函数的性质二高三数学课件新课标人教

函数的性质 二 三 函数的周期性 1 函数f x 对于定义域内任意的x 满足f x a f x a 0 a为常数 则f x 是周期为a的周期函数 其中满足条件的最小的正数a叫做最小正周期 2 类比 三角函数图象 得 若y f x 图像有两条对称轴x a x b a b 则y f x 必是周期函数 且一周期为T 2 a b 若y f x 图像有两个对称中心A a 0 B b 0 a b 则y f x 是周期函数 且一周期为T 2 a b 如果函数y f x 的图像有一个对称中心A a 0 和一条对称轴x b a b 则函数y f x 必是周期函数 且一周期为T 4 a b 例 已知定义在R上的函数f x 是以2为周期的奇函数 则方程f x 0在 2 2 上至少有 个实数根 5 3 由周期函数的定义推得 函数f x 满足f x a f x a 0 则f x 是周期为2a的周期函数 若f x a a 0 恒成立 则T 2a 若f x a a 0 恒成立 则T 2a 例 1 设f x 是 上的奇函数 f x 2 f x 当0 x 1时 f x x 则f 47 5 等于 0 5 2 定义在R上的偶函数f x 满足f x 2 f x 且在 3 2 上是减函数 若 是锐角三角形的两个内角 则f sin f cos 的大小关系为 3 已知f x 是偶函数 且f 1 993 g x f x 1 是奇函数 则f 2007 的值是 993 4 设f x 是定义域为R的函数 且f x 2 1 f x 1 f x 又f 2 2 则f 2006 四 抽象函数 抽象函数 抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式 只给出了其它一些条件 如函数的定义域 单调性 奇偶性 解析递推式等 的函数问题 求解抽象函数问题的常用方法有如下几种常见形式 1 借鉴模型函数进行类比探究 几类常见的抽象函数 正比例函数型 幂函数型 指数函数型 对数函数型 三角函数型 例 已知f x 是定义在R上的奇函数 且f x 为周期函数 若它的最小正周期为T 则 0 2 利用函数的性质 如奇偶性 单调性 周期性 对称性等 进行演绎探究 例 1 设函数f x x N 表示除以3的余数 则对任意的x y N 都有 A f x 3 f x B f x y f x f y C f 3x 3f x D f xy f x f y A 2 设f x 是定义在实数集R上的函数 且满足f x 2 f x 1 f x 如果f 1 lg 3 2 f 2 lg15 则f 2007 1 解 f x 3 f x 2 f x 1 f x 1 f x f x 1 f x 所以f x 的周期是T 6 f 2007 f 3 f 2 f 1 1 3 设f x 是定义在R上的奇函数 且f x 2 f x 证明 直线x 1是函数y f x 图象的一条对称轴 证明 由已知f 1 x f x 1 又f x 为奇函数 f x 1 f 1 x 所以f 1 x f 1 x 即f x 的图象关于x 1对称 3 利用一些方法 如赋值法 令x 0或1 求出f 0 或f 1 令y x或y x等 递推法 反证法等 进行逻辑探究 例 1 若x R f x 满足f x y f x f y 则f x 的奇偶性是 奇函数 2 若x R x 0 f x 满足f xy f x f y 则f x 的奇偶性是 偶函数 解 令x 1 y 1代入得f 1 0 令x 1 y 1代入得f 1 0 令y 1代入得f x f x f 1 f x 所以f x 是偶函数 综合应用 C 例一 设f x 是定义在R上最小正周期为T的函数 则f 2x 3 是 A 最小正周期为T的函数 B 最小正周期为2T的函数 C 最小正周期为的函数 D 不是周期函数 例二 设定义在R上的函数f x 的最小正周期为2 且在区间 3 5 内单调递减 则a f log0 52 b f 4 和c f 的大小关系是 按从小到大的顺序 a c b 解 因为T 2 所以a f log0 52 f 5 b f 4 f 4 c f f 8 又4 8 5 f x 在 3 5 内单调递减 所以a c b 例四 若定义在实数集上的函数y f x 是一个最小正周期为3的周期函数 且已知f x 求f f 的值 解 函数f x 的最小正周期是3 f f 3 3 3 f f 3 3 f f 6 2 例五 设函数y f x 是奇函数 对于任意x y R都有f x y f x f y 且当x 0时 y 0 f 1 2 求函数y f x 在区间 3 3 上的最大值和最小值 解 设x1 x2 3 3 且x10 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 f x1 f x2 x1 0 函数y f x 为减函数 当x 3时 f 3 3f 1 6 为最小值 当x 3时 f 3 3f 1 6为最大值 例六 设函数f x 的定义域为R 且在定义域R上总有f x f x 2 又当 1 x 1时f x x2 2x 1 当3 x 5时 求f x 的解析式 2 试判断函数f x 在 3 5 上单调性 并给予证明 分析 证明函数单调性用单调性定义 解 1 f x 4 f x 2 2 f x 2 f x 当3 x 5时 1 x 4 1依题意知f x f x 4 x 4 2 2 x 4 x2 6x 8 3 x 5 2 证明任取x1 x2 30 f x1 f x2 f x 在 3 5 上为增函数 反思 本题由条件f x f x 2 比较隐蔽 注意挖掘 例七 设f x 是定义在R上的偶函数 其图象关于直线x 1对称 对于任意x1 x2 0 都有f x1 x2 f x1 f x2 且f 1 a 0 1 求f 及f 2 证明f x 是周期函数 3 记an f 2n 求 解 1 f 1 f