高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 第4讲 函数的单调性与最值课件 理.ppt

第4讲函数的单调性与最值 1 函数的单调性 f x1 f x2 f x 0 2 函数的最大 小 值 f x0 m 1 函数y x2 6x的单调递减区间是 d a 2 c 3 b 2 d 3 2 已知函数f x 的值域是 2 3 则函数f x 2 的值域为 d a 4 1 c 4 1 0 5 b 0 5 d 2 3 3 2011年新课标 下列函数中 既是偶函数又在 0 单调递增的函数是 a y x3c y x2 1 b y x 1d y 2 x 解析 由图象知选b b 4 人教a版必修1p31例4改编 f x 2x 1 x 2 6 则 f x 的最大值为 最小值为 2 考点1 利用定义判断函数的单调性 1 判断函数f x 的奇偶性 2 若f x 在区间 2 上是增函数 求实数a的取值范围 解 1 当a 0时 f x x2为偶函数 则f x 既不是奇函数也不是偶函数 规律方法 1 利用增 减函数的定义证明或判断函数的单调性 其步骤是 设出指定区间上的任意两个值 作差 变形 判符号 定结论 互动探究 2xx 1 在区间 0 1 1 试用函数单调性的定义判断函数f x 上的单调性 解 任取x1 x2 0 1 且x1 x2 考点2 利用导数判断函数的单调性 例2 1 若f x x3 6ax的单调递减区间是 2 2 则a 的取值范围是 a 0 c 2 b 2 2 d 2 答案 c 2 若f x x3 6ax在区间 2 2 上单调递减 则a的取值 范围是 a 0 c 2 b 2 2 d 2 答案 d 规律方法 1 在研究函数的单调性时 应先确定函数的定义域 函数的单调性是对某一个区间而言的 若f x 在区间a与b上都是单调递增 或递减 函数 则在a b上不一定单调 2 注意f x 在区间a上单调递减与f x 的单调递减区间为a的区别 本题中f x 的单调递减区间 2 2 是指方程f x 3x2 6a 0的两根为 2 第 2 小题f x 在 2 2 上单调递减是指f x 3x2 6a 0在 2 2 上恒成立 互动探究 函数 则a的取值范围是 a 1 0 c 0 3 b 1 d 3 d 考点3函数的最值与值域例3 求下列函数的值域 3x 2 3x 6 8 3 解 1 方法一 y x 2x 2 8x 2 8x 2 0 y 3 函数y 3x 2x 2 的值域是 y y r 且y 3 方法二 由y 3x 2x 2 2 y 1 得x y 3 y 3 令y 2时 f x 单调递增 当 2 x 0或0 x 2时 f x 单调递减 故当x 2时 f x 极大值 f 2 4 当x 2时 f x 极小值 f 2 4 所求函数的值域为 4 4 规律方法 常用的求值域的方法有 代入法 适用于定义域为有限集的函数 分离系数法 若函数y f x 解析式中含有 x x2 sinx cosx等元素 又能用y表示出来 则利用这些元素的有界性解出y的范围 配方法 适用于二次函数类的函数 反函数法 适用于形如y ax bcx d 类的函数 mx2 nx p 判别式法 适用于形如y ax2 bx c 类的函数 换元法 主要处理一些根式类的函数 不等式法 借助于不等式的性质和均值不等式等工具求最值 最值法 通过求导数进而求出最值 求三角函数的值域主要有三条途径 将sinx或cosx用所求变量y来表示 如sinx f y 再由 sinx 1得到一个关于y的不等式 f y 1 从而求得y的取值范围 3x 2 3 y 互动探究 3 求下列函数的值域 1 y 5 4x 2 y x2 x 2 3x2 1x2 2 难点突破 利用函数的单调性求参数范围例题 1 已知函数f x logk 1 kx 在 0 2 上是关于x的增函数 则k的取值范围是 解析 函数f x logk 1 kx k 0且k 1 则1 kx单调递减 又函数f x logk 1 kx 在 0 2 上是关于x的增函数 则f t logkt单调递减 有0 k 1 则实数a的取值范围为 a 1 c 4 8 b 4 8 d 1 8 解析 函数f x 在 1 和 1 上都为增函数 且f x 在 1 上的最高点不高于其在 1 上的最低点 答案 b 1 利用定义判断或证明函数的单调性 函数的单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变化趋势 任意 两个字是必不可少的 如果只用其中两点的函数值 比如说端点值 进行大小比较是不能确定函数的单调性的 注意定义的如下两种等价形式 设任意x1 x2 a b 那么 1 f x1 f x2 x1 x2 0 f x 在 a b 上是增函数 f x1 f x2 x1 x2 0 f x 在 a b 上是减函数 2 x1 x2 f x1 f x2 0 f x 在 a b 上是增函数 x1 x2 f x1 f x2 0 f x 在 a b 上是减函数 数的定义域 其次对单调区间的表述要准确 如函数f x 的 2 求函数的单调区间 讨论函数单调性必须在其定义域内进行 函数的单调区间是其定义域的子集 因此 讨论函数的单调性时 应先确定函 单调减区间为 0 和 0 而不能表述为 0 0 有的函数既无最大值也无最小值 如y 3 复合函数的单调性 对于复合函数y f g x 若t g x 在区间 a b 上是单调函数 且y f t 在区间 g a g b 或者 g b g a 上是单调函数 若t g x 与y f t 的单调性相同 同时为增或减