创新设计高三数学一轮复习 直线与圆锥曲线的位置关系课件 北师大

能用坐标法解决简单的直线与椭圆 抛物线的位置关系等问题 8 9直线与圆锥曲线的位置关系 1 直线与椭圆的位置关系及判断方法 1 直线和椭圆有三种位置关系 相交 相切 相离 2 直线和椭圆的位置关系的判断 设直线方程 y kx m 椭圆方程 1 a b 0 两方程联立消去y可得 Ax2 Bx C 0 其判别式为 B2 4AC 当 0时 直线与椭圆 当 0时 直线与椭圆 当 0时 直线与椭圆 相交 相切 相离 2 直线与抛物线的位置关系及判断方法 1 直线和抛物线有三种位置关系 相交 两个公共点或一个公共点 相离 无公共点 相切 一个公共点 2 直线和抛物线的位置关系的判断 设直线方程 y kx m 抛物线方程 y2 2px 两方程联立消去y可得方程 Ax2 Bx C 0 若A 0 则直线与抛物线的对称轴平行或重合 若A 0 其判别式为 b2 4ac 当 0时 直线与抛物线相交 当 0时 直线与抛物线相切 当 0时 直线与抛物线相离 1 P 4 2 是直线l被椭圆 1截得的线段的中点 则l的方程是 A x 2y 0B x 2y 4 0C 2x 3y 4 0D x 2y 8 0解析 设线段两端点坐标分别为A x1 y1 B x2 y2 则有 1 1 得 x1 x2 x1 x2 y1 y2 x1 y2 0 又 4 2 是AB的中点 2 即x1 x2 8 y1 y2 4 代入 式 得 8 x1 x2 4 y1 y2 0 整理得k 则l的方程为y 2 x 4 x 2y 8 0 答案 D 2 过椭圆3x2 4y2 48的左焦点引斜率为1的直线交椭圆于AB两点 则 AB 等于 解析 由3x2 4y2 48得 1 a2 16 b2 12 则c 2 过左焦点F 2 0 斜率为1的直线方程为y x 2 代入3x2 4y2 48整理得 7x2 16x 32 0 设A x1 y1 B x2 y2 AB a ex1 a ex2 2a e x1 x2 8 答案 C 3 顶点在原点 焦点在x轴上的抛物线经过点 3 2 过焦点且倾斜角为45 的直线与抛物线交于M N两点 则 MN 等于 A B 8C 16D 8解析 设所求抛物线方程为y2 2px p 0 根据已知条件12 6p 2p 4 则所求抛物线方程为y2 4x MN 8 答案 B 4 若抛物线y2 2px p 0 上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6 则该点的横坐标是 解析 设所求点的坐标为 x0 6 则62 2p 10 解得p 2或p 18 当p 2时 可求得x0 9 当p 18时 可求得x0 1 答案 1或9 以椭圆为例 将椭圆方程 1与y kx m联立可得到一元二次方程Ax2 Bx C 0 1 若直线y kx m过椭圆的右焦点 与椭圆相交于M N两点 则 MN FM FN 2a e x1 x2 例1 P Q M N四点都在椭圆 1上 F为椭圆在y轴正半轴上的焦点 已知共线 共线 且 0 求四边形MQN的面积的最小值和最大值 解答 如图 由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦 相交于焦点F 0 1 且PQ MN 直线PQ NM中至少有一条存在斜率 不妨设PQ的斜率为k 又PQ过点F 0 1 故PQ方程为y kx 1 将此式代入椭圆方程得 2 k2 x2 2kx 1 0 设P Q两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则x1 x2 从而 PQ 2 x1 x2 2 y1 y2 2 即 PQ 1 当k 0时 MN的斜率为 同上可推得 MN 故四边形面积S PQ MN 令u k2 得S 因为u k2 2 当且仅当k 1时 u 2 S 且S是以u为自变量的增函数 所以 S 2 2 当k 0时 MN为椭圆长轴 MN 2 PQ S PQ MN 2 综合 1 2 知 四边形PMQN面积的最大值为2 最小值为 变式1 已知椭圆的中心在坐标原点O 焦点在x轴上 椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形 两准线间的距离为4 1 求椭圆的方程 2 直线l过点P 0 2 且与椭圆相交于A B两点 当 AOB面积取得最大值时 求直线的方程 解答 1 设椭圆方程为 1 a b 0 由已知得 所求椭圆方程为 y2 1 2 由题意知直线l的斜率存在 设直线l的方程为y kx 2 A x1 y1 B x2 y2 由 消去y得关于x的方程 1 2k2 x2 8kx 6 0 由直线l与椭圆相交于A B两点 0 64k2 24 1 2k2 0 解得k2 又由韦达定理得 AB 原点O到直线l的距离d S AOB 令m m 0 则2k2 m2 3 S 当且仅当m 即m 2时 Smax 此时k 所求直线方程为 x 2y 4 0 解决弦中点问题有两种方法 一是利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式来构造关系 二是利用弦端点在曲线上 坐标满足曲线方程 用点差法构造出中点坐标和斜率的关系 1 求过点O F 并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程 2 设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A B两点 线段AB的垂直平分线与x轴交于点G 求点G横坐标的取值范围 解答 1 a2 2 b2 1 c 1 F 1 0 l x 2 圆过点O F 圆心M在直线x 上 设M t 则圆半径r 2 由 OM r 得 解得t 所求圆的方程为 x 2 y 2 例2 如图 已知椭圆 y2 1的左焦点为F O为坐标原点 2 设直线AB的方程为y k x 1 k 0 代入 y2 1 整理得 1 2k2 x2 4k2x 2k2 2 0 直线AB过椭圆的左焦点F 方程有两个不等实根 记A x1 y1 B x2 y2 AB中点N x0 y0 如图所示 则x1 x2 y0 k x0 1 AB的垂直平分线NG的方程为y y0 令y 0 得xG x0 ky0 k 0 xG 0 点G横坐标的取值范围为 变式2 设A x1 y1 B x2 y2 两点在抛物线y 2x2上 l是AB的垂直平分线 1 当且仅当x1 x2取何值时 直线l经过抛物线的焦点F 证明你的结论 2 当直线l的斜率为2时 求l在y轴上截距的取值范围 解决垂直与三点共线等问题是利用一元二次方程根与系数之间的关系及垂直或三点共线的充要条件构造关系进行求解 例3 在直角坐标系xOy中 点P到两点 0 0 的距离之和为4 设点P的轨迹为C 直线y kx 1与C交于A B两点 1 写出C的方程 2 若OA OB 求k的值 3 若点A在第一象限 证明 当k 0时 恒有 OA OB 解答 1 设P x y 由椭圆定义可知 点P的轨迹C是以 0 0 为焦点 长半轴为2的椭圆 它的短半轴b 1 故曲线C的方程为x2 1 2 设A x1 y1 B x2 y2 其坐标满足消去y并整理得 k2 4 x2 2kx 3 0 故x1 x2 x1x2 若OA OB 即x1x2 y1y2 0 而y1y2 k2x1x2 k x1 x2 1 于是x1x2 y1y2 1 0 化简得 4k2 1 0 所以k 3 OA 2 OB 2 3 x1 x2 x1 x2 因为A在第一象限 故x1 0 由x1x2 知x20 又k 0 故 OA 2 OB 2 0 即在题设条件下 恒有 OA OB 变式3 原创题 已知椭圆方程为 1 a b 0 过椭圆焦点F c 0 的直线与椭圆相交于P Q两点 R点为P点关于x轴的对称点 且A 0 试证R Q A三点共线 证明 如图 设直线PQ的方程为y k x c 代入 1整理得 a2k2 b2 x2 2a2ck2x a2c2k2 a2b2 0 4a4k4c2 4 a2k2 b2 a2c2k2 a2b2 4a2b4 k2 1 0 设P x1 y1 Q x2 y2 则 1 解决直线与椭圆的位置关系问题 如果直线与椭圆有两个不同交点 若根据已知条件便于求出两交点的坐标不失为一种彻底有效的方法 若两交点的坐标不好表示 可将直线方程y kx c代入椭圆方程 1整理出关于x 或y 的一元二次方程Ax2 Bx C 0 B2 4AC 0 可利用根与系数之间的关系求弦长 弦长为 方法规律 2 弦的中点问题 以及交点与原点连线的垂直等问题 求弦长可注意弦是否过椭圆焦点 弦的中点问题还可利用 点差法 和对称法 解决AO BO 可以利用向量AO BO的充要条件是AO BO 0 2009 辽宁 本小题满分12分 已知椭圆C经过点A 两个焦点为 1 0 1 0 1 求椭圆C的方程 2 E F是椭圆C上的两个动点 如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数 证明 直线EF的斜率为定值 并求出这个定值 考卷实录 1 由已知条件c 1 2a 4 即a 2 则b2 a2 c2 3 因此所求椭圆方程为 1 2 设AE直线方程为y k x 1 即y kx k代入整理得 4k2 3 x2 4k 3 2k x 3 2k 2 12 0 设E x1 y1 F x2 y2 则x1 将k换为 k可得x2 答题模板 y1 y2 k x1 x2 2k 点击此处进入作业手册 2009年辽宁考