2016年2017学年湖南省长沙一中高三上月考数学试卷文.doc

2016-2017学年湖南省长沙一中高三（上）月考数学试卷（文科）（5）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|x22x0，B=x|xa，若AB，则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca0Da02因为i是虚数单位，复数，则z的共轭复数是（）ABCD3某校有“交通志愿者”和“传统文化宣讲”两个社团，若甲、乙、丙三名学生各自随机选择参加其中一个社团，则三人不在同一个社团的概率为（）ABCD4已知tan=2（0，），则cos（+2）=（）ABCD5在ABC中，AB=BC=3，BAC=30，CD是AB边上的高，则=（）ABCD6运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有3次落在直线上y=x，则判断框中可填写的条件是（）Ai8Bi7Ci6Di57定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x），f（x2）=f（x+2），且x（1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A1BCD18某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A +B1+C D19“珠算之父”程大位是我国明代伟大是数学家，他的应用数学巨著算法统综的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成程大位在算法统综中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”（注释三升九：3.9升次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（）A1.9升B2.1升C2.2升D2.3升10函数g（x）=2cos（x）cos（x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后得到h（x）的图象，设f（x）=x2+h（x），则f（x）的图象大致为（）ABCD11已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=3xBy=2xCy=（+1）xDy=（1）x12定义域为R的函数f（x）=（x）+bf（x）+c=0恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则f（x1+x2+x2+x4+x5）等于 （）A0B21g2C31g2D1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13过点M（1，2）的直线l与圆C：（x3）2+（y4）2=25交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程是14高三（1）班某一学习小组的A、B、C、D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动时间中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在跑步A不在散步，也不在打篮球；B不在跳舞，也不在跑步；“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；D不在打篮球，也不在跑步；C不在跳舞，也不在打篮球以上命题都是真命题，那么D在15在ABC中，D为BC边上一点，若ABD是等边三角形，且AC=4，则ADC的面积的最大值为16学生体质与学生饮食的科学性密切相关，营养学家指出，高中学生良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪已知1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元为了满足高中学生日常饮食的营养要求，每天合理搭配食物A和食物B，则最低花费是元三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知数列an的前n项和，令bn=log9an+1（1）求数列bn的通项公式；（2）若数列bn的前n项和为Tn，数列的前n项和为Hn，求H201718高三学生小罗利用暑假参加社会实践，为了帮助贸易公司的购物网站优化今年国庆节期间的营销策略，他对去年10月1日当天在该网站消费且消费金额不超过1000元的1000名（女性800名，男性200名）网购者，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表（消费金额单位：元）：消费金额（0，200）200，400）400，600）600，800）800，1000）人数5101547x女性消费情况：男性消费情况：消费金额（0，200）200，400）400，600）600，800）800，1000）人数2310y2（）现从抽取的100名且消费金额在800，1000（单位：元）的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的这两名网购者恰好是一男一女的概率；（）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写右面22列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为网购达人与性别有关？”女性男性总计网购达人非网购达人总计P（k2k0）0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879附：（，其中n=a+b+c+d）19已知梯形ABCD中ADBC，ABC=BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EFBC，AE=x沿EF将梯形AEFD翻折，使平面AEFD平面EBCF（如图）G是BC的中点（1）当x=2时，求证：BDEG；（2）当x变化时，求三棱锥DBCF体积的最大值20如图，椭圆+=1（ab0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点|AF|的最大值是M，|BF|的最小值是m，满足Mm=a2（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O是坐标原点记GFD的面积为S1，OED的面积为S2，求的取值范围21已知函数f（x）=ln（x+a）x有且只有一个零点，其中a0（1）求a的值；（2）设函数h（x）=f（x）+x，证明：对x1，x2（1，+）（x1x2），不等式恒成立选修4-4：坐标系与参数方程22在极坐标系中，曲线C的方程为，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系（1）求曲线C的参数方程；（2）在直角坐标系中，点M（x，y）是曲线C上一动点，求x+y的最大值，并求此时点M的直角坐标选修4-5：不等式选将23设函数（1）求证：f（x）2；（2）若f（2）4，求实数a的取值范围2016-2017学年湖南省长沙一中高三（上）月考数学试卷（文科）（5）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|x22x0，B=x|xa，若AB，则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca0Da0【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】由已知中，集合A=x|x22x0，解二次不等式求出集合A，再由B=x|xa，AB，即可得到实数a的取值范围【解答】解：集合A=x|x22x0=0，2，B=x|xa，AB，a2故选A2因为i是虚数单位，复数，则z的共轭复数是（）ABCD【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的周期性、共轭复数的定义即可得出【解答】解：i2017=（i4）504i=i，复数=+i，则z的共轭复数=i，故选：B3某校有“交通志愿者”和“传统文化宣讲”两个社团，若甲、乙、丙三名学生各自随机选择参加其中一个社团，则三人不在同一个社团的概率为（）ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】先由列举法求出“三人在同一个社团”的概率，再由对立事件概率计算公式求出“三人不在同一个社团”的概率【解答】解：某校有“交通志愿者”和“传统文化宣讲”两个社团，a，b，c三名学生各自随机选择参加其中的一个社团，a，b，c三名学生选择社团的结果有：（A，A，A），（A，A，B），（A，B，A），（B，A，A），（A，B，B），（B，A，B），（B，B，A），（B，B，B），共8个等可能性的基本事件，三人在同一个社团的结果有：（A，A，A），（B，B，B），共两个，“三人在同一个社团”的概率为p1=，而“三人不在同一个社团”与“三人在同一个社团”是对立事件，“三人不在同一个社团”的概率为p=1=故选C4已知tan=2（0，），则cos（+2）=（）ABCD【考点】二倍角的余弦【分析】由条件利用诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，求得cos（+2）的值【解答】解：tan=2，（0，），则cos（+2）=cos（+2）=sin2=2sincos=，故选：D5在ABC中，AB=BC=3，BAC=30，CD是AB边上的高，则=（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用三角形的知识计算CD，BCD，利用平面向量的数量积的定义计算数量积【解答】解：AB=BC=3，BAC=30，CDAB，ABC=120，BCD=30，AC=3，CD=ACsinCAB=，=故选：C6运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有3次落在直线上y=x，则判断框中可填写的条件是（）Ai8Bi7Ci6Di5【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环输出的点的坐标，当满足条件，退出循环体，从而得到判定框中应填【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，y=0x=1，y=1，i=2，输出点（1，1），此输出的点恰落在直线y=x上，不满足条件，x=0，y=1，i=3，输出点（0，1）不满足条件，x=1，y=0，i=4，输出点（1，0）不满足条件，x=0，y=0，i=5，输出点（0，0），此输出的点恰落在直线y=x上不满足条件，x=1，y=1，i=6，输出点（1，1），此输出的点恰落在直线y=x上由题意，此时，应该满足条件，退出循环，故判断框中可填写的条件是i5？故选：D7定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x），f（x2）=f（x+2），且x（1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A1BCD1【考点】抽象函数及其应用【分析】由于f（x）=f（x）推出函数是奇函数，f（x2）=f（x+2），得到函数f（x）为周期为4的函数，求出log220的范围，再由已知表达式，和对数恒等式，即可得到答案【解答】解：由于定义在R上的函数f（x），满足f（x）=f（x）所以函数是奇函数，f（x2）=f（x+2），所以函数f（x）为周期为4的函数，log220（4，5），x（1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=f（log2204）=f（4log220）=1，故选：A8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A +B1+C D1【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案【解答】解：根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为： =，三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为：121=1，故组合体的体积V=1+，故选：B9“珠算之父”程大位是我国明代伟大是数学家，他的应用数学巨著算法统综的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成程大位在算法统综中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”（注释三升九：3.9升次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（）A1.9升B2.1升C2.2升D2.3升【考点】等差数列的通项公式【分析】设从下至上各节容积分别为a1，a2，a9，则an是等差数列，设公差为d，由题意利用等差数列通项公式列出方程组，由此能求出中间两节的容积【解答】解：设从下至上各节容积分别为a1，a2，a9，则an是等差数列，设公差为d，由题意得，解得a1=1.4，d=0.1，中间两节的容积为：a4+a5=（1.40.13）+（1.40.14）=2.1（升）故选：B10函数g（x）=2cos（x）cos（x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后得到h（x）的图象，设f（x）=x2+h（x），则f（x）的图象大致为（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数的化简求值【分析】先研究函数的奇偶性知它是奇函数，从而排除两个选项，再由x=时，f（0）0，排除C，即可得解【解答】解：g（x）=2cos（x）cos（x+）=cos2x，将函数g（x）的图象上各点的坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后得到h（x）=cosx的图象，f（x）=x2+h（x）=x2+cosx，可得：f（x）=xsinx，可得：f（x）=（x）sin（x）=（xsinx）=f（x），故此函数奇函数，排除B，D又当x=时，f（0）=+1=10，结合选项函数的图象，排除C故选：A11已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=3xBy=2xCy=（+1）xDy=（1）x【考点】双曲线的简单性质【分析】过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的渐近线方程【解答】解：过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，|BF1|=2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得x=，y=B（，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，双曲线的渐近线方程为y=（+1）x，故选：C12定义域为R的函数f（x）=（x）+bf（x）+c=0恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则f（x1+x2+x2+x4+x5）等于 （）A0B21g2C31g2D1【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】分情况讨论，当x=2时，f（x）=1，则由f2（x）+bf（x）+c=0得1+b+c=0，求出x1=1；当x2时，f（x）=lg（x2），由f2（x）+bf（x）+c=0得lg（x2）2+blg（x2）b1=0，解得lg（x2）=1，或lg（x2）=b，从而求出x2和x3；当x2时，f（x）=lg（2x），由f2（x）+bf（x）+c=0得lg（2x）2+blg（2x）b1=0），解得lg（2x）=1，或lg（2x）=b，从而求出x4和x5，5个不同的实数解x1、x2、x3、x4、x5都求出来后，就能求出f（x1+x2+x3+x4+x5）的值【解答】解：当x=2时，f（x）=1，则由f2（x）+bf（x）+c=0得1+b+c=0x1=2，c=b1当x2时，f（x）=lg（x2），由f2（x）+bf（x）+c=0得lg（x2）2+blg（x2）b1=0，解得lg（x2）=1，x2=12或lg（x2）=b，x3=2+10b当x2时，f（x）=lg（2x），由f2（x）+bf（x）+c=0得lg（2x）2+blg（2x）b1=0），解得lg（2x）=1，x4=8或lg（2x）=b，x5=210bf（x1+x2+x3+x4+x5）=f（2+12+2+10b8+210b）=f（10）=lg|102|=lg8=3lg2故选C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13过点M（1，2）的直线l与圆C：（x3）2+（y4）2=25交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程是x+y3=0【考点】直线的一般式方程【分析】研究知点M（1，2）在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当ACB最小时，直线l与CM垂直，故先求直线CM的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程【解答】解：验证知点 M（1，2）在圆内，当ACB最小时，直线l与CM垂直，由圆的方程，圆心C（3，4）kCM=1，kl=1l：y2=（x1），整理得x+y3=0故答案为：x+y3=014高三（1）班某一学习小组的A、B、C、D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动时间中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在跑步A不在散步，也不在打篮球；B不在跳舞，也不在跑步；“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；D不在打篮球，也不在跑步；C不在跳舞，也不在打篮球以上命题都是真命题，那么D在画画【考点】进行简单的合情推理【分析】由可知，C在散步，A在跳舞，由，可知，B在打篮球，D在画画，即可得出结论【解答】解：由可知，C在散步，A在跳舞，由，可知，B在打篮球，D在画画，故答案为画画15在ABC中，D为BC边上一点，若ABD是等边三角形，且AC=4，则ADC的面积的最大值为【考点】正弦定理【分析】先利用余弦定理求得建立等式，利用基本不等式的性质确定ADDC的最大值，进而根据三角形面积公式求得三角形面积的最大值【解答】解：在ACD中，cosADC=，整理得AD2+CD2=48ADDC2ADDC，ADDC16，AD=CD时取等号，ADC的面积S=ADDCsinADC=ADDC4，故答案为：16学生体质与学生饮食的科学性密切相关，营养学家指出，高中学生良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪已知1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元为了满足高中学生日常饮食的营养要求，每天合理搭配食物A和食物B，则最低花费是16元【考点】函数模型的选择与应用；简单线性规划【分析】营养学家指出，高中学生良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费35元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费28元为了满足营养专家指出的 日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？设每天食用xkgA食物，ykgB食物，总成本为z建立约束条件，利用线性规划的知识进行求解【解答】解：设每天食用xkgA食物，ykgB食物，总成本为z则目标函数为z=28x+21y4分不等式组化简为如图作出可行域（阴影部分）6分把z=28x+21y变形为y=x+，由图可见，当直线z=28x+21y经过可行域上的点M时z最小8分解方程组得M的坐标为（，）10分所以zmin=28x+21y=16故每天食用A约143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本16元故答案为：1612分三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知数列an的前n项和，令bn=log9an+1（1）求数列bn的通项公式；（2）若数列bn的前n项和为Tn，数列的前n项和为Hn，求H2017【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由数列的前n项和求出数列通项公式，代入bn=log9an+1，利用对数的运算性质求得数列bn的通项公式；（2）求出数列bn的前n项和为Tn，利用裂项相消法求得数列的前n项和为Hn，则H2017可求【解答】解：（1）当n=1时，；当n2时，a1=1适合上式，则bn=log9an+1=，即数列bn的通项公式；（2）由，得则于是=，则18高三学生小罗利用暑假参加社会实践，为了帮助贸易公司的购物网站优化今年国庆节期间的营销策略，他对去年10月1日当天在该网站消费且消费金额不超过1000元的1000名（女性800名，男性200名）网购者，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表（消费金额单位：元）：消费金额（0，200）200，400）400，600）600，800）800，1000）人数5101547x女性消费情况：男性消费情况：消费金额（0，200）200，400）400，600）600，800）800，1000）人数2310y2（）现从抽取的100名且消费金额在800，1000（单位：元）的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的这两名网购者恰好是一男一女的概率；（）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写右面22列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为网购达人与性别有关？”女性男性总计网购达人非网购达人总计P（k2k0）0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879附：（，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用【分析】（）根据分层抽样方法求出x、y的值，利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率；（）列出22列联表，计算观测值K2，对照表中数据，判断结论是否成立即可【解答】解：（）按分层抽样女性应抽取80名，男性应抽取20名x=80（5+10+15+47）=3y=20（2+3+10+2）=3抽出的100名且消费金额在800，1000（单位：元）的网购者中有三位女性设为A，B，C；两位男性设为a，b，从5人中任选2人的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b）共10件设“选出的两名网购者恰好是一男一女”为事件A事件A包含的基本事件有：（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b）共6件P（A）=（）22列联表如下表所示女性男性总计网购达人50555非网购达人301545总计8020100则k2=9.0919.0916.635且P（k26.635）=0.010答：在犯错误的概率不超过0.010的前提下可以认为“是否为网购达人”与性别有关19已知梯形ABCD中ADBC，ABC=BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EFBC，AE=x沿EF将梯形AEFD翻折，使平面AEFD平面EBCF（如图）G是BC的中点（1）当x=2时，求证：BDEG；（2）当x变化时，求三棱锥DBCF体积的最大值【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）利用面面垂直的性质证线面垂直，由线面垂直线线垂直，再由线线垂直证线面垂直，由线面垂直的性质证得线线垂直；（2）根据题意先求得棱锥的高，再根据体积公式求三棱锥的体积即可，从而可求三棱锥DBCF体积的最大值【解答】（1）证明：作DHEF，垂足H，连结BH，GH，平面AEFD平面EBCF，交线EF，DH平面AEFD，DH平面EBCF，又EG平面EBCF，故EGDH EH=AD=BC=BG，EFBC，ABC=90四边形BGHE为正方形，EGBH 又BH、DH平面DBH，且BHDH=H，故EG平面DBH又BD平面DBH，EGBD （2）解：AEEF，平面AEFD平面EBCF，交线EF，AE平面AEFDAE面EBCF又由（1）DH平面EBCF，故AEDH，四边形AEHD是矩形，DH=AE，故以F、B、C、D为顶点的三棱锥DBCF的高DH=AE=x 又SBCF=82x，（0x4） 三棱锥DBCF的体积f（x）=AE=（82x）x=，（0x4） x=2时，最大值为20如图，椭圆+=1（ab0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点|AF|的最大值是M，|BF|的最小值是m，满足Mm=a2（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O是坐标原点记GFD的面积为S1，OED的面积为S2，求的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）过点F的直线交椭圆于A，B两点|AF|的最大值是M=a+c，|BF|的最小值是m=ac，结合Mm=a2即可求出离心率；【解答】解：（1）设F（c，0）（c0），则根据椭圆性质得M=a+c，m=ac，而，所以有，即a2=4c2，a=2c，因此椭圆的离心率为（2）由（1）可知a=2c，椭圆的方程为根据条件直线AB的斜率一定存在且不为零，设直线AB的方程为y=k（x+c），并设A（x1，y1），B（x2，y2）则由消去y并整理得（4k2+3）x2+8ck2x+4k2c212c2=0从而有，所以因为DGAB，所以，由RtFGD与RtEOD相似，所以令，则t9，从而，即的取值范围是（2）设过焦点F的直线AB的方程为y=k（x+c），与椭圆方程联立，进而表示出点G、点D，然后表