高中数学 第三节 变换的不变量与矩阵的特征向量课件 新人教A版选修42.ppt

第三节变换的不变量与矩阵的特征向量 1 矩阵的特征值与特征向量的定义对于矩阵实数 及非零向量 特征值 特征向量 2 特征向量的性质 1 设是矩阵a的属于特征值 的一个特征向量 则对于任意的非零常数k 也是矩阵a的属于特征值 的特征向量 2 属于矩阵的不同特征值的特征向量 3 求矩阵的特征值 特征向量的步骤 第一步 列特征多项式f 第二步 求f 0的根 即特征值 第三步 针对不同的特征值 解相应的线性方程组 得一个非零解 即特征向量 不共线 3 特征向量的应用 1 设a是一个二阶矩阵 是矩阵a的属于特征值 的任意一个特征向量 则 n n 2 性质1 设 1 2是二阶矩阵a的两个不同特征值是矩阵a的分别属于特征值 1 2的特征向量 对于任意的非零平面向量 设 其中t1 t2为实数 则对任意的正整数n 有 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 任意向量都可以作为特征向量 2 矩阵a的属于特征值 的特征向量是唯一的 3 每一个二阶矩阵都有特征值及特征向量 4 矩阵a的属于特征值 的特征向量共线 5 矩阵a的特征向量分别为任意非零向量均可以用表示 解析 1 错误 特征向量必须是非零向量 2 错误 矩阵a的属于特征值 的特征向量有无数个 3 错误 如矩阵就没有特征值 也就没有特征向量 4 正确 若是矩阵a的特征向量 则都是矩阵a的特征向量 显然是共线向量 5 正确 都可以表示为 其中t1 t2为实数 的形式 答案 1 2 3 4 5 考向1矩阵特征值 特征向量的求法 典例1 2012 江苏高考 已知矩阵a的逆矩阵a 1 求矩阵a的特征值 思路点拨 首先求出矩阵a 再按照求矩阵特征值的步骤求矩阵a的特征值 规范解答 a 1a e2 a a 1 1 矩阵a的特征多项式为令f 0 解得矩阵a的特征值 1 1 2 4 互动探究 本例中条件不变 试求矩阵a的属于每个特征值的一个特征向量 解析 对于特征值 1 1 解相应的线性方程组是矩阵a的属于特征值 1 1的一个特征向量 对于特征值 2 4 解相应的线性方程组是矩阵a的属于特征值 2 4的一个特征向量 拓展提升 求矩阵特征值 特征向量的四个注意点 1 求矩阵的特征值与特征向量可按照相应的步骤进行 2 特征值与特征向量相对应 属于不同特征值的特征向量一般不共线 3 将特征值代入后得到的方程组若某一变量缺失 实质其系数为0 该变量可任意取值 4 求出特征值是唯一的 而特征向量是不唯一的 但属于同一特征值的特征向量都应该是共线向量 变式备选 2013 福州模拟 设矩阵m是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的2倍 横坐标保持不变的伸缩变换 1 求矩阵m 2 求矩阵m的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量 解析 1 由条件得矩阵 2 因为矩阵的特征多项式为令f 0 解得特征值为 1 1 2 2 设属于特征值 1的矩阵m的一个特征向量为e1 则由线性方程 y 0 得同理 对于特征值 2 得一个特征向量为所以是矩阵m属于特征值 1 1的一个特征向量 是矩阵m属于特征值 2 2的一个特征向量 考向2矩阵的特征值 特征向量的应用 典例2 已知矩阵a的一个特征值 2 属于 的特征向量是 1 求矩阵a 2 求直线y 2x在矩阵a所对应的线性变换下的像的方程 思路点拨 利用特征值 特征向量的定义式列出关于a b的关系式 即可求出a b 即得矩阵a 再利用图形变换的坐标变换公式 求变换后的方程 规范解答 1 由题意解得a 2 b 4 所以 2 代入到直线y 2x中得7x 5y 故变换后的方程是7x 5y 0 拓展提升 利用特征值 特征向量求矩阵的关注点 1 利用特征值 特征向量求矩阵用待定系数法 列相应关系的依据是特征值 特征向量的定义 2 在解题的过程中 还是要注意相关方程组的准确求解 3 此类问题往往与图形变换等知识综合考查 变式训练 已知二阶矩阵m属于特征值3的一个特征向量为并且矩阵m对应的变换将点 1 2 变成点 9 15 求出矩阵m 解析 考向3的简单表示 典例3 2013 泉州模拟 已知矩阵的一个特征值为1 1 求矩阵m的另一个特征值 2 设 思路点拨 1 列出矩阵m的特征多项式f 利用1是f 0的根求a及另一个特征值 2 将向量表示为的形式 再利用公式 规范解答 1 矩阵m的特征多项式又 矩阵m的一个特征值为1 f 1 0 a 0 由f 3 2 0 得 1 1 2 2 所以矩阵m的另一个特征值为2 2 矩阵m的一个特征值为 1 1 对应的一个特征向量为另一个特征值为 2 2 对应的一个特征向量为 拓展提升 表示的三个步骤第一步 求出矩阵a的特征值 1 2 对应的特征向量第二步 设利用向量相等列方程组求t1 t2 第三