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人教版义务教育教科书数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题授课人：冯德鹏教学目标(1)目标:能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想。(2)目标解析:达成目标的标志是:学生能讲实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的线段和最小问题,能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间,线段最短”问题;能通过逻辑推理证明所求距离最短;在探索最算路径的过程中,体会轴对称的“桥梁”作用,感悟转化思想。教学重点难点教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间,线段最短”问题教学难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决。教学过程一、导入新课以鲁迅先生的名言“世上本无路,只是走的人多了,也就成了路。”引出本科课题，最短路径问题探究1如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？ 探究2已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。 探究3 如下图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？二、探究新知1将实际问题抽象为数学问题师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识（1）把A、B两地抽象为两个点；（2）把河边l近似地看成一条直线（下图），C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小2尝试解决数学问题（1）由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求（2） 现在要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ （3）如何能把点B移到l的另一侧B处，同时对直线l上的任一点C，都保持CB与CB的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使新问题得到解决（4）你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B吗？学生独立思考后，尝试画图，完成问题小组交流，师生共同补充得出：作出点B关于l 的对称点 B，利用轴对称的性质，可以得到 CBCB（下右图）连接AB，则AB与l 的交点即为所求3证明“最短”师生共同分析，合作证明“ACBC”最短证明：如上右图，在直线l上的任一点C（与点C不重合），连接AC，BC，BC，由轴对称的性质知：BCBC，BCBC ACBCACBCAB，ACBCACBC在ABC中，ABACBC， ACBCACBC即ACBC最短提问：证明ACBC最短时，为什么要在直线l上任取一点C（与点C不重合），证明ACBCACBC？这里“C”的作用是什么？学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识三、巩固练习如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出