函数应用举例第三章第三节新课标人教

3 3函数应用举例 思想方法 1 方程思想就是在解决数学问题时 先设定一些未知数 然后把它们当成已知数 根据题设各量之间的制约关系 列出方程 求得未知数 或如果变量间的数量关系是用解析式的形式 函数形式 表示出来的 那么可把解析式看作是一个方程 通过解方程或对方程的研究 使问题得到解决 这便是方程的思想 方程思想是对方程概念的本质认识 用于指导解题就是善于利用方程知识或方程观点观察处理问题 思想方法 2 函数思想函数的应用 实质上是函数思想方法的应用 其处理问题的一般方法是根据题意 建立 量 与 量 之间的函数关系 把实际问题转化为函数问题 通过函数问题的解决达到实际问题的解决 3 函数思想与方程思想的关系函数思想与方程思想是密切相关的 如函数问题 例如 求反函数 求函数的值域等 可以转化为方程问题来解决 方程问题也可以转化为函数问题加以解决 如解方程f x 0 就是求函数y f x 的零点 解不等式f x 0 或f x 0 就是求函数y f x 的正负区间 与函数有关的应用题 经常涉及物价 利润 路程 产值 环保等实际问题 也可涉及角度 面积 体积 造价的最优化问题 返回 高考中经常涉及的问题 一是认真读题 缜密审题 确切理解题意 明确问题的实际背景 然后进行科学的抽象 概括 将实际问题归纳为相应的数学问题 二是要合理选取参变数 设定变元后 就要寻找它们之间的内在联系 选用恰当的代数式表示问题中的关系 建立相应的函数 方程 不等式等数学模型 最终求解数学模型使实际问题获解 解答数学应用题的要领 关键是确切建立相关函数解析式 然后应用函数 方程和不等式的有关知识加以综合解答 1 一次函数模型 y kx b 2 二次函数模型 3 指数函数模型 4 对数函数模型 5 幂函数模型 常见的函数模型 解函数应用题的流程图 实际问题 建立函数模型 数学结果 实际结果 6 命题预测 按照新课表的理念 数学的应用应该得到加强 将函数和导数结合起来 利用函数建立模型 利用导数解决问题 通过函数模型的建立求问题的最优解法都是考察的方向 复习中要重视关于一次函数 二次函数 对数函数 指数函数的综合题型 重视关于函数的数学建模问题 重视函数在经济活动和生活实际中的应用问题 学会用数学思想和方法寻求规律找出解题策略 典型例题 2500m2 1 有一批材料可以建成200m的围墙 如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地 中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形 如图所示 则围成的矩形最大面积为 围墙厚度不计 2 统计表明 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 升 关于行驶速度 千米 小时 的函数解析式可以表示为 已知甲 乙两地相距100千米 I 当汽车以40千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 II 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 3 设计一幅宣传画 要求画面面积为4840cm2 画面的宽与高的比为 1 画面的上 下各留8cm空白 左 右各留5cm空白 怎样确定画面的高与宽尺寸 能使宣传画所用纸张面积最小 解 设画面高为xcm 宽为 xcm 则 x2 4840 设纸张面积为S 有S x 16 x 10 x2 16 10 x 160 3分将 代入上式 得 20 练习 练习 2 已知方程 x ax 1 0仅有一个负根 则a的取值范围是 A a1D D 3 某一种商品降价10 后 欲恢复原价 则应上调 A 10 B 9 C 11 D 11 1 D 4 偶函数f x 在 0 内是减函数 若f 1 f lgx 则实数x的取值范围是 练习 5 已知函数 1 当a 1 2时 求函数f x 的最小值 2 若对任