山东省沂水县高中数学第三章直线的点斜式方程学案【新人教版】.docx

32.1直线的点斜式方程学习目标1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题知识点一直线的点斜式方程思考1如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？答案由斜率公式得k，则x，y应满足yy0k(xx0)思考2经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？答案斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线为xx0.点斜式已知条件点P(x0，y0)和斜率k图示方程形式yy0k(xx0)适用条件斜率存在知识点二直线的斜截式方程思考1已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？答案将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得：ykxb.思考2方程ykxb，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？答案y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零思考3对于直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2.l1l2_，l1l2_.答案k1k2且b1b2k1k21斜截式已知条件斜率k和直线y轴上的截距b图示方程式ykxb适用条件斜率存在类型一直线的点斜式方程例1(1)经过点(3,1)且平行于y轴的直线方程是_(2)直线y2x1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90后得直线l，则直线l的点斜式方程是_(3)一直线l1过点A(1，2)，其倾斜角等于直线l2：yx的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为_答案(1)x3(2)y3(x1)(3)y2(x1)解析(1)直线与y轴平行，该直线斜率不存在，直线方程为x3.(2)由题意知，直线l与直线y2x1垂直，则直线l的斜率为.由点斜式方程可得l的方程为y3(x1)(3)直线l2的方程为yx，设其倾斜角为，则tan 得30，那么直线l1的倾斜角为23060，则l1的点斜式方程为y2tan 60(x1)，即y2(x1)跟踪训练1写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45；(3)经过点C(1，1)，与x轴平行解(1)y54(x2)；(2)直线的斜率ktan 451，直线方程为y3x2；(3)y1.类型二直线的斜截式方程例2(1)倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_答案yx3或yx3解析直线的倾斜角是60，其斜率ktan 60，直线与y轴的交点到原点的距离是3，直线在y轴上的截距是3或3，所求直线方程是yx3或yx3.(2)已知直线l1的方程为y2x3，l2的方程为y4x2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程解由斜截式方程知直线l1的斜率k12，又因为ll1.由题意知l2在y轴上的截距为2，所以l在y轴上的截距b2，由斜截式可得直线l的方程为y2x2.反思与感悟(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在当b0时，ykx表示过原点的直线；当k0时，yb表示与x轴平行(或重合)的直线(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数跟踪训练2(1)已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程；(2)已知直线l1的方程为y2x3，l2的方程为y4x2，直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程解(1)设直线方程为yxb，则x0时，yb；y0时，x6b.由已知可得|b|6b|3，即6|b|26，b1.故所求直线方程为yx1或yx1.(2)l1l，直线l1：y2x3，l的斜率为，l与l2在y轴上的截距互为相反数，直线l2：y4x2，l在y轴上的截距为2，直线l的方程为yx2.类型三平行与垂直的应用例3(1)当a为何值时，直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直？解(1)由题意可知， l1l2，解得a1.故当a1时，直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行(2)由题意可知， l1l2，4(2a1)1，解得a.故当a时，直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直反思与感悟设直线l1和l2的斜率k1，k2都存在，其方程分别为l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，那么：(1)l1l2k1k2，且b1b2；(2)k1k2，且b1b2两条直线重合；(3)l1l2k1k21.跟踪训练3已知在ABC中，A(0,0)，B(3,1)，C(1,3)(1)求AB边上的高所在直线的方程；(2)求BC边上的高所在直线的方程；(3)求过A与BC平行的直线方程解(1)直线AB的斜率k1，AB边上的高所在直线斜率为3且过点C，所以AB边上的高所在直线的方程为y33(x1)(2)直线BC的斜率k21，BC边上的高所在直线的斜率为1且过点A，所以BC边上的高所在直线的方程为yx.(3)由(2)知，过点A与BC平行的直线的斜率为1，其方程为yx.1方程yk(x2)表示()A通过点(2,0)的所有直线B通过点(2,0)的所有直线C通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D通过点(2,0)且除去x轴的所有直线答案C解析易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴2倾斜角是30，且过(2,1)点的直线方程是_答案y1(x2)解析斜率为tan 30，直线的方程为y1(x2)3(1)已知直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则a_；(2)若直线l1yx与直线l2y3x1互相平行，则a_.答案(1)1(2)解析(1)由题意可知a(a2)1，解得a1.(2)由题意可知解得a.4(1)求经过点(1,1)，且与直线y2x7平行的直线的方程；(2)求经过点(2，2)，且与直线y3x5垂直的直线的方程解(1)与直线y2x7平行，该直线斜率为2，由点斜式方程可得y12(x1)，即y2x1所求直线的方程为y2x1.(2)所求直线与直线y3x5垂直，该直线的斜率为，由点斜式方程得：y2(x2)，即yx.故所求的直线方程为yx.1求直线的点斜式方程的方法步骤2直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别(2)直线的斜截式方程ykxb不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断3判断两条直线位置关系的方法直线l1：yk1xb1，直线l2：yk2xb2.(1)若k1k2，则两直线相交(2)若k1k2，则两直线平行或重合，当b1b2时，两直线平行；当b1b2时，两直线重合(3)特别地，当k1k21时，两直线垂直(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑一、选择题1过点(4，2)，倾斜角为150的直线方程的点斜式为()Ay2(x4)By(2)(x4)Cy(2)(x4)Dy2(x4)答案B解析由题意知ktan 150，所以直线的点斜式方程为y(2)(x4)2已知直线的方程是y2x1，则()A直线经过点(1,2)，斜率为1B直线经过点(2，1)，斜率为1C直线经过点(1，2)，斜率为1D直线经过点(2，1)，斜率为1答案C解析方程变形为y2(x1)，直线过点(1，2)，斜率为1.3已知直线l1：yxa，l2：y(a23)x1，若l1l2，则a的值为()A4 B2C2 D2答案C解析因为l1l2，所以a231，a24，所以a2，又由于l1l2，两直线l1与l2不能重合，则a1，即a2，故a2.4下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线yax与yxa正确的是()答案C解析当a0时，直线yax的倾斜角为锐角，直线yxa在y轴上的截距a0，A，B，C，D都不成立；当a0时，直线yax的倾斜角为0，A，B，C，D都不成立；当a0时，直线yax的倾斜角为钝角，直线yxa的倾斜角为锐角且在y轴上的截距a0，b0 Bk0，b0Ck0 Dk0，b0，b0.6已知直线kxy13k0，当k变化时，所有的直线恒过定点()A(1,3) B(1，3)C(3,1) D(3，1)答案C解析直线kxy13k0变形为y1k(x3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)二、填空题7将直线y3x绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位长度，所得到的直线方程为_答案yx解析直线y3x绕原点逆时针旋转90所得到的直线方程为yx，再将该直线向右平移1个单位得到的直线方程为y(x1)，即yx.8直线yax3a2(aR)必过定点_答案(3,2)解析ya(x3)2，即y2a(x3)，直线过定点(3,2)9已知直线y(32k)x6不经过第一象限，则k的取值范围为_答案k解析由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k.10与直线l：yx1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l1的方程为_答案yx3解析根据题意知直线l的斜率k，故直线l1的斜率k1，设直线l1的方程为yxb1，则令y0得它在x轴上的截距a1b1.a1b1b1b1b11，b13.直线l1的方程为yx3.11斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是_答案yx3解析设所求直线方程为yxb，令y0得x，由题意得：|b| 12，|b|b|b|12，4|b|12，b3，所求直线方程为yx3.三、解答题12已知三角形的顶点坐标是A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在的斜截式方程解直线AB的斜率kAB，过点A(5,0)，直线AB的点