函数的图象新课标人教

函数的图象 数形结合是中学数学的重要的数学思想方法 尤其是函数的图象更是历年高考的热点 函数图象是函数的一种表达形式 形象的显示了函数的性质 为研究数量关系提供了 形 的直观性 它是探求解题途径 获得问题的结果的重要工具 一 用描点法作函数的图象 列表 求对应值 描点连线 这是中学数学的基本功 要求能比较准确地画出相应的函数图象 做函数图象的方法主要有两种 一是描点法 二是图象变换法 作函数图象的一般步骤是 1 求出函数的定义域 2 化简函数式 3 讨论函数的性质 如奇偶性 周期性 单调性 以及图象上的特殊点 线 如极值点 渐近线 对称轴等 4 利用基本函数的图象画出所给函数的图象 要求熟练掌握常见函数的图象 如正比例函数 反比例函数 二次函数 简单幂函数的图象及指数函数和对数函数的图象 然后进行图象变换 二 图象变换法 常用变换方法有三种 即平移变换 伸缩变换和对称变换 三 常见的图象变换 1 函数y f x a 的图象是把函数y f x 的图象沿x轴向左平移a个单位得到的 2 函数y f x a 的图象是把函数y f x 的图象沿x轴向右平移a个单位得到的 3 函数y f x a的图象是把函数y f x 的图象沿y轴向上平移a个单位得到的 4 函数y f x a的图象是把函数y f x 的图象沿y轴向下平移a个单位得到的 5 函数y f ax a 0 的图象是把函数y f x 的图象沿x轴伸缩为原来的得到的 6 函数y af x a 0 的图象是把函数y f x 的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的 四 函数图象的对称性 1 函数y f x 与y f x 的图象关于y轴对称 2 函数y f x 与y f x 的图象关于x轴对称 3 函数y f x 与y f x 的图象关于原点对称 4 函数y f a x 与函数y f a x 的图象关于直线x 0对称 6 函数y f x 若对于定义域内所有的x满足f a x f a x 则函数的图象关于点 a 0 中心对称 5 函数y f x 若对于定义域内所有的x满足f a x f a x 则函数的图象关于直线x a对称 8 函数y f x 与y f 1 x 的图象关于直线y x对称 y f x 与y f 1 x 的图像关于直线y x对称 7 函数y f x 若对于定义域内所有的x满足f a x f b x 则函数的图象关于直线x 对称 9 形如的图象是双曲线 其两渐近线分别直线 由分母为零确定 和直线 由分子 分母中x的系数确定 对称中心是点 例1 设函数y f x 的定义域为R 则函数y f x 1 与函数y f 1 x 的图象关于 A 直线y 0对称 B 直线x 0对称 C 直线y 1对称 D 直线x 1对称 解 f 1 x f x 1 因为y f x 与y f x 关于y轴对称 所以函数y f x 1 与函数y f 1 x 的图象关于直线x 1 0即x 1对称 故选 D D 例2 如若函数y f 2x 1 是偶函数 则函数y f 2x 的对称轴方程是 解 y f 2x 的图象是将y f 2x 1 的图象向左平移了个单位得到的 函数y f 2x 1 是偶函数 它的对称轴是x 0 左移后对称轴为 例3 已知二次函数f x ax2 bx a 0 满足条件f 5 x f x 3 且方程f x x有等根 则f x 解 由已知f 5 x f x 3 所以y f x 的对称轴为x 1 又方程f x x有等根 即ax2 bx x有等根 b 1 解得a 函数f x 例4 方程有两个不相等的实根 求实数k的取值范围 解 作函数y kx 与y 的图象 使它们有两个交点 其中y kx是过原点的直线 y 是圆 x 2 2 y2 1的上半个圆 所以k的取值范围是 例5 对于函数f x 若存在x0 R 使f x0 x0成立 则称x0为f x 的不动点 已知函数f x ax2 b 1 x b 1 a 0 1 当a 1 b 2时 求函数f x 的不动点 2 若对任意实数b 函数f x 恒有两个相异的不动点 求a的取值范围 3 在 2 的条件下 若y x图象上A B两点的横坐标是函数f x 的不动点 且A B两点关于直线y kx 对称 求b的最小值 1 当a 1 b 2时 求函数f x 的不动点 解 1 当a 1 b 2时 f x x2 x 3 由题意可知x x2 x 3 得x1 1 x2 3 故当a 1 b 2时 f x 的两个不动点为 1 3 2 若对任意实数b 函数f x 恒有两个相异的不动点 求a的取值范围 2 f x ax2 b 1 x b 1 a 0 恒有两个不动点 x ax2 b 1 x b 1 即ax2 bx b 1 0恒有两个相异的实数根 得 b2 4ab 4a 0 b R 恒成立 于是 4a 2 16a 0 解得0 a 1 故当b R f x 恒有两个相异的不动点时 a的取值范围为0 a 1 3 在 2 的条件下 若y x图象上A B两点的横坐标是函数f x 的不动点 且A B两点关于直线y kx 对称 求b的最小值 3 由题意 A B两点应在直线y x上 设A x1 x1 B x2 x2 点A B关于直线y kx 对称 k 1 设AB的中点为M x y x1 x2是方程ax2 bx b 1 0的两个根 x y 于是 由M在直线y x 上 得 即b a 0 2a 2 当且仅当2a 即 a 0 1 时取等号 故b 得b的最小值为 解后深思 本题主要考查二次函数及其图象 一元二次方程和直线方程以及不等式的综合应用 同时借助不变量思想 以不动点作为载体 蕴含着 及时定义 及时解答 的试题结构特征 新颖而富于思考 对思维能力有较高要求 例6 设曲线C的方程是 将C沿x轴 y轴正方向分别平行移动t s个单位长度后得曲线C 1 写出曲线C 的方程 2 证明曲线C与C 关于点对称 1 写出曲线C 的方程 解 1 C 的方程是 2 证明曲线C与C 关于点对称 2 证明 在曲线C上任取一点B1 x1 y1 设B2 x2 y2 是B1关于点A的对称点 则有代入曲线C的方程 得满足方程 可知点B2 x2 y2 在曲线C 上 反过来 同样可以证明 在曲线C 上的点关于点A对称点在曲线C上 因此 曲线C与C 关于点A对称 1 函数y log4 1 2x x2 的图象是 D 练习题 2 已知函数y f x 的图象如右图 甲 所示 y g x 的图象如右图 乙 所示 则函数y f x g x 的图象可能是 C 3 已知下图 1 中的图象对应的函数为y f x 则图 2 中的图象对应的函数在下列给出的四式中 只可能是 A y f x B y f x C y f x D y f x C 4 有三个函数 第一个函数是y f x 第二个函数是它的反函数 第三个函数的图象与第二个图象关于点 对称 则第三个函数是 y f 1 1 x y f 1 2 x y f 1 x 1 y f 1 x 2 B 5 设f x 2 x g x 的图像与f x 的图像关于直线y x对称 h x 的图像由g x 的图像向右平移1个单位得到 则h x 为 6 要得到y lg 3 x 的图像 只需作y lgx关于 轴对称的图像 再向 平移3个单位而得到 y 右 7 函数f x xlg x 2 1的图象与x轴的交点个数有 个 2 略解 令xlg x 2 1 0 得lg x 2 分别作y lg x 2 和y 的图象 它们交点的个数为2 8 将函数的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位 所得图象如果与原图象关于直线y x对称 那么 A a 1 b 0 B a 1 b R C a 1 b 0 D a 0 b R C A 10 为了得到函数的图象 只需把函数上所有点 A 向右平移3个单位长度 再向下平移1个单位长度B 向左平移3个单位长度 再向下平移1个单位长度C 向右平移3个单位长度 再向上平移1个单位长度D 向左平移3个单位长度 再向上平移1个单位长度 A 11 已知函数的图象如图所示 其中a b为常数 则下列结论正确的是 A a 1 b1 b 0C 00D 0 a 1 b 0 C D 13 求函数y x2 3 x x R 的单调区间 分析 设f x x2 3 x 则y x2 3 x x 2 3 x f x 由翻折变换知 因而 函数的增区间有 0 和 减区间有 和 0 14 已知f x 当x R时恒满