高中数学 2.3.1数乘向量课件 北师大版必修4.ppt

3从速度的倍数到数乘向量3 1数乘向量 1 数乘向量的概念与运算律 1 数乘向量 定义 a是一个 长度 方向 向量 a 相同 相反 任意 2 数乘向量的运算律 a r a r a b r a a a a b 2 向量共线的判定定理与性质定理 1 判定定理 a是一个非零向量 若存在一个实数 使得b 则向量b与非零向量a共线 2 性质定理 若向量b与非零向量a共线 则存在一个实数 使得b a a 1 判一判 正确的打 错误的打 1 实数与向量相乘得到数乘向量 实数与向量相加也能得到向量 2 数乘向量的运算满足结合律 分配律 3 若向量a b共线 则一定有a b r 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 非零向量a与向量 2a的方向 2 a a 2a 3 向量e1 e2与向量e2 e1的关系是 解析 1 1 错误 实数 与向量a可以作积 但不可以作加减法 2 正确 由数乘向量的运算律可知正确 3 错误 若向量b 0时 不存在 答案 1 2 3 2 1 非零向量a与向量 2a的方向相反 答案 相反 2 a a 2a a 答案 a 3 因为e1 e2 e2 e1 故两向量共线 答案 共线 要点探究 知识点1数乘向量的定义及运算1 对实数与向量的积的理解 1 从代数的角度来看 是实数 a是向量 它们的积仍然是向量 a 0的条件是a 0或 0 2 从几何的角度来看 对于向量的长度而言 当 1时 有 a a 这意味着表示向量a的有向线段在原方向 0 或反方向 0 上伸长到 倍 当0 1时 有 a a 这意味着表示向量a的有向线段在原方向 0 1 或反方向 1 0 上缩短到原来的 2 对数乘向量的运算律的说明数乘向量满足对实数的结合律 分配律 即数乘向量的运算律类似于实数的运算律 可以类比记忆应用 微思考 1 数乘向量 a的模一定比原来向量a的模大吗 提示 不一定 当 1时模变大 否则模不变或变小 2 实数与向量相乘的结果是实数吗 提示 实数与向量相乘的结果仍然是向量 即时练 1 若a 2 则向量 2a的模为 2 化简 1 a b a b 2 2014 乐清高一检测 2a 8b 4a 2b 解析 1 2a 2 a 2 2 4 答案 42 1 2 由题意 得 2a 8b 4a 2b a 4b 4a 2b 3a 6b 即原式 6b 3a 答案 1 2 6b 3a 知识点2共线向量的判定与性质对向量共线定理的两点说明 1 定理中 之所以规定a 0 因为若a 0 当b 0时 对于任意的实数 均满足b a 当b 0 则不存在实数 满足b a 2 若a b不共线 且 a b 则必有 0 微思考 利用共线向量定理判定向量共线的关键是什么 提示 关键是确定实数 满足a b或b a 即时练 1 已知向量a e e 0 b 2a e 若a b 则 2 已知点c是线段ab的三等分点且靠近a点 则 解析 1 故 答案 2 因为ab bc 故故 答案 题型示范 类型一数乘向量的运算 典例1 1 2014 三亚高一检测 在 abc中 若点d满足则 2 d e f分别为 abc的边bc ca ab的中点 且给出下列等式 其中正确的序号为 解题探究 1 利用向量的加法 题 1 中向量可以表示成哪些向量的和 2 题 2 中三角形的中线 中位线具有什么样的性质 探究提示 1 或2 三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段 中位线是连接两边中点的线段 中线的一个端点是边的中点 中位线平行且等于对边的一半 自主解答 1 选d 方法一 方法二 2 如图 答案 延伸探究 本例题 1 中 若试表示 解析 方法技巧 数乘向量的化简方法 1 不在图形中的简单化简问题依照数乘向量的运算律进行 2 在具体图形中的数乘向量化简一般要利用向量的加法 减法 找到向量间的关系 再利用数乘向量的运算进行化简 3 具体图形中的数乘向量化简要结合图形的性质进行 变式训练 如图所示 已知c d e为ab的四等分点 求 解析 此时 补偿训练 把满足3x 2y a 4x 3y b的向量x y用a b表示出来 解析 由已知得 3 2得x 3a 2b 4 3 得y 4a 3b 所以x 3a 2b y 4a 3b 类型二共线向量定理的应用 典例2 1 2014 遵义高一检测 在四边形abcd中 a 2b 4a b 5a 3b 其中向量a b不共线 则四边形abcd为 a 梯形b 平行四边形c 菱形d 矩形 2 2014 宿迁高一检测 设两个非零向量a与b不共线 若 a b 2a 8b 3 a b 求证 a b d三点共线 试确定实数k 使ka b和a kb共线 解题探究 1 题 1 中能否求出向量 2 题 2 中a b d三点共线应满足什么条件 ka b和a kb共线应满足什么条件 探究提示 1 2 a b d三点共线应满足ka b和a kb共线应满足ka b a kb 自主解答 1 选a 因为 a 2b 4a b 5a 3b 8a 2b 2 故ad bc且ad 2bc 故四边形abcd为梯形 2 因为所以 所以共线 又因为它们有公共点b 所以a b d三点共线 因为ka b与a kb共线 所以存在实数 使ka b a kb 即ka b a kb 所以 k a k 1 b 因为a b是不共线的两个非零向量 所以k k 1 0 所以k2 1 0 所以k 1 方法技巧 用向量共线定理求参数的方法 1 三点a b c共线问题 利用构造方程求参数 2 已知向量ma nb与ka pb a与b不共线 共线求参数的值的步骤 设 设ma nb ka pb 整 整理得ma nb ka pb 故 解 解方程组得参数的值 变式训练 已知向量a 2e1 3e2 b 2e1 3e2 其中e1 e2为不共线向量 1 用向量a b表示e1 e2 2 向量a b是否共线 请说明理由 解题指南 1 联立方程解出向量e1 e2 2 利用a b构造方程组解题 解析 1 由a 2e1 3e2 b 2e1 3e2 联立可解得 2 向量a b不共线 假设向量a b共线 则设a b 可得 无解 故向量a b不共线 补偿训练 mn是 abc的中位线 其中m为ab的中点 n为ac的中点 求证 且mn bc 证明 因为m n是ab ac边上的中点 所以所以 且mn bc 易错误区 忽视共线向量的方向致误 典例 2014 榆林高一检测 若且则 解析 1 当点c在线段ab上时 如图 则即 2 2 当点c在线段ab的延长线上时 如图 则与的方向相反 故 2 答案 2或 2 常见误区 防范措施 重视对向量方向的讨论