高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2对数函数互动课堂学案.docx

3.2 对数函数互动课堂疏导引导2.3.1对数1.对数的定义：一般地，当a0且a1时，若ab=N，则b叫以a为底N的对数,记作logaN=b，其中a叫对数的底数，N叫真数.2.对数式与指数式的互化：ab=NlogaN=b(a0，a1).3.三条对数性质：logaa=1；loga1=0；零和负数没有对数(即真数必须大于零).对数恒等式：alogaN=N(a0,a1,N0).4.常用对数：以10为底的对数称为常用对数，对数log10N简记为lgN.自然对数：以e为底的对数称为自然对数，logeN记为lnN,其中e=2.718 28.案例1对于对数，除了对数的定义，还有对数的性质，你能说说这些相关的内容吗？【探究】对数部分，我们首先应当掌握对数的意义，即对数式与指数式之间的对应关系.另外对于对数我们应该掌握一些常用的性质：如(1)loga1=0(1的对数是0)；(2)logaa=1(底数的对数是1);(3)alogaN=N(对数恒等式)；(4)logaN= (b0且b1)(换底公式)；(5)logaM+logaN=logaMN；(6)logaM-logaN= ；(7)nlogaN=logaNn；(8)logaN=logamNn.以上各式均有条件a0且a1.【溯源】这些常用的性质在指数运算中非常有用，需要记牢.有的性质可以用口诀来帮助记忆，比如，性质(5)(6)(7)可以这样来记：积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前.案例2试计算lg4+lg5lg20+lg25的值.【探究】利用lg2与lg5之间的特殊关系lg2+lg5=lg10=1，或利用lg5与lg20的关系lg20+lg5=lg100=2求解.【答案】原式=lg4+lg5(lg20+lg5)=lg4+lg5lg100=lg4+2lg5=2lg2+2lg5=2(lg2+lg5)=2.【溯源】求几个对数式的加减运算，若每个对数式是同底的，可以利用同底数的对数运算法则化为一个对数式；也可反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对数运算法则化为同底对数的和与差，然后进行合并约简.2.3.2对数函数一般地，函数y=logax(a0,a1)叫做对数函数，它的定义域是(0,+).疑难疏引 由对数的定义，容易知道对数函数ylogax(a0，a1)是指数函数yax(a0，a1)的反函数.利用反函数的性质，由指数函数yax(a0，a1)的定义域xR，值域y0，容易得到对数函数ylogax(a0，a1)的定义域为x0，值域为R.对数函数的性质如下：(1)定义域(0，)，值域(-，)；(2)当a1时，ylogax在(0，)上为增函数；(3)当0a1时，ylogax在(0，)上为减函数；(4)当x1时，y0；(5)当x1，若a1、a21时，底大图低；若0a1、a21时，则底大图高.当0x1时与以上情况正好相反.1.对数函数的图象(1)作对数函数的图象一般有两种方法：一是描点法，即通过列表、描点、连线的方法作出对数函数的图象；二是通过观察它和指数函数图象之间的关系，并利用它们之间的关系作图.2.应用对数函数性质比较大小比较大小是对数函数性质应用的常见题型.比较两个对数式的大小，底相同时，可利用对数性质进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.3.图象平移图象平移在教材中是通过例题引出的，并由这个特殊的例子得出了一般结论：一般地，当a0时，将y=log2x的图象向左平移a个单位长度便得到了函数y=log2(x+a)的图象；当a0时，将函数y=log2x的图象向右平移a个单位长度便可得到函数y=log2(x-a)的图象.4.反函数的图象和性质对数函数y=logax(a0且a1)与指数函数y=ax(a0且a1)互为反函数，这两个函数的图象关于直线y=x对称.案例3 右图是对数函数y=logax当底数a的值分别取，时所对应图象，则相应于C1，C2，C3，C4的a的值依次是()A. ，B. ，C. ，D. ，【探究】因为底数a大于1时，对数函数的图象自左向右呈上升趋势，且a越大，图象就越靠近x轴；底数a大于0且小于1时，对数函数的图象自左向右呈下降趋势，且a越小，图象就越靠近x轴.【答案】 A【溯源】由对数函数的图象间的相对位置关系判断底数a的相互关系，应根据对数函数图象与底数间的变化规律来处理.在指数函数y=ax中，底数a越接近1，相应的图象就越接近直线y=1，对数函数与指数函数是一对反函数，其图象是关于直线y=x对称的，直线y=1关于直线y=x的对称直线是x=1，所以我们有结论：对数函数y=logax，底数a越接近1，其图象就越接近直线x=1.案例4 比较大小：(1)log0.27和log0.29；(2)log35和log65；(3)(lgm)1.9和(lgm)2.1(m1)；(4)log85和lg4.【探究】 (1)log0.27和log0.29可看作是函数y=log0.2x，当x=7和x=9时对应的两函数值，由y=log0.2x在(0，+)上单调递减，得log0.27log0.29.(2)考查函数y=logax底数a1的底数变化规律，函数y=log3x(x1)的图象在函数y=log6x(x1)的上方，故log35log65.(3)把lgm看作指数函数的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lgm与1的关系.若lgm1即m10，则(lgm)x在R上单调递增，故(lgm)1.9(lgm)2.1.若0lgm1即1m10，则(lgm)x在R上单调递减，故(lgm)1.9(lgm)2.1.若lgm=1即m=10，则(lgm)1.9(lgm)2.1. (4)因为底数8、10均大于1，且108，所以log85lg5lg4，即log85lg4.【溯源】两数(式)大小的比较主要是找出适当的函数，把要比较的两数作为此函数的函数值，然后利用函数的单调性等来比较两数的大小，一般采用的方法有：(1)直接法：由函数的单调性直接作答；(2)作差法：把两数作差变形，然后判断其大于、等于、小于零来确定；(3)作商法：若两数同号，把两数作商变形，判断其大于、等于、小于1来确定；(4)转化法：把要比较的两数适当转化成两个新数大小的比较；(5)媒介法：选取适当的“媒介”数，分别与要比较的两数比较大小，从而间接地求得两数的大小.案例5已知函数y=lg(-x)，求其定义域，并判断其奇偶性、单调性.【探究】因为对任意实数x,都有x,所以函数的定义域为R.注意到+x=，即有lg()=-lg()，从而f(-x)=lg=-lg，可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以我们只需研究(0，+)上的单调性.【解】 由题意0，解得xR，即定义域为R，又f(-x)=lg-(-x)=lg(+x)=lg=lg(-x)-1=-lg(-x)=-f(x),y=lg(-x)是奇函数.任取x1、x2(0，+)且x1x2，则+x1+x2，即有-x1-x20，lg(-x1)lg(-x2)，即f(x1)f(x2)成立.f(x)在(0，+)上为减函数.又f(x)是定义在R上的奇函数，故f(x)在(-，0)上也为减函数.【溯源】研究函数的性质一定得先考虑定义域，在研究函数单调性时，注意奇偶性对函数单调性的影响，即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性；奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.疑难疏引 画函数图象是研究函数变化规律的重要手段.画函数图象通常有两种方法：列表法和变换法.变换法有如下几种：平移变换：y=f(x+a)，将y=f(x)的图象向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位而得到；y=f(x)+a，将y=f(x)的图象向上(a0)或向下(a0)平移|a|个单位而得到.翻折变换：y=|f(x)|，将y=f(x)的图象在x轴下方部分沿x轴翻折到x轴的上方，其他部分不变；y=f(|x|)，它是一个偶函数，当x0时,其图象与y=f(x)的图象完全一样；当x0时，其图象与x0时的图象关于y轴对称.对称变换：y=-f(x)，它的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称；y=f(-x)，它的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称；y=-f(-x)，它的图象与y=f(x)的图象关于原点成中心对称.伸缩变换：y=f(ax)(a0)，将y=f(x)图象上各点的横坐标压缩(a1)或伸长(0a1)到原来的a倍，纵坐标不变；y=af(x)(a0)，将y=f(x)图象上各点的横坐标不变，纵坐标压缩(0a1)或伸长(a1)到原来的a倍.案例6作出下列函数的图象：(1)y=|log4x|-1；(2)y=|x+1|.【探究】(1)y=|log4x|-1的图象可以看成由y=log4x的图象经过变换而得到：将函数y=log4x的图象在x轴下方部分以x轴为对称轴翻折上去，得到y=|log4x|的图象，再将y=|log4x|的图象向下平移1个单位，横坐标不变，就得到y=|log4x|-1的图象.(2)y=|x+1|的图象可以看成由y=的图象经过变换而得到：将函数y=的图象作出右边部分关于y轴的对称图象，即得到函数y=的图象，再将所得图象向左平移一个单位，就得到所求的函数y=log|x+1|的图象.【溯源】因为对数函数与指数函数互为反函数，因此要根据互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称的关系，它们的定义域与值域正好交换，它们的对应法则是互逆的这些特征.我们已理解指数函数y=ax中a0且a1，所以对数函数y=logax中也必须a0且a1.案例7 设a0，对于函数f(x)=log3(ax2-x+a)，(1)若xR，求实数a的取值范围；(2)若f(x)R，求实数a的取值范围.【探究】 f(x)的定义域是R，等价于ax2-x+a0对一切实数都成立.而f(x)的值域为R，等价于其真数ax2-x+a能取遍大于0的所有实数值，(1)与(2)虽略有差异，但结果却大不相同.(1)f(x)的定义域为R，则ax2-x+a0对一切实数x恒成立，其等价条件是解得a.(2)f(x)的值域为R，则真数ax2-x+a能取遍大于0的所有实数，其等价条件是解得0a.【溯源】解对数不等式，在转化为代数不等式时，不仅要结合对数函数的单调性脱去对数符号，还要注意使每个对数式都有意义.案例8已知非零常数x、y、z，满足2x=3y=6z，求证：+=.【探究】考查转化的思想方法，指、对式的转化.可以先求出x、y、z，然后由左边推证出右边.【证法一】设2x=3y=6z=k，则x=log2k，y=log3k，z=log6k.+=+ =logk2+logk3=logk6=.【证法二】由2x=3y=6z，有2x=6z，3y=6z.x=log26z=zlog26，y=log36z=zlog36.+=+=(log62+log63)=log66=.活学巧用1.将下列指数式写成对数式：(1)2-2=;(2)0.53=0.125;(3)a0=1(a0,a1).【解】(1)log2=-2;(2)log0.50.125=3;(3)loga1=0(a0,a1).2.将下列对数式写成指数式：(1)log2=-6;(2)lg3=0.477 1；(3)ln不着3=1.098 6；(4)log37=x.【解】(1)2-6=;(2)100.477 1=3;(3)e1.098 6=3;(4)3x=7.3.求下列各式的值：(1)log327；(2)log816;(3)；(4)；(5)3;(6).【解】(1)log327=3;(2)log816=;(3) =-3;(4) =-1;(5);(6).4.求x的值：(1)logx64=2;(2)log5(lgx)=0.【解】 (1)x=8;(2)x=10.5.求x的值：(1)log27x=;(2)logx9=2;(3)log2(log2x)=0.【思路解析】利用对数的定义，或对数式与指数式的互化，也可化为同底的对数来求解.【解】 (1)27=x,x=9;(2)x2=9,x=3,x0,x=3;(3)log2(log2x)=log21,log2x=1,x=2.【借题发挥】若log2(log3(logx)=0,求x的值.【解】x=.6.计算lg14-2lg+lg7-lg18.【思路解析】这是几个对数式的加减运算，考虑利用对数的运算性质来进行化简求值.【解法一】 原式=lg14-lg+lg7-lg18=lg14718=lg1=0.【解法二】 原式=lg2+lg7-2(lg7-lg3)+lg7-(2lg3+lg2)=0.【规律总结】 进行对数运算时，首先还是想到用对数的性质进行化简求值，在化简求值的过程中若发现真数的积是底数的几次幂时，可以灵活运算.7.计算log89log332.【思路解析】 当对数的底不一样时，考虑利用换底公式把底统一.【解】 原式=log332=5log32=.【规律总结】 利用换底公式时，可以换成任意底数，只要利于计算，一般换成题目中有的某一底数.当然像上题也可这样计算：原式=.8.比较下列各组数的大小：(1),log;(2)log20.3,0.2;(3)log0.2(x+1),log0.2(2x+0.5).【思路