高考数学大一轮总复习 不等式选讲 第二节 不等式的证明课件 理 北师大版选修45.ppt

选修4 5不等式选讲 第二节不等式的证明 最新考纲1 了解证明不等式的基本方法 比较法 综合法 分析法 几何法 反证法 放缩法等 2 会利用不等式的证明方法证明一些简单的不等式 j基础知识自主学习 1 平均值不等式定理1 对任意实数a b有a2 b2 上式当且仅当 时 取 号 定理2 对任意两个正数a b 有 此式当且仅当 时取 号 定理3 对任意三个正数a b c 有a3 b3 c3 此式当且仅当a b c时取 号 定理4 对任意三个正数a b c 有 此式当且仅当 时取 号 2ab a b a b 3abc a b c 3 综合法 从已知条件出发 利用不等式的性质 或已知证明过的不等式 推出了所要证明的结论 即 由因寻果 的方法 这种证明不等式的方法称为综合法 4 放缩法 通过缩小 或放大 分式的分母 或分子 或通过放大 或缩小 被减式 或减式 来证明不等式 这种证明不等式的方法称为放缩法 5 反证法 通过证明命题结论的否定不能成立 来肯定命题结论一定成立 其证明的步骤是 作出否定结论的假设 进行推理导出矛盾 否定假设肯定结论 3 柯西不等式定理1 对任意实数a b c d 有 a2 b2 c2 d2 当向量 a b 与向量 c d 共线时 取等号 定理2 设a1 a2 an与b1 b2 bn是两组实数 则有 a a a b b b a1b1 a2b2 anbn 2 当向量 a1 a2 an 与向量 b1 b2 bn 共线时取 推论 设a1 a2 a3 b1 b2 b3是两组实数 则有 a a a b b b a1b1 a2b2 a3b3 2 当向量 a1 a2 a3 与向量 b1 b2 b3 共线时取 ac bd 2 y x a b c 1 5 设a b 0 求证 3a3 2b3 3a2b 2ab2 证明3a3 2b3 3a2b 2ab2 3a2 a b 2b2 b a 3a2 2b2 a b 因为a b 0 所以a b 0 3a2 2b2 0 从而 3a2 2b2 a b 0 故3a3 2b3 3a2b 2ab2成立 r热点命题深度剖析 例1 求证 当x r时 1 2x4 2x3 x2 证法二 1 2x4 2x3 x2 x4 2x3 x2 x4 2x2 1 x 1 2 x2 x2 1 2 0 所以1 2x4 2x3 x2 规律方法 用比较法证明不等式的一般步骤是 作差 商 变形 判断 结论 而变形的方法一般有配方法 通分和因式分解 规律方法 分析法与综合法常常结合使用 实际是以分析法为主 借助综合法 使证明的问题明朗化 例4 2015 福建卷 已知a 0 b 0 c 0 函数f x x a x b c的最小值为4 1 求a b c的值 解 因为f x x a x b c x a x b c a b c 当且仅当 a x b时 取等号 又a 0 b 0 所以 a b a b 所以f x 的最小值为a b c 又已知f x 的最小值为4 所以a b c 4 规律方法 柯西不等式的常见类型及解题策略 1 求表达式的最值 依据已知条件 利用柯西不等式求最值 注意取等号的条件 2 求解析式的值 利用柯西不等式的条件 注意取等号的条件 进而求得各个量的值 从而求出解析式的值 3 证明不等式 注意所证不等式的结构特征 寻找柯西不等式的条件 然后证明 36 s思想方法感悟提升 1个关系 综合法与分析法的内在联系综合法往往是分析法的相反过程 其表述简单 条理清楚 当问题比较复杂时 通常把分析法和综合法结合起来使用 以分析法寻找证明的思路 而用综合法叙述 表达整个证明过程 3个依据 放缩法证明不等式的理论依据主要有 1 不等式的传递性 2 等