创新设计高三数学一轮复习 双曲线课件 北师大

了解双曲线的定义 几何图形和标准方程 知道它的简单几何性质 8 8双曲线 1 双曲线的定义 平面内到两定点F1 F2的距离的差的绝对值为常数 小于 F1F2 且不为零 的动点M的集合叫双曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点 两焦点间的距离叫做焦距 1 设M x y 是双曲线上任意一点 双曲线焦点F1 F2的坐标分别为 c 0 c 0 又点M与点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数2a 2c 2a 0 则双曲线的标准方程是 其中b2 c2 a2 a 0 b 0 2 双曲线的标准方程 3 双曲线的简单几何性质 1 方程表示的图形是 A 双曲线B 双曲线的右支C 一条直线D 一条射线答案 D 2 与方程等价的方程是 答案 C 3 已知双曲线的焦点为F1 F2 点M在双曲线上 且MF1 x轴 则F1到直线F2M的距离为 解析 由知 a b c 3 MF1 MF2 MF1 2a F1F2 6 F1到F2M的距离为答案 C 4 设点P在双曲线上 若F1 F2为此双曲线的两个焦点 且 PF1 PF2 1 3 则 F1PF2的周长等于 A 22B 16C 14D 12解析 本题考查双曲线的方程及定义等知识 由题意 a 3 b 4 c 5 根据题意 点P在靠近焦点F1的那支上 且 PF2 3 PF1 所以由双曲线的定义 PF2 PF1 2 PF1 2a 6 PF1 3 PF2 9 故 F1PF2的周长等于3 9 10 22 答案 A 在第一定义中 PF1 PF2 2a 其中2a F1F2 a 0 当 PF1 PF2 2a或 PF2 PF1 2a时 点P的轨迹是双曲线的一支 当 F1F2 2a时 PF1 PF2 2a表示两条射线 当 F1F2 2a时 轨迹不存在 在第二定义中 定点F不在定直线l上 若F l 则动点的轨迹为两条直线 定点除外 第一定义的应用主要是解焦点三角形问题 第二定义的应用主要是与准线和焦点有关的距离的最大 小 值问题 类似于椭圆问题 若P为双曲线 1 a 0 b 0 上一点 且F1 F2为双曲线的左 右焦点 则可根据所给条件解焦点 PF1F2 例1 已知双曲线16x2 9y2 144 F1 F2是左 右焦点 点P在双曲线上 且 PF1 PF2 32 求 F1PF2 解答 由16x2 9y2 144得 1 根据已知条件 6 且 F1F2 10 由 得 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 36 又 PF1 PF2 32 PF1 2 PF2 2 100 则 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 F1PF2为直角三角形 因此 F1PF2 90 1 求双曲线的标准方程首先要做的是确定焦点的位置 如果不能确定 解决方法有两种 一是对两种情形进行讨论 有意义的保留 无意义的舍去 二是设双曲线方程为mx2 ny2 1 mn 0 解出的结果如果是m 0 n 0 那么焦点在x轴上 如果m 0 n 0 那么焦点在y轴上 在已知双曲线的两个焦点及经过一个点时 可以用双曲线的定义直接求出a 2 在曲线形状未知的情况下 可利用求轨迹方程的方法求双曲线方程 特别要注意根据定义进行判断 利用标准方程进行化简和整理 例2 已知定圆C1 x 3 2 y2 16和C2 x 3 2 y2 4 动圆C和C1 C2都外切 求动圆圆心C的轨迹方程 解答 设动圆半径为r 圆心C的坐标为 x y 根据已知条件 得 CC1 CC2 2 所求动圆圆心C的轨迹是以C1 3 0 C2 3 0 为焦点 实轴长为2的双曲线的右支 又a 1 c 3 则b2 8 因此所求动圆圆心的轨迹方程为x2 1 x 1 变式2 已知定点A 3 0 和定圆C x 3 2 y2 16 动圆和圆C相切 并过点A 求动圆圆心P的轨迹方程 解答 设动圆的半径为r 动圆圆心P的坐标为 x y 根据已知条件 即 PC PA 4 则动圆圆心的轨迹是以C 3 0 A 3 0 为焦点 实轴长2a 4的双曲线 其方程为 由双曲线方程研究性质或根据性质确定曲线方程时 首先要确定虚实轴在哪个坐标轴上 否则就分类讨论 渐近线是圆锥曲线中仅双曲线具有的特殊性质 渐近线确定了双曲线的开口程度 但渐近线方程确定其对应的双曲线不一定确定 例3 如图 已知F1 F2为双曲线 1 a 0 b 0 的焦点 过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P 且 PF1F2 30 求双曲线的渐近线方程 变式3 已知双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点为F 若过点F且倾斜角为60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 则此双曲线离心率的取值范围是 A 1 2 B 1 2 C 2 D 2 答案 C 1 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用与椭圆有关问题都是类似的 2 当涉及到双曲线上点到焦点或到准线的距离时 要注意双曲线是两条曲线 点有可能在其中的一支上 如例1 3 在已知双曲线上一点P与两个焦点F1 F2 构成的 PF1F2中 PF1 PF2 2a F1F2 2c 再给出一个条件时 焦点 PF1F2可解 如例3 方法规律 本小题满分4分 给出问题 F1 F2是双曲线的焦点 点P在双曲线上 若点P到焦点F1的距离等于9 求点P到焦点F2的距离 某学生的解答如下 双曲线的实轴长为8 由 PF1 PF2 8 即 9 PF2 8 得 PF2 1或17 该学生的解答是否正确 若正确 请将他的解题依据填在下面横线上 若不正确 将正确结果填在下面横线上 解析 本小题主要考查双曲线的概念与性质等基础知识 以及考生分析问题的能力和思维的深刻性 因为双曲线上的点到焦点的最短距离为双曲线顶点到对应焦点的距离 即c a 所以 PF2 6 4 2 故 PF2 1应该舍去 答案 PF2 17 答题模板 双曲线和椭圆一样 都是一种重要的圆锥曲线 从定义到方程的结构形式 到题型 到解题方法都可以类比 迁移 它的地位和功能与椭圆相似 因此 命题中如果大题出现了椭圆 那么小题一般会是双曲线问题 反之亦然 双曲线以考查性质为主 形式上或为给出标准方程来研究双曲线性质 或为给定双曲线的某些几何