初中线段相等、比例关系的证明方法.doc

平面几何中线段相等的证明几种方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。一、利用全等三角形的性质证明线段相等这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理(添加辅助线)，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。例1如图，C是线段AB上一点，ACD和BCE是等边三角形。求证：AE=BD。注:如果有两个形状相同的图形（一般是等腰三角形、等边三角形或正方形），那么可能要用到旋转全等或相似例2如图，已知ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。注：添加辅助线，构造全等三角形二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。例1 如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。求证：AF=EF。注：辅助线是中线倍长法例2如图，已知ABC中，AB=AC，DFBC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。三、利用平行四边形的性质证明线段相等如果所证两线段在一直线上或看似平行，用上面的方法不易，可以考虑此法。例1如图，ABC中，C=90，BAC=30，分别以AB、AC为边在ABC的外侧作正ABE和正ACD，DE与AB交于F，求证：EF=FD。（辅助线是过E作EGAB，连接DG）注：构造平行四边形 例2如图，AD是ABC的中线，过DC上任意一点F作EG/AB，与AC和AD的延长线分别交于G和E，FH/AC，交AB于点H。求证：HG=BE。注：构造平行四边形，利用平行线分线段成比例转化证明：延长AD到A，使D A=AD，又BD=CD四边形BACA是平行四边形BA=AC由题设可知HFGA也是平行四边形HF=AGHF/AC，又，HF=AG，BA=ACBH=EG四边形BEGH是平行四边形四、利用中位线证明线段相等如果已知中含有中点或等边等，用上面方法较难，可以考虑此法。例1如图，以ABC的边AB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和ACE，且使ABD=ACE，M是BC的中点。证明：DM=EM。注：辅助线取斜边中点 例2 如图所示,ABC中,中线BD、CE相交于O,F、G分别为OB、OC的中点.求证：四边形DEFG为平行四边形.五、利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等。如果所证两线段所在的图形能构成直角三角形，并且可能构成斜边及斜边上的中线，用上面方法一时证不出来，可以考虑此法。例1已知：在ABC中，M是BC的中点，CEAB，BFAC。 求证：EMFM例2如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，EC和DF相交于G，连接AG，求证：AG=AD。六、利用等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边如果所证线段在一条直线上相邻，且在一个等腰三角形中，不妨用此法例如图，ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CFAE于F，AB=5，AC=3，则DF的长为_ 七、线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等如果两条线段在一个三角形中证明相等，且第三边有垂直或中点，用此法例已知如图，在ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则ADE的周长等于_注：1、补充2016年安徽中考解答题第23题第2小问是中垂线的性质 2、三角形三条中垂线交于一点八、角平分线上任一点到角的两边距离相等适用于有角平分线和垂直的图形例如图, AOP=BOP=15,PCOA交OB于C,PDOA垂足为D,若PC=4,则PD= .注：1、补充2013年安徽省中考解答题第23题第3小问 2、三角形三条角平分线交于一点九、圆的性质和定理同圆（或等圆）中半径相等，等弧所对的弦或与弦心距相等的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等，圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等，圆外一点引圆的两条切线的切线长相等例1如图，O中，弦AB与CD相交于点E，且AB=CD.求证：AE=CE.注：辅助线AC不一定经过OAOBCDE 例2如图所示，ABAC，AB为O的直径，AC、BC分别交O于E、D，连结ED、BE试判断DE与BD是否相等，并说明理由；十、等积法面积相等，等底或等高可以转化例如图,在平行四边形ABCD中,E是CD上一点,F是AD上一点,且CF=AE,AE交CF于点O.求证：OB平分AOC.十一、长度相等：测量法适用于选择题或填空题，解答题必须求出其具体长度或都是某条线段的倍数十二、等量转化：等于同一线段的两条线段相等以上都可以用证明线段的比例式或等积式的方法证明线段的比例式或等积式成立，往往要添加辅助线，以构造一对或多对相似三角形。一、 添加平行线（1） 添加三角形内的平行线段 添加的方法是过端点或内分点做平行线，利用“平行于三角形的一边，并且和其他两边或其延长线相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例”的性质证明线段成比例。在几何命题中，如果出现一组（或两组）相比线段重叠在一条直线上时，可考虑添加三角形内的平行线。例1、如图，已知AD是ABC的外角平分线，AD与BC的延长线交于D。求证：BD:CD=AB:AC例2、如图，点D在ABC的AC边上，且AD=BE。求证:.例3、如图，已知BD:DC=5:3,E为AD的中点，求BE:EF的值.(2)添加三角形外的平行线添加的方法是过端点作平行线例1、如图，已知在ABC中，AD平分，求证：.例3、已知ABC中，AD为中线，E、F分别在AB、AC上，且AE=AF,EF交AD于G，求证：.（过B、C分别作EF的平行线）二、利用三角形相似的性质例1、如图，已知ABC中，D是AB的中点，过D作AB的垂线交AC于E，交BC的延长线于F，求证： DC =DEDF例2、如图，在ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，过D作AB边上的垂线交AB于F，交BE于G，交AC的延长线于H.求证：DF =GFHF三、利用面积比求比例关系（1）相似三角形性质面积比等于相似比的平方例如图1，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为、，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线.（1）如图2，在中，的平分线交于点，请问点是否是边上的黄金分割