高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第二节 函数的单调性与最值课件 理.ppt

第二节函数的单调性与最值 1 函数的单调性 1 单调函数的定义 2 单调区间的定义如果函数y f x 在区间d上是增函数或减函数 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间d叫做y f x 的单调区间 2 函数单调性与不等式的关系设 x1 x2 d x1 x2 3 函数单调性的几个重要结论 1 若f x g x 均为某区间上的增 减 函数 则f x g x 为某区间上的增 减 函数 2 若f x 为增 减 函数 则 f x 为减 增 函数 3 y f g x 是定义在m上的函数 若f x 与g x 的单调性相同 则y f g x 是增函数 若f x 与g x 的单调性相反 则y f g x 是减函数 4 奇函数在对称区间上的单调性相同 偶函数在对称区间上的单调性相反 5 若函数f x 在闭区间 a b 上是减 增 函数 则f x 的最大值为f a f b 最小值为f b f a 值域为 f b f a f a f b 4 函数的最值一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 1 对于任意的x i 都有f x m f x m 2 存在x0 i 使得f x0 m 那么 我们称m是函数y f x 的最大值 最小值 5 常用的数学方法与思想函数单调性的判定法 图象法 定义法 导数法 数形结合思想 1 判断下列说法是否正确 打 或 1 2 若函数y f x 在 1 上是增函数 则函数的单调递增区间是 1 2 3 对于函数f x x d 若对任意x1 x2 d x1 x2且 x1 x2 f x1 f x2 0 则函数f x 在区间d上是增函数 3 1 若a 2 证明f x 在 2 上单调递增 2 若a 0且f x 在 1 上单调递减 求a的取值范围 解题思路 单调性的判断与证明通常的方法是 定义法 导数法 图象法 命题角度1 图象法求单调区间 典例2函数f x x2 2 x 3的单调区间为 参考答案 单调递增区间为 1 0 1 单调递减区间为 1 0 1 函数y f x 的单调递增区间为 1 0 1 单调递减区间为 1 0 1 命题角度2 复合函数 同增异减 法求单调区间 典例3函数f x log2 x2 4x 3 的单调递减区间为 解题思路 求出定义域 分出复合过程 分别判断其单调性 利用复合函数 同增异减 来确定函数的单调性 x2 4x 3 x 1 x 3 令 x 1 x 3 0 得x 3或x 1 即函数f x 的定义域为 1 3 记t x2 4x 3 当x 1 时 t为减函数 当x 3 时 t为增函数 又y log2t在 0 上为增函数 根据复合函数同增异减法则知 f x 的单调递增区间为 3 单调递减区间为 1 参考答案 1 命题角度3 导数法求单调区间 典例4函数f x x lnx的单调递增区间为 单调递减区间为 由表可知 函数的单调递增区间为 1 单调递减区间为 0 1 参考答案 1 0 1 变式训练 1 函数f x x2 2x 3 的单调区间为 1 单调递增区为 1 1 3 单调递减区间为 1 1 3 解析 f x 所以g x 在 1 上的最小值为g 1 3 a 故只需3 a 0 得a 3 故实数a的取值范围是 3 变式训练 命题角度1 比较函数值或自变量的大小 典例6 2015 广东佛山一中期中考试 已知函数f x 2x 1 af c f b 则下列结论中 一定成立的是 a a0c 2 af b f c 与题设矛盾 故a不正确 对于b 若a0 可设a 1 b 2 c 3 此时f c f 3 7为最大值 与题设矛盾 故b不正确 对于c 取a 0 c 3 同样f c f 3 7为最大值 与题设矛盾 故c不正确 对于d 因为af c 说明可能如下情况成立 a c位于函数的减区间 0 上 此时a2c 1 f c 化简整理 得2a 2c 2成立 综上所述 可得只有d正确 参考答案 d 命题角度2 解不等式 典例7已知f x 的定义域为 0 且在其上为增函数 满足f xy f x f y f 2 1 试解不等式f x f x 2 3 解题思路 根据f xy f x f y f 2 1推出f 8 3 即可求解 参考答案 f 2 f 2 f 4 f 2 1 f 4 2 3 2 1 f 4 f 2 f 8 f x f x 2 f x x 2 原不等式可变形为f x x 2 f 8 根据函数的定义域和单调性 命题角度3 求参数的值或取值范围 解题思路 因为当x 1时函数f x 单调递增 则f x f 1 1 所以当a 0时 显然满足条件 当a 0时 若存在x1 x2 r且x1 x2 使得f x1 f x2 成立 应满足2a 5 1 得a 3 综上知实数a的取值范围是 3 参考答案 c 变式训练 a a c bb b a cc c a bd c b a 2 已知函数f x 在区间 0 上单调递增 则满足f x2 2x 3 0 x2 2x 3 6 x2 2x 3 0 3 x 1 四种类型抽象函数的单调性与最值抽象函数的单调性及其应用是高考中的一个热点与重点问题 求解此类问题的关键是紧扣定义 结合题中的条件采取可能赋值 式子变形等 最后去掉符号 f 转化为不等式 组 或方程 组 进行求解 对待定字母的求解往往采取分离变量 1 线性函数形式 典例1已知函数f x 对于任意的实数x y 都有f x y f x f y 且当x 0时 有f x 0 f 1 2 求函数f x 在区间 2 1 上的值域 参考答案 设x10 所以由已知条件得f x2 x1 0 则f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 从而f x2 f x1 f x2 x1 0 即得f x2 f x1 故函数f x 在r上单调递增 令y x 则f 0 f x f x 令x y 0 则f 0 2f 0 解得f 0 0 则f x f x 所以函数f x 为奇函数 又因为f 1 f 1 2 f 2 2f 1 4 故函数f x 在区间 2 1 上的值域为 4 2 2 指数函数形式 典例2设函数f x 的定义域为r 当x 0时 f x 1 且对任意x y r 都有f x y f x f y 且f 2 4 1 求f 0 f 1 的值 2 证明 f x 在r上为单调递增函数 3 幂函数形式 4 对数函数形式 典例4已知函数f x 是定义在 0 上的单调递增函数 且f xy f x f y f 3 1