2019_2020学年高中数学第3章圆锥曲线与方程22.2抛物线的简单性质学案北师大版.docx

2.2抛物线的简单性质学习目标：1.了解抛物线的轴、顶点、离心率、通径的概念(重点)掌握抛物线上的点的坐标的取值范围、抛物线的对称性、顶点、离心率等简单性质(重点)会用顶点及通径的端点画抛物线的草图(难点)抛物线的简单性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴x轴x轴y轴y轴焦点FFFF准线方程xxyy顶点坐标O(0，0)离心率e1通径长2p思考：观察如图，抛物线标准方程y22px(p0)中，开口大小与p有怎样的关系？提示p越大，抛物线开口越开阔1.判断正误(1)抛物线x22py(p0)有一条对称轴为y轴()(2)抛物线yx2的准线方程是x.()(3)抛物线关于(0，0)对称()答案(1)(2) (3)2拋物线的对称轴为x轴，过焦点且垂直于对称轴的弦长为8.若拋物线的顶点在坐标原点，则其方程为()Ay28xBy28xCy28x或y28x Dx28y或x28yC由题意知通径长2p8，且焦点在x轴上，但开口向左或右不确定，故方程为y28x或y28x.3已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|2，则|BF|_2F(1，0)，由抛物线定义得A点横坐标为1.AFx轴，|BF|AF|2.4顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是_y224x或y224x顶点与焦点距离为6，即6，2p24，又对称轴为x轴，抛物线方程为y224x或y224x.抛物线的几何性质【例1】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长解如图，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且它们坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)则：y2px1，y2px2.又|OA|OB|，xyxy，即xx2px12px20，(x1x2)(x1x22p)0.x10，x20，2p0，x1x2，由此可得|y1|y2|，即线段AB关于x轴对称由于AB垂直于x轴，且AOx30.tan 30，而y2px1，y12p.于是|AB|2y14p.1注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称2解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程1(1)等腰RtABO内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则ABO的面积是()A8p2B4p2C2p2 Dp2(2)已知A，B是抛物线y22px(p0)上不同的两点，O为坐标原点，若|OA|OB|，且AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程(1)B设点A在x轴上方，则由抛物线的对称性及OAOB知，直线OA的方程为yx.由得A(2p，2p)B(2p，2p)，|AB|4p.SABO4p2p4p2.(2)设A(x0，y0)，由题意可知，B(x0，y0)，又F是AOB的垂心，则AFOB，kAFkOB1，即1，yx0，又y2px0，x02p.因此直线AB的方程为x.抛物线的焦半径和焦点弦问题探究问题1抛物线上的点P(x0，y0)与焦点F之间的线段称为焦半径，记作r|PF|.根据抛物线的定义，你能写出焦半径公式吗？提示焦半径公式如下：(1)y22px(p0)，rx0；(2)y22px(p0)，rx0；(3)x22py(p0)，ry0；(4)x22py(p0)，ry0.2设AB是过抛物线y22px(p0)的焦点F的弦，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)你能总结有关焦点弦的结论吗？提示(1)x1x2； (2)y1y2p2；(3)弦长|AB|x1x2p，x1x22p，即当x1x2时，焦点弦最短，是通径，为2p；(4)弦长|AB|(为AB的倾斜角)；(5)以AB为直径的圆必与准线l相切；(6).【例2】(1)过抛物线y28x的焦点，倾斜角为45的直线被抛物线截得的弦长为_(2)过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_(1)16(2) (1)由抛物线y28x的焦点为(2，0)，得直线的方程为yx2，代入y28x得(x2)28x即x212x40.所以x1x212，弦长为x1x2p12416.(2)抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x1.由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中点M的横坐标为，又准线方程为x1，因此点M到抛物线准线的距离为1.1. (变条件)本例(2)的条件“|AB|7”换成“若x1x26”，求|AB|.8y24x，2p4，p2.由抛物线定义知：|AF|x11，|BF|x21，|AB|AF|BF|x1x22628.2.(变条件)本例(2)的条件“|AB|7”换成“|AB|8”，求直线l的方程解抛物线y24x的焦点坐标为(1，0)，若l与x轴垂直，则|AB|4，不符合题意，可设所求直线l的方程为yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20，则由根与系数的关系，得x1x2.又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|x1x2p28，6，解得k1.所求直线l的方程为xy10或xy10.(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论直线与抛物线的位置关系【例3】已知直线l：ykx1，抛物线C：y24x，当k为何值时，直线l与抛物线C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点解将直线l和抛物线C的方程联立得消去y，得k2x2(2k4)x10.(*)当k0时，方程(*)只有一个解，为x，此时y1.直线l与抛物线C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴当k0时，方程(*)为一元二次方程，(2k4)24k2，当0，即k1且k0时，直线l与抛物线C有两个公共点，此时直线l与抛物线C相交；当0，即k1时，直线l与抛物线C有一个公共点，此时直线l与抛物线C相切；当1时，直线l与抛物线C没有公共点，此时直线l与抛物线C相离综上所述，(1)当k1或k0时，直线l与抛物线C有一个公共点；(2)当k1时，直线l与抛物线C没有公共点直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况2如图，过抛物线y2x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值证明设kABk(k0)，直线AB，AC的倾斜角互补，kACk(k0)，直线AB的方程是yk(x4)2.由方程组消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4，2)，B(xB，yB)是上述方程组的解4xB，即xB.以k代换xB中的k，得xC，kBC.所以直线BC的斜率为定值.1抛物线y28x的焦点到直线xy0的距离是()A2B2C. D1D抛物线y28x的焦点为F(2，0)，则d1.故选D.2过抛物线y24x的焦点作一直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|5，则这样的直线()A有且只有一条 B有且只有两条C有无穷多条 D不存在B抛物线的焦点弦中最短的是通径，长为2p45，所以这样的直线有两条3抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其通径的两端与顶点连成的三角形的面积为4，则此抛物线的方程是()Ay28x By24xCy24x Dy28xB设抛物线的方程为y22ax，根据题意知|2a|4，|a|2，a2.抛物线方程为y24x.4若点P在抛物线y2x上，点Q在圆(x3)2y21上，则|PQ|的最小值为_1由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A(3，0)，则|PQ|PA|AQ|PA|1，当且仅当P，Q，A三点共线时取等号，所以当|PA|取得最小值时，|PQ|最小设P(x0，y0)，则yx0，|PA|，当且仅当x0时，|PA|取得最小值，此时|PQ|取得最小值1.5已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离解(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan 6