导数在研究函数中的应用.doc

导数在研究函数中的应用应用一 研究函数的单调性1判断函数的单调性对于函数，如果在某区间上，那么为该区间上的增函数；如果在某区间上，那么为该区间上的减函数2确定函数单调区间的一般步骤（1）确定函数的定义域；（2）求导函数；（3）在定义域范围内解不等式，求得的相应区间是函数的单调增区间；解不等式，求得的相应区间是函数的单调减区间注意事项：在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，在解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来确定函数的单调区间当增（减）区间由若干个不连续区间组成时，应分别作答，不能用“”连接应用二 求函数的极值1求函数的极值的步骤（1）求函数的定义域；（2）求函数的导数，令，求方程的所有实数根；（3）考察在各实数根左、右的值的符号：如果在两侧符号相同，则不是的极值点；如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值2函数在极值点的导数值为，但导数值为的点不一定是极值点一般地，函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的必要不充分条件，其充分条件是函数在这一点的导数值为0且这点两侧的导函数值异号应用三 求函数的最值1对最值概念的理解函数的最大（小）值是一个整体性概念，是对整个定义域而言的最大值必须是定义域上所有函数值中的最大值，最小值必须是定义域上所有函数值中的最小值2函数的最值与极值的区别与联系（1）函数的极值表示函数在某一点附近的情况，而函数的最值则表示函数在定义域上的整体情况函数在定义域上的极值可能不止一个，也可能没有，且函数的极大值与极小值之间没有必然的联系，函数的极小值不一定比它的极大值小；但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个，且最大值必须是整个定义域上所有函数值中最大的，最小值必须是整个定义域上所有函数值中最小的（2）函数的极值是在局部对函数值的比较，它只能是函数定义域中的内点，而不能是端点；而最值是在整个定义域上对函数值的比较，它可以在端点处取得（3）函数有极值未必有最值，有最值也未必有极值3求函数在闭区间上的最大值与最小值的步骤（）求出函数在上的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值特别地，若函数在上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值， 为函数的最小值导数应用中的两个“误区”误区之一：把“导数值为0的点”等同于“极值点”误区之二：判断单调性时忽略特殊情形误区之一：把“导数值为0的点”等同于“极值点”满足的点是其为极大（小）值点的必要不充分条件，如果把导数值为的点等同于极值点，往往容易导致失误例1函数的极值点是（）（A） （B）（C）或或0 （D）误解：，则由得极值点为，和，故正确答案为（C）剖析：事实上，这三点都是导数值为的点，但是不是极值点呢？由知，当时，；当时，；当时，；当时，在（-，-1）、（-1，0）上单调递减，在（0，1）、（1，+）上单调递增因此只有为极小值点，和都不是极值点故应选（D）例2已知函数在点处取极值，且函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围误解：，由，得，当时，在递减，故所求a的范围为剖析：以上解法忽略了一个细节：解题过程只用到，即是的导数值为的点当时，如果，那么就只是导数值为的点而非极值点因此a的取值范围应为且误区之二：判断单调性时忽略特殊情形当在某区间D上恒大于0时，函数在D上为增函数若反过来，结论如何呢？例3已知函数在实数集上是增函数，求实数m的取值范围误