创新设计高三数学一轮复习 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 北师大

理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 会用两个原理分析和解决一些简单的计数应用问题 10 1分布加法计数原理与分布乘法计数原理 第十单元排列组合与概念 1 分类加法计数原理 做一件事情 完成它可以有两类不同方案 在第一方案中有m种不同的方法 在第二类方案中有n种不同的方法 那么完成这件事共有N m n种不同的方法 2 分步乘法计数原理做一件事情 完成它需要两个步骤 做第一步有种m不同的方法 做第二步有n种不同的方法 那么完成这件事共有N m n种不同的方法 1 由0 1 2 3这四个数字组成的四位数中 有重复数字的四位数共有 A 238个B 232个C 174个D 168个解析 可用排除法由0 1 2 3可组成的四位数共有3 43 192 个 其中无重复的数字的四位数共有3 18 个 故有重复数字的四位数共有192 18 174 个 答案 C 2 已知集合A 5 B 1 2 C 1 3 4 从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标 则确定的不同点的个数为 A 33B 34C 35D 36解析 答案 A 3 上一个n层的台阶 若每次可上一层或两层 设所有的不同上法的总数为f n 则下列猜想中正确的是 A f n nB f n f n 1 f n 2 C f n f n 1 n 2 D f n 解析 n 1 2时 显然f n n n 3时 f n f n 1 f n 2 答案 D 4 如下图 一个地区分为5个行政区 现给地图着色 要求相邻区域不得使用同一颜色 现有4种颜色可供选择 则不同的着色方法共有 种 以数字作答 答案 72 此类问题 首先将完成这件事的过程分步 然后再找出每一步中的方法有多少种 求其积 注意 各步之间相互联系 依次都完成后 才能做完这件事 例1 由数字1 2 3 4 1 可组成多少个3位数 2 可组成多少个没有重复数字的3位数 3 可组成多少个没有重复数字的三位数 且百位数字大于十位数字 十位数字大于个位数字 解答 1 百位数共有4种排法 十位数共有4种排法 个位数共有4种排法 根据分步计数原理共可组成43 64个3位数 2 百位上共有4种排法 十位上共有3种排法 个位上共有2种排法 由分步计数原理共可排成没有重复数字的3位数4 3 2 24 个 3 排出的三位数分别是432 431 421 321共4个 分步计数原理与分类计数原理的根本区别在于 多步 完成 还是 一步 完成 分步计数原理要求步与步之间的方法相互独立 每一步各取一种方法即可完成一件事 而分类计数原理要求每一类中的每一种方法都可完成这件事 其要求是不重不漏 从某种程度可以说分步计数原理可以简化分类计数原理的过程 例2 若A a1 a2 a3 a4 B b1 b2 b3 试问从A到B可建立多少种不同的映射 解答 解法一 可分步计算第一步 a1与B中唯一的元素对应有3种方法 第二步 a2与B中唯一的元素对应有3种方法 第三步 a3与B中唯一的元素对应有3种方法 第四步 a4与B中唯一的元素对应有3种方法 由分步计数原理 可建立从A到B的映射共有34 81 个 解法二 可分类计算第一类 四对一 的情况共3种 第二类 三对一 一对一 的情况共 24 种 第三类 二对一 二对一 的情况共 18 种 第四类 二对一 一对一 一对一 的情况共 36 种 由分类计数原理从A到B的映射共有81个 变式2 五名学生报名参加四项体育比赛 每人限报一项 报名方法的种数为多少 五名学生争夺四项比赛的冠军 冠军不并列 获得冠军的可能性有多少种 解答 报名的方法种数为4 4 4 4 4 45 种 获得冠军的可能情况有5 5 5 5 54 种 对于某些复杂的问题 有时既要用分类计数原理 又要用分步计数原理 重视两个原理的灵活运用 并注意以下几点 1 认真审题 分析题目的条件 结论 特别要理解题目中所讲的 事情 是什么 完成这件事情的含义和标准是什么 2 明确完成这件事情需要 分类 还是 分步 还是既要 分类 又要 分步 并搞清 分类 或 分步 的具体标准是什么 3 用两个计数原理解决的主要问题包括 排数 计算有限集合A到B的映射的个数 涂色问题等 例3 如图 用5种不同的颜色给图中A B C D四个区域涂色 规定每个区域只涂一种颜色 相邻区域颜色不同 求有多少种不同的涂色方法 解答 解法一 如题图分四个步骤来完成涂色这件事 涂A有5种涂法 涂B有4种方法 涂C有3种方法 涂D有3种方法 还可以使用涂A的颜色 根据分步计数原理共有5 4 3 3 180种涂色方法 解法二 由于A B C两两相邻 因此三个区域的颜色互不相同 共有 60种涂法 又D与B C相邻 因此D有3种涂法 由分步计数原理知共有60 3 180种涂法 解法三 也可利用分类计数原理计算 第一类 四个区域涂四种不同的颜色共有 120种涂法 第二类 四个区域涂三种不同的颜色 由于A D不相邻只能是A D两区域颜色一样共 1 60种涂法 由分类计数原理知共有涂法120 60 180 种 变式3 将3种作物种植在如下图的5块试验田里 每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 不同的种植方法共有 种 以数字作答 解析 3 2 2 2 2 2 42 答案 42 1 弄清是分步还是分类问题关键在于看是一步完成 还是多步完成 利用分步计数原理要注意各步方法之间相互依存 互不影响 而使用分类计数原理主要是遵循 不重 不漏 的原则 2 分步计数原理从某种程度上简化了分类计数原理的运算过程 如例2也可利用分类计数原理 3 本节提供的具体模型有 1 各取一个与任取一个问题 2 排数问题 注意有重复数字和没有重复数字的区别 3 涂色问题等 方法规律 本题满分5分 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里 使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号 则不同的放球方法有 A 10种B 24种C 36种D 52种 考卷实录 解析 在编号为1和2的两个盒子里 分别可放1 3个或2 2个小球 由分类计数原理不同的放球方法的种数是 10 答案 A 答题模板 分析点评 1 分类计数原理 分步计数原理是解决排列组合和概率问题的基础 贯穿始终 高考考查两个原理比如着色问题 取放球等问题 而考查其他问题也是与两个原理密切相关的 2 本题主要是利用分类计数原理考查分类讨论的思想方法 而对特定的情况分步计数原理可以简化分类计数原理的过程 3 考卷实录中提供的解答看似合理 如果按算法得出的24种结果全部列出 不难发现出现了 大面积 的重复现象 解题错因是由于先放和后放造成一个盒中不同的球产生顺序 从而导致重复 排