函数高考数学题选讲 新课标 人教

2006年函数高考数学题选讲 1 北京卷 已知是 上的减函数 那么a的取值范围是 A 0 1 B C D C 解 依题意 有0 a 1且3a 1 0 解得0 a 又当x 1时 3a 1 x 4a 7a 1 当x 1时 logax 0 所以7a 1 0 解得x 故选C 2 重庆卷 如图所示 单位圆中弧AB的长为x f x 表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的 倍 则函数y f x 的图象是 D 解析 如图所示 单位圆中的长为x 与弦AB所围成的弓形面积的2倍 当的长小于半圆时 函数f x 的值增加的越来越快 当的长大于半圆时 函数f x 的值增加的越来越慢 所以函数的图像是D 解2 由题意知f x x sinx 当00 f x x 所以排除A B C 选D 3 浙江卷 对a b R 记max a b 函数f x max x 1 x 2 x R 的最小值是 A 0 B C D 3 C 解 画出y x 1 和y x 2 的图象 根据题意 函数f x 的值应分段处理 得 所以函数f x 的最小值是 4 全国卷I 已知函数y ex的图象与函数y f x 的图象关于直线y x对称 则 A B C D D 解 函数y ex的图象与函数y f x 的图象关于直线y x对称 所以y f x 是y ex的反函数 即f x lnx 选D 5 辽宁卷 设f x 是R上的任意函数 则下列叙述正确的是 A f x f x 是奇函数 B f x f x 是奇函数 C f x f x 是偶函数 D f x f x 是偶函数 D 解 逐一验证 知A B C均不正确 而D中 F x f x f x F x f x f x 即函数F x 为偶函数 故选择答案D 6 湖北卷 关于的方程 给出下列四个命题 存在实数k 使得方程恰有2个不同的实根 存在实数k 使得方程恰有4个不同的实根 存在实数k 使得方程恰有5个不同的实根 存在实数k 使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是 A 0B 1C 2D 3 A 解析 本题考查换元法及方程根的讨论 要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力 据题意可令 则方程化为 1 作出函数的图象 结合函数的图象可知 当t 0或t 1时 原方程有2个不等的根 当0 t 1时 原方程有4个根 当t 1时 原方程有3个根 I 当k 2时 方程 1 有一个正根t 2 相应的原方程的解有2个 方程 1 II 当时 方程 1 有两个相等正根t 相应的原方程的解有4个 III 当k 0时 此时方程 1 有两个不等根t 0或t 1 故此时原方程有5个根 IV 当时 方程 1 有两个不等正根 且此时方程 1 有两正根且均小1 故相应的满足方程的解有8个 故选A 7 天津卷 如果函数 a 0且a 1 在区间 0 上是增函数 那么实数a的取值范围是 B 解 函数y且可以看作是关于ax的二次函数 若a 1 则y ax是增函数 原函数在区间 0 上是增函数 则要求对称轴 0 与a 1矛盾 8 安徽卷 函数f x 对于任意实数x满足条件 若f 1 5 则f f 5 解 由得所以T 4 f 5 f 1 5 则 9 江西卷 设f x log3 x 6 的反函数为f 1 x 若 f 1 m 6 f 1 n 6 27 则f m n 解 f 1 x 3x 6 故 f 1 m 6 f 1 x 6 3m 3n 3m n 27 m n 3 f m n log3 3 6 2 2 10 重庆卷 设a 0且a 1 函数有最大值 则不等式的解集为 2 3 解 有最小值 0 a 1 则不等式的解为 解得2 x 3 所以不等式的解集为 2 3 11 全国卷II 文 已知a R 二次函数 ax2 2x 2a 设不等式f x 0的解集为A 又知集合B x 1 x 3 若A B 求a的取值范围 解 由为二次函数知a 0 令f x ax2 2x 2a 0解得 由此可知 x10 I 当a 0时 A A B 的充要条件是x2 II 当a1 即 3 解得a 2 综上所述 a的取值范围是 12 全国卷II 理 设函数 若对所有的x 0都有成立 求实数a的取值范围 解法一 令g x x 1 ln x 1 ax 对函数g x 求导数 g x ln x 1 1 a令g x 0 解得x ea 1 1 I 当a 1时 对所有x 0 g x 0 所以g x 在 0 上是增函数 又g 0 0 所以对x 0 都有g x g 0 即当a 1时 对于所有x 0 都有f x ax II 当a 1时 对于0 x ea 1 1 g x 0 所以g x 在 0 ea 1 1 是减函数 又g 0 0 所以对0 x ea 1 1 都有g x g 0 即当a 1时 不是对所有的x 0 都有f x ax成立 综上 a的取值范围是 1 解法二 令g x x 1 ln x 1 ax 于是不等式f x ax成立即为g x g 0 成立 对函数g x 求导数 g x ln x 1 1 a令g x 0 解得x ea 1 1 当x ea 1 1时 g x 0 g x 为增函数 当 1 x ea 1 1 g x 0 g x 为减函数 所以要对所有x 0都有g x g 0 充要条件为ea 1 1 0 由此得a 1 即a的取值范围是 1 13 全国I 理 已知函数 设a 0 讨论y f x 的单调性 若对任意x 0 1 恒有f x 1 求a的取值范围 解 f x 的定义域为 1 1 对f x 求导数得f x e ax i 当a 2时 f x e 2x f x 在 0 0 1 和 1 均大于0 所以f x 在 1 1 为增函数 ii 当0 a 2时 f x e 2x f x 在 1 和 1 均大于0 所以f x 在 1 1 为增函数 当a 2时 0 1 令f x 0 解得x1 x2 当x变化时 f x 和f x 的变化情况如下表 f x