函数与反函数高三数学课件 新课标 人教

函数与反函数 一 映射 映射 A B的概念 在理解映射概念时要注意 A中元素必须都有象且唯一 B中元素不一定都有原象 且原象不一定唯一 1 设f M N是集合M到N的映射 下列说法正确的是 A M中每一个元素在N中必有象B N中每一个元素在M中必有原象C N中每一个元素在M中的原象是唯一的D N是M中所有元素的象的集合 A 例题 2 点 a b 在映射f的作用下的象是 a b a b 则在f作用下点 3 1 的原象为点 2 1 3 若A 1 2 3 4 B a b c a b c R 则A到B的映射有个 B到A的映射有个 A到B的满射有个 81 36 64 4 设集合M 1 0 1 N 1 2 3 4 5 映射f M N满足条件 对任意的x M x f x 是奇数 这样的映射有个 12 5 设f x x2是集合A到集合B的映射 若B 1 2 则A B是 1 或空集 二 函数 1 函数 f A B是特殊的映射 特殊在定义域A和值域B都是非空数集 据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点 但与y轴垂线的公共点可能没有 也可能有任意个 2 函数三要素 定义域 值域 对应法则 3 复合函数的定义 若y f u u g x 则y关于x的函数y f g x 叫函数f u 和g x 的复合函数 u叫中间变量 1 已知函数f x x F 那么集合 x y y f x x F x y x 1 中所含元素的个数有个 0或1 2 若函数的定义域 值域都是闭区间 2 2b 则b 2 例题 4 同一函数的概念 构成函数的三要素是定义域 值域和对应法则 而值域可由定义域和对应法则唯一确定 因此当两个函数的定义域和对应法则相同时 它们一定为同一函数 例 若一系列函数的解析式相同 值域相同 但其定义域不同 则称这些函数为 天一函数 那么解析式为y x2 值域为 4 1 的 天一函数 共有个 9 三 反函数 1 定义 y f x 的反函数记作y f 1 x 2 图象 y f x 与y f 1 x 的图象关于直线y x对称 3 存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个值 都有唯一的值与之对应 故单调函数一定存在反函数 但反之不成立 偶函数只有f x 0 x 0 有反函数 周期函数一定不存在反函数 例 函数y x2 2ax 3在区间 1 2 上存在反函数的充要条件是 A a 1 B a 2 C a 1 2 D a 1 2 D 4 求反函数的步骤 反求x 互换x y 注明反函数的定义域 原来函数的值域 注意 函数y f x 1 的反函数不是y f 1 x 1 而是y f 1 x 1 例 设 求f x 的反函数 答案 5 反函数的性质 反函数的定义域是原来函数的值域 反函数的值域是原来函数的定义域 例 单调递增函数f x 满足条件f ax 3 x 其中a 0 若f x 的反函数f 1 x 的定义域为 则f x 的定义域是 4 7 函数y f x 的图象与其反函数y f 1 x 的图象关于直线y x对称 注意函数y f x 的图象与x f 1 y 的图象相同 例如 1 已知函数y f x 的图象过点 1 1 那么y f 4 x 的反函数的图象一定经过点 1 3 2 已知函数 若函数y g x 与y f 1 x 1 的图象关于直线y x对称 求g 3 的值 例如 1 已知函数 则方程f 1 x 4的解x 1 2 设函数f x 的图象关于点 1 2 对称 且存在反函数f 1 x f 4 0 则f 1 4 2 互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性 例 已知y f x 是R上的增函数 点A 1 1 B 1 3 在它的图象上 f 1 x 是它的反函数 那么不等式 f 1 log2x 1的解集为 2 8 设y f x 的定义域为A 值域为B 则有f f 1 x x x B f 1 f x x x A 但f f 1 x f 1 f x 例一 函数f x c 0 且ad bc 当a b c d满足什么条件时 f x 与它的反函数是同一个函数 解 y cxy dy ax b 得x cy a b dy cy a 0 x 原函数的反函数是y 故当d a时 f x 与它的反函数是同一函数 例二 已知f x ax2 abx b 1 当不等式f x 0的解集为 1 2 时 求实数a b的值 2 当方程f x 0 a 0 有一根小于1 另一根大于1 且b为常数时 求实数a的取值范围 解 1 f x 0的解集为 1 2 f x 0为a x 1 x 2 0 且a 0比较系数得 3a ab 2a b b 3 a 例二 已知f x ax2 abx b 1 当不等式f x 0的解集为 1 2 时 求实数a b的值 2 方程f x 0 a 0 有一根小于1 另一根大于1 f 1 0a 1 b 0时 a0矛盾 当 10 0 a 0 当b 1时 f 1 10 例二 已知f x ax2 abx b 2 当方程f x 0 a 0 有一根小于1 另一根大于1 且b为常数时 求实数a的取值范围 例三 若函数y lgx的图象先沿直线x 9反折 再沿x轴反折 最后再向上平移两个单位 试求出变换后的函数表达式 解 x1与18 x1关于x 9对称 函数y lgx的图象先沿直线x 9反折 得y lg 18 x 再沿x轴反折 得y lg 18 x 最后再向上平移两个单位 得y lg 18 x 2 例四 已知函数f x 满足f 1 sinx sin2x 则f 1 sinx 与f 1 sinx 的大小关系是 A f 1 sinx f 1 sinx B f 1 sinx f 1 sinx C f 1 sinx f 1 sinx D 视x的取值而定 解 f 1 sinx f 1 sin x sin2 x sin2x 选C 例五 函数 若f 1 f a 2 则a的所有可能值为 A 1 B C D 解 将a 1和a 代入函数表达式验证 可知应选C 例六 设函数f 2 2 则关于x的方程f x x解的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 解 由f 4 f 0 f 2 2 解得b 4 c 2 即当x 0时 解x2 4x 2 x 有两个解x1 1 x2 2 当x 0时 解得x 2 所以一共有3个解 选C 例七 已知f x 3x b 2 x 4 b为常数 的图象经过点 2 1 则F x f 1 x 2 f 1 x2 的值域为 分析 f x 图象过点 2 1 可求出b 即f x 3x 2 这是一个求函数值域的题目 首先要求出其解析式 求函数F x 的解析式 求其反函数f 1 x 的表达式是基础 解析式的意义是关键 复合函数F x 的定义域是保证 不注意即会导至错误 解 f x 的图象过点 2 1 有32 b