高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 第13讲 导数的意义及运算课件 理.ppt

第13讲导数的意义及运算 1 函数导数的定义 2 导数的几何意义和物理意义 1 导数的几何意义 函数y f x 在点x0处的导数f x0 的几何意义 就是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 相应地 切线方程为y f x0 f x0 x x0 2 导数的物理意义 在物理学中 如果物体运动的规律是s s t 那么该物体在时刻t0的瞬时速度为v s t0 如果物体运动的速度随时间变化的规律是v v t 则该物体在时刻t0的瞬时加速度为a v t0 3 基本初等函数的导数公式表 0 x 1 ex sinx 4 运算法则 u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x 的导函数y x2 x2 1 已知函数f x 4 2x2 则f x c a 4 x b 8 x c 8 2x d 16 x 2 函数y sinxx xcosx sinxx2 解析 y sinx x sinx x xcosx sinx a 4 2014年广东 曲线y 5ex 3在点 0 2 处的切线 方程为 5x y 2 0 解析 y 5ex x 0 5 即斜率为k 5 所以切线的方程为y 5x 2 即5x y 2 0 考点1 导数的概念 例1 设f x 在x0处可导 下列式子中与f x0 相等的是 a b c d 所以 正确 故选b 答案 b 规律方法 本题需直接变换出导数的定义式 limk 0 f x0 k f x0 k f x0 其中k 一般用 x表示 可正可负 定义式的关键是一定要保证分子与分母中k的一致性 f x0 k f x0 d 互动探究 1 若f x0 2 则limk 0 2k a a 1 b 2 c 1 考点2 导数的计算 例2 1 函数f x sinx a2的导函数f x 解析 函数f x sinx a2的自变量为x a为常量 f x cosx 答案 cosx 2 2015年天津 已知函数f x axlnx x 0 其中a为实数 f x 为f x 的导函数 若f 1 3 则a的值为 解析 f x a 1 lnx f 1 a 3 答案 3 3 已知函数f x 的导函数为f x 且满足f x 3x2 2x f 2 则f 5 解析 对f x 3x2 2xf 2 求导 得f x 6x 2f 2 令x 2 得f 2 12 再令x 5 得f 5 6 5 2f 2 6 答案 6 规律方法 求函数的导数时 要准确地把函数分割为基本函数的和 差 积 商 再利用运算法则求导数 对于不具备求导法则的结构形式要进行适当的恒等变形 注意求函数的导数 尤其是对含有多个字母的函数 时 一定要清楚函数的自变量是什么 对谁求导 如f x x2 sin 的自变量为x 而f x2 sin 的自变量为 互动探究 2 设函数f x 在 0 内可导 且f ex x ex 则f 1 2 考点3 曲线的几何意义 例3 1 2015年新课标 已知函数f x ax3 x 1的图象在点 1 f 1 处的切线过点 2 7 则a 解析 f x 3ax2 1 f 1 3a 1 即切线斜率k 3a 1 又 f 1 a 2 切点为 1 a 2 切线过 2 7 a 2 71 2 3a 1 解得a 1 答案 1 2 2013年大纲 已知曲线y x4 ax2 1在点 1 a 2 处切线的斜率为8 则a a 9 b 6 c 9 d 6 解析 y 4x3 2ax 由导数的几何意义知在点 1 a 2 处的切线斜率k y x 1 4 2a 8 解得a 6 答案 d 3 2012年新课标 曲线y x 3lnx 1 在点 1 1 处的切线方 程为 解析 y 3lnx 4 切线的斜率为4 则切线方程为 4x y 3 0 答案 4x y 3 0 规律方法 求曲线y f x 在点p x0 f x0 处 该点为切点 的切线方程 其方法如下 求出函数y f x 在x x0处的导数f x0 即函数y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 切点为p x0 f x0 切线方程为y f x0 f x0 x x0 x 0 上点p处的切线垂直 则p的坐标为 互动探究 3 2015年陕西 设曲线y ex在点 0 1 处的切线与曲线y 1 1 易错 易混 易漏 混淆 在某点处的切线 与 过某点的切线 致误例题 已知函数f x ax3 bx2 3x在x 1处取得极值 若过点a 0 16 作曲线y f x 的切线 则切线方程为 正解 f x 3ax2 2bx 3 由题意x 1是方程f x 0的根 3a 2b 3 0 3a 2b 3 0 解得 a 1 b 0 曲线方程为y x3 3x 点a 0 16 不在曲线上 答案 9x y 16 0 失误与防范 1 通过例题的学习 要彻底改变 切线与曲线有且只有一个公共点 直线与曲线只有一个公共点 则该直线就是切线 这一传统误区 如 直线y 1与y sinx相切 却有无数个公共点 而 直线x 1与y x2只有一个公共点 显然直线x 1不是切线 2 求曲线y f x 在点p x0 f x0 处 该点为切点 的切线方 程 其方法如下 求出函数y f x 在x x0处的导数f x0 即函数y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 切点为p x0 f x0 切线方程为y f x0 f x0 x x0 3 求曲线y f x 外一点p x0 f x0 该点不一定为切点 的切线方程 其方法如下 设切点a xa ya 求切线的斜率k f xa 利用斜率公式k y0 ya f xa 建立关于xa的方程 解x0 xa 出xa 进而求出切线方程 1 导数的几何意义是切线的斜率 物理意义是速度与加速度 代数意义就是瞬时增长率 瞬时变化率等 3 过点求切线方程应注意该点是否为切点 特别提醒 求 在