解析几何(原稿).doc

解析几何1（2006年全国联赛题）给定整数n2,设 是抛物线与直线的一个交点，试证明：对于任意正整数m，必存在整数k2,使为抛物线与直线的一个交点。（P52） 证明 因为与的交点为显然有若为抛物线与直线的一个交点，则记 则 （1） 由于是整数，也是整数，所以根据数学归纳法，通过（1）式可证明：对于一切正整数是正整数。 现在对于任意正整数m取使得与的交点为。2椭圆上有16个点，顺次为点，点F为左焦点，每每相邻两点与点F连线夹角都相等（）。设到左准线的距离为，求分析 椭圆的半长轴半短轴b=4，从而左焦点离心率以椭圆性质为解题的突破口。解 如图， 设 （1）由椭圆的定义，得 代入（1），有解得故=又所以3在平面直角坐标系xoy中，给定三点A（0，），B（1，0）C（1，0），点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。（1）求点P的轨迹方程；（2）若直线L经过的内心（设为D点），且与点P的轨迹恰好有3个公共点。求直线L的斜率K的取值范围。分析 根据距离关系，列出方程，再将交点的问题转化为方程解得问题，不难得出本题解题途径。解 （1）直线AB，AC，BC的方程依次为点到AB，AC，BC的距离依次为 且 依据设得即 或化简得点P 的轨迹方程为： 圆与双曲线，且不含B，C 两点。（2）由（1）知，点P的轨迹包含两部分 （1）与 （2）（不含B，C两点）由，知的内心D是适合题设条件的点，解得，且知它在圆S上。直线经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，直线的斜率存在。设直线的方程为 （3）1）当时，直线与圆S相切，有唯一的公共点D ，此时，直线平行于轴，表明直线与双曲线有不同于D 的两个公共点，所以，直线恰好与点P的轨迹有3个公共点。2) 当时，由于B，C两点不在轨迹上，所以，这时，直线与点P的轨迹恰好有3个公共点，必有直线与圆S 有两个不同的交点，且直线与双曲线有且只有一个公共点，即方程组有且只有一组实数解，消去并化简得该方程有唯一实数解得充要条件是 （4）或 （5）解（4）得，解（5）得综上所述，直线的斜率K的取值范围是有限集4、如图，双曲线的中心在坐标原点O，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点F垂直于的直线分别交于A，B两点。又已知该双曲线的离心率（1）求证：依次成等差数列（2）若F，求直线AB在双曲线上所截得的弦CD的长度。分析 （1）设属双曲线的方程为，先得出所满足的关系式，再寻求之间的关系；（2）在（1）的基础上求出的值，得到双曲线的方程和直线AB的方程，再来求解。解 （1）如图5，由已知 （1）从而 （2） 故设，则，故 即令，则，满足,所以依次成等差数列。（2）由已知代入（1）（2）得于是双曲线的方程为。设直线AB的斜率为，则 于是直线AB的方程为：联立消得，故弦CD的长度5、已知抛物线C：与直线L：没有公共点，设点P为直线L上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点。（1）证明：直线AB恒过定点；（2）若点P与（1）中的定点的连线交抛物线C于M，N两点，证明：，分析 （1）设，分别求出抛物线C在A，B两点处的切线方程，得到直线AB的方程（用和表示），再根据的任意性说明直线AB过定点。（2）设则可知要证，只需证明，即证证明 （1）设，则由得，所以于是抛物线C 在A点处的切线方程为，即。设则有设，同理有所以AB的方程为即，所以直线AB恒过定点（2）PQ的方程为与抛物线方程联立，消去，得 设则 （1）要证只需证明，即 （2） 由（1）知（2）式左边 故（2）式成立，从而结论成立。6、如图，过抛物线上的一点A（1，1）作抛物线的切线，分别交轴于D，交轴于B，点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足；点F在线段BC上，满足，且，线段CD与EF交于点P，当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程。 分析 利用抛物线切线的求法，结合等式，列出方程，不难求出动点P 的轨迹方程，对的不同求法，应有不同的解题途径。解法1 过抛物线上点A 的切线的斜率为：，故切线AB的方程为，于是B，D的坐标分别为所以D是线段AB的中点。 设则由知， 由，得所以，EF所在直线方程为：化简得 （1）当时直线CD的方程为 （2）联立（1）（2）解得 消去，得P点轨迹方程为，当时，EF的方程为，CD 的方程为联立解得也在点P的轨迹上。因C与A不能重合，所以所求轨迹方程为。解法2 过抛物线上点A 的切线斜率为：，故切线AB的方程于是B，D的坐标分别为所以D是线段AB的中点。令则因为CD为的中线，所以，而所以，故P 是的重心。设，因点C异于A，则，故重心P的坐标为消去得点P的轨迹方程说明解析法解决几何问题，最大优点是将几何中隐含的等量关系全部用代数式凸显出来。7、已知过点（0，1）的直线L与曲线C：交于两个不同点M和N，求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹。分析 可设出直线的方程和点M，N的坐标，根据已知条件列出关系式进行推导。解 设点M，N的坐标分别为，曲线C在点M，N处的切线分别为其交点P的坐标为，若直线的斜率为，则的方程为，由方程组 消去，得 由题意知，该方程在上有两个相异的实根故，且 （1） （2） （3）由此解得 对求导，得，则，于是直线的方程为，化简得 （4） 同理可求得直线的方程为 （5）（4）（5），得，因为，故有 （6）经将（2）（3）两式代入（6）式得（4）+（5）得 （7）其中，代入（7）式得，而，得又由，即点的轨迹为（2，2），（2，2.5）两点间的线段（不含端点）。 说明 相关点法是解决此类问题的基本思路。8、过直线L：上的一点P作椭圆的切线PM，PN，切点分别为M、N，连结MN，（1）当P点在直线L上运动时，证明：直线MN恒过定点Q；（2）当MNL时，定点Q平分线段MN。 分析 （1）设，把直线MN的方程用表示出来，根据的任意性说明直线MN过定点，求出定点坐标；（2）若MN/，则直线MN与直线的斜率相等，由此求出的值，从而得到直线MN的方程，再说明线段MN的中点恰好就是点Q。证明 （1）设，则椭圆过点M，N的切线方程分别为 因为两切线都过点P，则有 这表明M，N均在直线 （1）上，由两点决定一条直线知，式（1）就是直线MN的方程，其中满足直线的方程。 当点P在直线上运动时，可理解为取遍一切实数，相应的为代入（1）消去，得 （2）对一切恒成立。变形可得对一切恒成立，故有 由此解得直线MN恒过定点。（2）当MN/时，由式（2）知， 解得 代入（2），得此时MN的方程为 （3）将此方程与椭圆方程联立，消去得由此可得，此时MN截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点的横坐标，即代入（3）式可得弦中点纵坐标恰好为点的纵坐标，即这就是说，点平分线段MN。 说明 本题的结论可以推广到更一般的情况：若直线与椭圆相离，过上的点P作椭圆C的切线PM，PN，切点分别为M，N。（1）当点P在直线上运动时，直线MN恒过定点；（2）当MN/时，定点Q平分线段MN。9、如图，已知抛物线C：，F为C的焦点，L为准线，且L交轴于E点，过点F任意作一条直线交抛物线C于A、B两点。（1）若，求证：（2）设M为线段AB的中点，P为奇素数，且点M到轴的距离和点M到准线的距离均为非零整数，求证：点M到坐标原点O的距离不可能是整数。yxLEFOBMA 分析 （1)要证明两个向量垂直，只需证明它们的内积等于0，有两种途径，一是设，把两个向量的坐标表示求出来，转化为代数运算；二是设点A，B在准线上的射影分别为，利用已知的垂直关系及向量的分解实现转化，进行运算；（2）设，假设为正整数，通过推理运算得出矛盾即可。解 （1）方法1：点F的坐标为设直线的方程为，代入，得 （1）设，则是方程（1）的两个根，有由，得，因为又所以 故方法2 如图10，设点A，B在准线上的射影分别为，则从而，由； 因为所以又，所以 故，即。（2）设，依题意，均为非零整数，由对称性，不妨设，则 （2）因为点M在直线AB上，所以 （3）由（2），（3）消去，得 （4）假设为正整数，则 （5）因为为奇质数，所以由（4）知， ，从而；于是，由（5）知； 令，则有，消去，得；即；又与有相同的奇偶性，且；所以 解得 从而，于是；这与为正整数矛盾。 故点到坐标原点的距离不可能是整数。说明 第（2)问巧妙地将解析几何问题与整数理论结合在一起，比较有新意，有一定的难度。5、已知