睛】本题主要考查由复数的类型求参数，熟记复数的除法运算即可，属于基础题型.3已知平面向量，则“”是“”的（ ）A充要条件B既不充分也不必要条件C必要不充分条件D充分不必要条件【答案】D【解析】根据题意，由向量共线的坐标表示，以及充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为平面向量，若，则，所以，因此；即“”是“”的充分条件若，则，解得或；所以“”不是“”的必要条件；综上，“”是“”的充分不必要条件.故选D【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.4函数的一条对称轴为（ ）ABCD【答案】A【解析】先整理函数，再由，求出对称轴，即可得出结果.【详解】因为，由得，当时，.故选A【点睛】本题主要考查求三角函数的对称轴，熟记正弦函数的对称轴即可，属于常考题型.5已知等比数列的前项和为，则（ ）ABCD【答案】B【解析】先设等比数列的公比为，根据题中条件求出公比，再由等比数列的求和公式，即可求出结果.【详解】设等比数列的公比为，由，得，即，解得，因此.故选：B【点睛】本题主要考查等比数列前项和的基本量运算，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.6已知非零平面向量满足，则与的夹角为（ ）ABCD【答案】C【解析】先由题意得到，推出，再由向量夹角公式，即可得出结果.【详解】因为，所以，因此，即，所以，因此与的夹角为.故选C【点睛】本题主要考查向量的夹角运算，熟记平面向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.7已知定义在上的函数满足，当时，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】D【解析】先求出，的解集；再由题意求出时，函数的解析式，进而求出不等式的解集.【详解】当时，由可得；若，则，因此，又定义在上的函数满足，所以，即时，由可得，.综上，不等式的解集为.故选：D【点睛】本题主要考查解不等式，熟记一次函数单调性，以及函数解析式的求法即可，属于常考题型.8明代数学家程大位在算法统宗中提出如下问题“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意思是将996斤绵分给八个人，从第二个人开始，每个人分得的绵都比前一个人多17斤，则第八个人分得绵的斤数为（ ）A150B167C184D201【答案】C【解析】设第一个孩子分配到a1斤锦，利用等差数列前n项和公式得：7996，从而得到a165，由此能求出第八个孩子分得斤数【详解】解：设第一个孩子分配到a1斤锦，则由题意得：7996，解得a165，第八个孩子分得斤数为a865+717184故选：C【点睛】本题考查等差数列的第八项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用9函数的图象大致为（ ）ABCD【答案】A【解析】先判断在和的正负，再判断在上的正负，即可得出结果.【详解】当时，所以，当时，所以，排除CD；当时， ，所以，图像应在轴下方，排除B；故选A【点睛】本题主要考查函数图像的识别，灵活运用排除法，熟记余弦函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.10在中，点，分别在上，且，,则的面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】先由题意，得到，再由得到，求出，得到，再由三角形面积公式，即可求出结果.【详解】因为点，分别在上，且，所以，所以，又，所以，即，所以，因此，所以，所以的面积为.故选A【点睛】本题主要考查求三角形的面积，熟记平面向量基本定理，向量的数量积运算，以及三角形面积公式即可，属于常考题型.11在中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为（ ）ABCD3【答案】C【解析】先由，结合余弦定理得到，代入得到，根据基本不等式，即可求出结果.【详解】因为，由余弦定理可得：，整理得：，所以，当且仅当，即时，取等号.故选C【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理，灵活运用基本不等式即可，属于常考题型.12已知数列，满足：，给出下列四个命题：数列单调递增；数列单调递增；数列从某项以后单调递增；数列从某项以后单调递增.这四个命题中的真命题是：（ ）ABCD【答案】A【解析】依次判断每个选项：得到故错；故正确；正确；正确，得到答案.【详解】 -得：，当，所以，故错，-得：，所以是等比数列，通项为，所以，故正确，因为，所以，故正确，因为，所以，根据指数函数的性质，知从某项以后单调递增，故正确.故选：【点睛】本题考查了根据数列的递推公式求数列性质，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.二、填空题13已知曲线在处的切线与直线平行，则的值为_【答案】【解析】先对函数求导，得到，求出切线斜率，再由题意列出方程，即可求出结果.【详解】由得，因此曲线在处的切线斜率为：，又切线与直线平行，所以，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查由切线的斜率求参数，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.14已知函数，其中的部分图象如图所示，则_【答案】【解析】先由图像得到，求出，得到，根据图像过点，得到，即可求出结果.【详解】先由图像可得：，所以，因此，又图像过点，所以，即，由图像可得：，所以，又，所以.故答案为【点睛】本题主要考查由三角函数部分图像求参数的问题，熟记三角函数的图像与性质即可，属于常考题型.15已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_【答案】【解析】先对函数求导，得到，根据题意得到在上恒成立，即在上恒成立，再令，对其求导，用导数的方法求出其最小值，即可得出结果.【详解】由得，又函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则，由得；由得，所以函数在上单调递减，在上单调递增；因此，所以，故，即.故答案为：【点睛】本题主要考查由函数在给定区间上的单调性求参数的问题，熟记导数的方法求函数的最值即可，属于常考题型.16已知平面向量满足：，则的最大值是_【答案】6【解析】先由题意，不妨令，以方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系，得到，设，根据题意，得到，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由表示点与定点之间的距离，根据点与圆位置关系，即可求出结果.【详解】因为，不妨令，以方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系，则，设，由可得，即，所以向量所对应的点在以为圆心，以为半径的圆上运动，又表示点与定点之间的距离，因此.故答案为6【点睛】本题主要考查求向量模的最值，利用建系的方法，根据向量数量积的运算法则，以及向量模的几何意义即可求解，属于常考题型.三、解答题17已知公差不为0的等差数列的前项和为成等比数列，且（1）求；（2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先设等差数列的公差为，根据题意，求出首项与公差，即可得出通项；（2）由（1）的结果，得到，根据裂项相消法，即可求出结果.【详解】（1）先设等差数列的公差为，由题知，而，故，由，；（2）由（1）可得：，前项和为.【点睛】本题主要考查求等差数列的通项，以及求数列的和，熟记数列的通项公式以及裂项相消法求数列的和即可，属于常考题型.18在中，为边上的中点（1）求的值；（2）若，求【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，得到，由三角形面积公式，得到，进而可求出结果；（2）先由，得到，求出，根据余弦定理，以及，列出等式，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为在中，为边上的中点，所以，即，；（2）由得，所以，在中，在中，而，所以，解得.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记三角形面积公式，以及余弦定理即可，属于常考题型.19某工厂生产一批零件，为了解这批零件的质量状况，检验员从这批产品中随机抽取了100件作为样本进行检测，将它们的重量（单位：g）作为质量指标值由检测结果得到如下频率分布直方图分组频数频率8160.1640.04合计1001（1）求图中的值；（2）根据质量标准规定：零件重量小于47或大于53为不合格品，重量在区间和内为合格品，重量在区间内为优质品已知每件产品的检测费用为5元，每件不合格品的回收处理费用为20元以抽检样本重量的频率分布作为该零件重量的概率分布若这批零件共件，现有两种销售方案：方案一：不再检测其他零件，整批零件除对已检测到的不合格品进行回收处理，其余零件均按150元/件售出；方案二：继续对剩余零件的重量进行逐一检测，回收处理所有不合格品，合格品按150元/件售出，优质品按200元/件售出仅从获得利润大的角度考虑，该生产商应选择哪种方案？请说明理由【答案】（1）；（2）当时，选方案一；当时，选方案二【解析】（1）根据题中数据，得到，根据频率之和为，进而可求出结果；（2）根据题中条件，得到两种方案下的总收入，比较两收入的大小，即可得出结果.【详解】（1）根据题中数据可得：，又频率之和为，则；（2）该工厂若选方案一：可收入元；若选方案二：一件产品的平均收入为元，故总收入元；，故当时，选方案一；当时，选方案二【点睛】本题主要考查补全频率分布直方图，以及由频率分布直方图解决实际问题，熟记频率的性质即可，属于常考题型.20已知函数存在极值点（1）求的取值范围；（2）设的极值点为，若，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先由题意确定函数定义域，再对函数求导，当得到函数单调，无极值点；当时，设，分别讨论和两种情况，根据二次函数的性质，即可得出结果；（2）先由（1）得，推出，根据，得到，令，根据函数单调性，确定的范围，即可求出结果.【详解】（1）函数的定义域为，当时，即函数单调递减，无极值点；当时，由或，设，则当时，的两根一个小于1、一个大于1，故有一个极值点；当时，由对称轴为，知的两根均小于1，故无极值点；综上所述，；（2）由（1）知且，令，显然在上单增，又，即，.【点睛】本题主要考查根据函数有极值点求参数，以及由不等式恒成立求参数的问题，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性与极值即可，属于常考题型.21已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，且的周长为（1）求椭圆的方程；（2）已知过点的直线与椭圆交于两点，点在直线上，求的最小值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，得到，求出，得到，进而可求出椭圆方程；（2）当斜率为时，得到，易求出结果；当直线不斜率为时，设，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及弦长公式等，得到，再令，将原式化为，根据二次函数性质，即可求出结果.【详解】（1）由题意可得：，解得：，所以；故椭圆方程为：；（2）当直线斜率为时，则当直线不斜率为时：设，设直线方程为，联立方程，得，所以令，则式，又令，则，记为，其对称轴，开口向上，所以函数在上单调递减，所以【点睛】本题主要考查求椭圆标准方程，以及直线与椭圆位置关系的应用，熟记椭圆标准方程的求法，椭圆的简单性质，以及弦长公式等即可，属于常考题型，计算量较大.22在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）判断直线与曲线的公共点的个数，并说明理由；（2）设直线与曲线交于不同的两点，点，若，求的值【答案】（1）两个，理由见解析；（2）.【解析】（1）先将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到一元二次方程，根据判别式，即可判断出结果；（2）先由（1）设方程的两根为，得到，再由，得到，求解即可得出结果.【详解】（1）由得，所以，即，将直线的参数方程代入，得，即，由知，故直线与曲线有两个公共点；（2）由（1）可设方程的两根为，则，故，即，.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及由参数的方法判断直线与曲线位置关系，熟记极坐标与直角坐标的互化公式，以及参数方法研究曲线的弦长等即可，属于常考题型.23已知实数满